江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学 含答案

2022〜2023学年高三年级模拟试卷

数学

（满分：150分考试时间：120分钟）

2023.2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.若复数Z满足i（z+i）=2+i（i为虚数单位），则复数Z在复平面内所对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知α,⅛∈R,则''αVb"是ua<b­Γ的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知数列｛斯｝满足2a“=a,i+a“+i（〃22）,6+的+/+恁+劭=1。。，则其前9项和等

于（）

A.150B.180C.300D.360

4.若平面向量α,B满足α+B=（3,-2）,«—⅛=（1,x）,且α∙b=0,则X的值为（）

A.B.-∣C.±2√3D.±2√2

5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字

塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为咛」，则它的侧棱与底面所成角的正

切值约为（）

AE_&R小-^]r小+1n

z∖∙2D•22Lx•2

6.已知α,βR（0,方）,2tanα=sjn，则tan（2α+4+]）=（）

A.~yβB.一坐C.坐D.yf3

7.已知一组数据XI，x2,X3,X4,X5的平均数是2,方差是3,则对于以下数据：

2x∣+1,2Λ⅛+1,2冷+1，2J⅛+1,2J⅛+1,1>2>3,4>5

下列选项正确的是（）

A.平均数是3,方差是7B.平均数是4,方差是7

C.平均数是3,方差是8D.平均数是4,方差是8

8.在平面直角坐标系XOy中，X轴正半轴上从左至右四点4,B,C,。横坐标依次为α

-c,a,a+c,2a,y轴上点M,N纵坐标分别为m,-2m（m>0）,设满足PA+PC=2a的

动点P的轨迹为曲线E,满足QN=2。M的动点Q的轨迹为曲线F,当动点Q在y轴正半轴

上时，。。交曲线E于点Po（异于点。），且OPo与BQ交点恰好在曲线厂上，则a：c=（）

A.√2B.√3C.2D.3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

Ae=CW

Be+d=Cg

1

C.C,1,+d+d+-+Q=2"

D.(1+x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项

10.已知实数”，⅛>0,2a+⅛=4,则下列说法正确的有()

A.ɪ+1有最小值IBd+〃有最小值与

C.4"+2”有最小值8口.1110+1116有最小值比2

11.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名

字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用国表示不超过X的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例

如[―3.5]=-4,[3.5]=3.已知函数於)=COSX+1CoSX函数g(x)=[∕(X)],则下列说法正确的

有()

A.函数4r)在区间(O,n)上单调递增

B.函数大x)图象关于直线X=EoI∈Z)对称

C.函数g(x)的值域是｛0,1,2｝

D.方程g(x)=x只有一个实数根

12.在四面体ABC。的四个面中，有公共棱AC的两个面全等,AO=1,CD=√5,ZCDA

=90。，二面角BAC。大小为仇下列说法正确的有()

A.四面体ABCD外接球的表面积为3π

√3

B.四面体ABCD体积的最大值为半

C.若AD=AB,ADlAB,则6=120。

D,若AO=BC,6=120。，则Bf)=勺

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.记&为等比数列｛α,J的前〃项和.若S3=%S6=12,则％=.

14.已知双曲线，--=1的左、右焦点分别为Q,F2,且右支上有一点P(p,1),则

COS∕F1PF2=.

15.某个随机数选择器每次从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中等可能地

选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是“，b,C,则概率

P(a<b<c)=.

16.已知函数负X)=Ov2+x,若当x∈[0,1]时，IAX+l)∣Wα+l恒成立，则实数”的取值

范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(本小题满分10分)

已知数列｛斯｝的前〃项和为S”«i=2,Sn=an+∖~2.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)令-=log2斯.

①C"=6"∙a"：②C"=4/『_[:③。"=(-1)"(b,l)^.

从上面三个条件中任选一个，求数列｛c,,｝的前n项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2

18.(本小题满分12分)

9jr

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为α,h,c,A=y,6=10,c=6,AABC的

内切圆/的面积为S.

(1)求S的值；

(2)若点。在AC上，且B,/,。三点共线，求彷BC的值.

3

19.(本小题满分12分)

在三棱柱ABaIBICl中，侧面ACCA是菱形，ZA∣AC=60o,AAl=2,AClΛ∣β.

