高考数学二轮总复习训练 空间几何体理

高考专题训练五空间几何体

班级某某时间：45分钟分值：75分总得分

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项填在答题卡上.

1.（2011•某某）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）

解析：由三视图可知，该几何体的直观图为B.

答案：B

2.（2011•某某）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2斓，它的三视图中

的俯视图如图所示，侧（左）视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（）

1/11

A.4B.2季

C.2D.A/3

解析：设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a,

.*.a3=8,a=2,

由俯视图知，该正三棱柱如图ABC—AR”

其侧（左）视图即为矩形CDDC,

其面积为/义2=2

答案：B

3.（2011•山师大附中高三模拟）已知某一几何体的正（主）视图与侧（左）视图如图所示,

则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）

2/11

①

正（主）视图侧（左）视图

A.①②③⑤B.②③④⑤

C.①②④⑤D.①②③④

解析：根据给出的正（主）视图和侧（左）视图可知，该组合体由上、中、下三个几何体组

合而成，由于正（主）视图和侧（左）视图中三层均为矩形，所以这些几何体可能是一些长方体、

底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱组合而成的.而第⑤个俯视图中，有两处与己知不符,

一是上层几何体的俯视图不正确，由于上层几何体的正（主）视图与侧（左）视图为两个相同的

矩形，所以其俯视图中矩形的两边长应该相等；二是下层几何体的俯视图不正确，如果下层

几何体的底面为俯视图所示的三角形，则在正（主）视图中底层的矩形应有一条中位线，这与

已知不符合，所以⑤不可能，故选D.

答案：D

4.（2011•某某）设球的体积为匕，它的内接正方体的体积为匕，下列说法中最合适的

是（）

A.匕比V,大约多一半B.匕比匕大约多两倍半

C.匕比匕大约多一倍D,匕比V,大约多一倍半

解析：设球的内接正方体的边长为a,

球的半径为R,；.2R=，§a,.•#=%.

.V4P43V5小

・・V=不JIK3=W冗•23=大一兀a3,

i33o2

V=a3,,-.V=^JiV«2.5V,；.V—V心L5V.

2

2122122

答案：D

5.（2011•卷）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）

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侧（左）视图

俯视图

A.32B.16+16班

C.48D.16+32$

解析：由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥

S底=4X4=16,S(||j=4x|x4X2^=16^2

AS=S+S=16+16^2.

表面积底侧V

答案：B

6.（2011•某某）已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB=2,ZASC=Z

BSC=45°,则棱锥S—ABC的体积为（)

解析：如图所示.

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NASC=NBSC=45°

且OS=OB=OA=OC=2,

•••△SOB,ZXSOA为全等的等腰直角三角形，

且SC_LOB,SC±OA,

又0AG0B=0,・,・SC,平面AOB

又・.・AB=OB=OA=2,

•••△AOB为等边三角形

.*.V=V+V=1•S•SC=^X\/3X4=7\/3.

S-ABCS-AOBC-AOB3AAOB3V3V

答案：c

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

7.（2011•全国新课标版）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都

3

在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的正，则这两个圆锥中，体积较小者的高

16

与体积较大者的高的比值为.

3

解析:令球心为0,圆锥底面圆圆心为0,,球半径为R,圆锥底面圆半径为r,则正•4兀R2

1b

=JIr2,

,

Ar=^R,在RtZ^AOO，中，00，=^A02-A02=1.

1

3-

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8.（2011•某某市高三模拟）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，

其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长

方体的平面展形图内的概率是:，则此长方体的体积是.

解析：设长方体的高为h,则图2中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为l+2h,面积为

2+4h

（2+2h）（l+2h）,展开图的面积为2+4h；由几何概型的概率公式知2+2h―甲丁=

:,得h=3,所以长方体的体积是V=1X3=3.

答案：3

9.（2011•市海淀区高三第二学期练习）如图，在正方体ABCD—ARCR中，点P是上底

面ARCR内一动点，则三棱锥P—ABC的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为.

解析：依题意得三棱锥P—ABC的正（主）视图与侧（左）视图分别是一个三角形，且这两

6/11

个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P—ABC的正视

图与侧视图的面积之比等于L

答案：1

10.一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）

视图是一个长为斓，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几

何体的体积V是.

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

解析：由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形,

高为小.

所以v=iXIX木=木.

答案：小

三、解答题：本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

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11.（12分）（2011•某某省某某市）一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M,N

分别是AF,BC的中点）.

俯视图

⑴求证:MN〃平面CDEF；

（2）求二面角A-CF-B的余弦值;

⑶求多面体A—CDEF的体积.

解：

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由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE—BCF,且AB=BC=BF=4,

DE=CF=4，ZCBF=-1-.

(1)证明：连接BE,易知BE通过点M,连接CE.

则EM=BM,=BN,.".MN//CE,又CEu平面CDEF,MN。平面CDEF,〃平面CDEF.

⑵作BQJ_CF于Q,连接AQ,

•平面BFCJ_平面ABFE,平面ABFEn平面BCF=BF,ABc平面ABFE,AB±BF,/.AB±

平面BCF,

又CFu平面BCF,，AB，CF,又BQLCF,ABnBQ=B,.•.CF_L平面ABQ,；AQu平面ABQ,

.-.AQXCF,故NAQB为所求二面角的平面角.

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⑶多面体A-CDEF的体积丫=2乂丫人e=2乂口「=2*久顺*BC,・

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12.（13分）（某某卷）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图（1）所示.墩的上半

部分是正四棱锥P—EFGH,下半部分是长方体ABCD—EFGH图（2）、⑶分别是该标识墩的正

视图和俯视图.

⑶

（1）请画出该安全标识墩的侧视图;

（2）求该安全标识墩的体积;

⑶证明：直线BD,平面PEG.

分析：（1）根据正（主）视图和俯视图可以知道其侧（左）视图和正（主）视图是完全相同的;

（2）根据两个视图给出的标记，这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40cm、高为20cm

的长方体，上半部分四棱锥的高为60cm,根据公式计算即可；（3）根据正四棱锥的性质进

行证