(1)求证：BA=BC;

(2)已知AB=√5,48=2,求直线4B与平面AIBIC所成角的正弦值.

4

20.(本小题满分12分)

云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.据调查可

知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：

_______W______20_17年2018年2019年2020年2021年

年份代码J]2345

云计算市场规模W亿元692962133420913229

Xlnyi=36.33,£(∙rjnW)=112.85.

经计算得-1'

AA4A

(1)根据以上数据,建立y关于X的回归方程y=e(e为自然对数的底数).

(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计

算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε-N(0,^),其中m为单件产品的成本(单位:元)，

且P(―l<e<l)=0.6827;引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差£-N(0,ɪ).

若保持单件产品的成本不变，则P(—将会变成多少？若保持产品质量不变(即误差的

概率分布不变)，则单件产品的成本将会下降多少？

参考公式和数据：

对于一组数据(χι,yi),(X2,y2),…，(xn，yj,其回归直线y∕∖=p八χ+α八的斜率和截距

，工必一〃1y

S=三----------.£=7一陀

y2_-2

的最小二乘估计分别为W

若X〜N(μ,a2),则P(∣X-μ∣<σ)=0.6827,P(∣X-μ∣<2σ)=0.9545,P(∣X-μ∣<3σ)=0.997

3.

5

21.(本小题满分12分)

已知AB为抛物线G：y2=2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线1上.当AB过抛物线

焦点F且长度为8时，AB的中点M到y轴的距离为3.

(1)求抛物线G的方程；

(2)若NACB为直角，求证：直线AB过定点.

22.(本小题满分12分)

TrTr

s

已知函数f(x)=d2,x∈R.g(χ)=cosx,X∈(-',2).(e为自然对数的底数,e==≈2,718).

(1)若函数贴)=%)一g(x)在区间(甘，f)上单调递减，求实数”的取值范围.

(2)是否存在直线/同时与y=∕(x),y=g(x)的图象相切？若存在，判断/的条数，并证明

你的结论；若不存在，请说明理由.

6

2022〜2023学年高三年级模拟试卷（扬州）

数学参考答案及评分标准

1.D2.B3.B4.C5.A6.B7.D8.A9.ABD10.BC11.BCD12.ACD

1331

13.2814.§15.石16.[―ʒ,一1]

17.解：(1)VSn=an+↑-2r・・・1=斯一2(〃22),

两式相减得斯+1=2%(〃22).(2分)

∙。]=2,。2=4,∙∙Q2=2α∣∙(3)

ʌαw+ι=2^w(n∈N*).

*/^ι=2≠0,包」=2(n∈N*).

.∙.数列｛斯｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

斯=2".(5分)

说明:结果%=2"对，但漏掉。2=20的扣1分.

π

(2)由(1)可知bn—log2fl,l=Iog22-n.

若选①：c,1=bn-an=n-2",

：.7],=1∙2I+2∙22+3∙23H------Fn∙2n,

2η(=l∙22+2∙234------∣-(n-l)∙2,,+n∙2,,+l(7分)

2—2rt+1

两式相减得一7],=2+22+23+…+2"-"∙2"I=十、--∏-2n

所以7],≈(n-l)∙2,,+l+2.(10分)

若选②：以=4居—1=4"2-l=(2〃+1)=5(2〃-1~2n+∖)'(7分)

Tn=3(14)+24V)+2(I-J)+-+2(+^⅛)=；(L⅛T)=

年7。。分)

若选③：C"=(-l)"∙(b")2=(—1产洛

当n为偶数时，l2+22)+(-32+42)H-----F[-(n-l)2+n2]≈1+2H-------H?=

n(〃+1)八

-2—：(7分)

“上大皿Q(/1+1)(n+2)9n("+1)

T〃为奇数时，Tn-Tn+1-cfl+\—2-5+1)=-2•

H

综上，得.=(7)"""2’-•.(10分)

2TT

18.解：(1)在AABC中，由余弦定理得"2=/+/-26CCoS亍,

Λa2=100+36+60=196,即〃=14.(3分)

设内切圆/的半径为r,则SAABC=/∙(α+Z>+c)∙r=;besiny,

r=√5,.-.S=πr=3π.(6分)

7

（2）（解法1）在AABC中，由⑴结合余弦定理得CoSNABe=,,

：B。平分NA8C,点。到AB,BC的距离相等，故学2=聚，

'△CBD

Fjsl∕∖A8DAjD.A8Az）3.7—*.3-ʌ,八、

+BC

llll5∆CβD=而,,,BC=而=7',∙BD=T5BA7O'（9分）

.∙.BDBCɪɪBABC+ɪBC2=⅛X6X14X∣∣+ɪX⑷=105.（12分）

（解法2）在AABC中，由⑴结合余弦定理得cosZAβC=H,

依题意可知/为内心，故8。平分/4BC,设NABD=NCBD=。,

贝IJCoS/A8C=2cos2。-1=*,.,.co,/.sin.（8分）

思路1：在AABO中，AADB=I-θ,由正弦定理得~¾=——竽——，

sin—sin（ɜ-0）

...zπ4亚°1.0-J2L

・SIn（Q-θ）=^CoSe-5sιnθ=^j~,

∙'∙BD=------W------sinγ=亲.坐=3巾，（10分）

Sin（F）与

.,.BDBC=∣BD∣∙∣BCICOs。=105.（12分）

思路2：,.*SAABC=SAABD+S4CBD，9Cicsin20=2c∙3Z）∙sine+/QNQsin仇

2X6X14X智

2acCOS0

BD==3√7,（10分）

a+c6+14

BDBC=丽∣∙∣BCICoS6=105.（12分）

AB

思路3：；8。平分NABC,点。到A8,BC的距离相等，故”一=

OΔCBD=就'

S3AB∣）_AD.世=C

而,==VAC=10,ΛAD=3.

SACBD~CD∙~BCCD14

在AABO中，由余弦定理得BD2=AU+4）—2AO∙A8cos至=63,（10分）

BDBC=|彷∣∙∣fiCIeoSd=Io5.（12分）

19.解：（1）连接AC,在三棱柱ABCAiBlCl中，侧面ACCA是菱形，NAlAC=60。,

则4AAC为正三角形，取AC的中点为O,则4CJLAQ,

XAC±A∣B,A/CAιO=A∣,A,B,AIOU平面AiBO,

所以AeL平面AlBo.（3分）

因为BoU平面A山。，所以AC_L8。，

因为。是AC的中点，所以AB=BC.（5分）

8

(2)在边长为2的正三角形A4C中，Λ,0=√3,

在aABC中，AB=BC=P,AC=2,则Bo=1,又A∣8=2,

所以AIo2+802=AlB2,所以AIO_LBO,(7分)

所以。4ι,OB,OC两两垂直.

以。为原点，OB,OC,OAl分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系。肛z,如图.

则A(0,-1,0),8(1,O,O),C(0,1,O),A∣(0,O,√3),

=最=(1,1,0),

AlB=(1,O,-√3),Λ,C=(O,1,-√3),A∣Bl

设平面A山IC的法向量为"=(x,y,z),

jA∣8r"=x+y=0,_

则V'r令Z=1,则〃=(—s,√3,1),(10分)

lA∣C∙n=>-√3z=0,

设直线AiB与平面AlBC所成角为θ,

则Sind=ICoS<A∣B,n)I=CII=当ɪ，

所以直线AiB与平面AlC所成角的正弦值为浮

.(12分)

20.

IK=(I)因为今=科十°.所以In夕=的+合.(1分)

S_5

ʌ(ʃJny)—jrʌIny

¢=WiWi112∙85-3X36∙333.86”

ττ=—-=0.386.(4分)

≡一1+4+9+16+25-5X3zIO.........

2Λ∙?—wʃ*

«*1J

i_ɪ

所以2=FXIn.V,-^=-Z-×36.33-0.386×3=6.I()8.

所以夕=J∙q=<a∙g+"β∙.(6分)

4=*，

(2)未引入云算力辅助前，£~N(0,—),所以μ=0,σ

XP(-1<ε<1)=0.6827=P(∣ε-μ∣<σ),所以=1,所以m=4.(8分)

引入云算力辅助后，e~N(O,ɪ).所以μ=0,σ=Λ∕⅛，

若保持产品成本不变，则m=4,ε~N(O,；),σ=y/i=9

所以P(-1<ε<l)=P(∣ε-μ∣<2σ)=0.9545,(10分)

若产品质量不变，则需=1,所以m=l,

所以单件产品成本可以下降4-1=3(元).(12分)

9

AB=XA+XB+P=8,

21.解：（1）设A（XA,yA），B（XB,yB），则由题意得（XA+XB故p=2,

所以抛物线的方程为y2=4x.（4分）

（2）直线AB过定点（1,0）,证明如下：

y∣).B(斗,y),直线AB的方程为x=ty+n(n>0),

设C(T,c),A(E2

将x=ty+n(n>O)代入y2=4x得y2-4ty—4n=0,

则A>0,所以yι+yz=4t,yiyz=-4n,(6分)

所以H=(¥+Lyι-c)»CB=(牛+1，丫2—c).

2

因为NACB=90。，所以(5λCB=0,即喑^+∑L⅛-+1+y1y2-c(yι+y2)+c=0,

BPn2+4t2+2n+l-4n-4tc+c2=0,(8分)

即(n—lp+(2t-c)2=0,所以n=l,

所以直线AB过定点(1,0).(12分)

22.解：(1)h(x)=af(x)—g(x)=aex2—cosx,hl(x)=a^x*2÷5∕7?x.

因为h(x)=af(x)-g(x)在(一],与)上单调递减，

所以Vx∈(-],ɪ),IV(X)=ae''2+s%xW0恒成立,

L/兀万、JsmXL-ɪ小八、

∀x∈（-2，2）'2这一户5怛成立.（2分）

/、sinXTr…cosχ-sinX

设M(X)=—，x≡(-2力,则Mf(x)=~———

当XW（甘，今）时，M,（x）＜0,当x∈q,）时，M,（x）＞0,

所以M（X）在（甘，f）上单调递减，在/，W）上单调递增，（4分）

π2√2二一2

所以M(X)加=Mq)=——

ZM一十o2e4

所以aW—乎el7。分)

(2)存在且仅有一条直线同时与y=f(x),y=g(x)的图象相切.(6分)

设直线与y=f(x),y=g(x)的图象分别相切于点P(xι,yι),Q(x2,y2),

j+2f

其中xι∈R,X2≡(-2'?%且X1≠x2,/(x)=e,g(x)=-sinχf

则在P处的切线方程为y—exι+2=exι+2(χ一乃)，即y=e%ι+2x+(l-x】)ex1+2；

在Q处的切线方程为y—cosx2=-sin%2(χ一元2)，即y=-XSinX2+cos∙Y2+x2sinx2∙

所以exi+2=—sinx2,…①

(1—xι)ex∣+2=cosX2÷-V2sin为，…②

10

Tr

因为一sinMW(—1,1),所以OVeXl+2V1,则及£(—g，0).

可得Xl=-'2÷ln(—sin及)，于是有[3—In(—sinX2)](—sin及)=CoSx2+x2Sin忿，

整理得(x2+3)sinX2÷cos%2-sinx2∣n(-sinx2)=O.(8分)

(解法1)两边同除以SinX2得(及+3)+器詈-ln(-sinx2)=O,

要证有且仅有一条直线同时与y=∕(x),y=g(x)的图象都相切，

只需证函数M(X)=X+3+霏T-In(―sinx),在χC(一与，0)内有且仅有一个零点.

,-Sin2X-Cos2X—cos%—cosx(sinx÷cosx)

()sin2x—sinxsin2x

一mCOSXSin(x÷^)

sin2%

JTTTJT

当X∈(-2,—1)时，Λf(x)>O;当a，。)时，M'(X)<O,

所以Ma)在(冶,-≡)上单调递增，在(一；，0)上单调递减，(10分)

M(—)>M(-)=~2+3>。，所以M(X)在(甘，一个)内无零点.

取Sin沏=一e、，w∈(-：,0),则COSXO=]1—屋6，

Mao)=XO+3+：,'°-In(—sin