成人高考专升本《高等数学二》公式大全

第一章节公式

1、数列极限的四则运算法则

如果limxn=A,limyn=B,那么

nsoo

-yj=lim-limyn=A-Blim(xn+y；!)=+lim=A+B

n—>ooM—>oon—>oon—>oon—>coco

xlimA

lim®.%)==ABlim—=—=一(8w0)

oococonsy]jmyB

co

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若{an},也“},{c.}有极限，则：

lim(«„+2+%)=lima”+limbn+limcn

n—>oon—>oo九foon-^x)

特别地，如果C是常数，那么lim(C.6zn)=limC.liman=CA

n—>oon—>oons

2、函数极限的四算运则

如果lim/(x)=A,limg(x)=B,那么

limf(x)±limg(x)=lim/(x)±limg(x)=A±B

lim/(%)-limg(x)=lim/(%)-limg(x)=AB

1m

f(x\/(X)4

lim以丝=--------=—(8=limg(x)丰0)

g(x)limg(x)B

推论设lim力(x),lim力(x),lim力(x),.....lim/(x),lim/(x)都存在，左为常数，〃为正整数，则有:

lim[/(x)±力(%)土…力(x)]=lim力(x)±lim力(x)土….±lim(x)

lim[好(x)]=klimf(x)=[limf(x)],!

3、无穷小量的比较：

设。,/?是同一过程中的两个无穷小，且lima=0,lim0=0.

(1)如果=0,就说c是比月高阶的无穷小，记作a=。(6)；

⑵如果lim*=C(Cw0),就说a是与尸同阶的无穷小;

⑶特殊地如果=1,则称a与夕是等价的无穷小量；记作a〜B；

zy

(4)如果lim==C(Cw0/>0),就说a是£的左阶的无穷小.

J3k

(5)如果=oo,则称a是比例氐阶的无穷小量.

常用等级无穷小量的比较：当x->0时,

3

sin尤〜x,arcsinx〜x,tanx〜x,arctanx〜x,ln(l+x)〜羽/一1〜羽1-cosx

2

重要极限lim与竺=1.lim（1+!厂=e.lim（1+九『二e对数列有lim（1+工）〃=e

10X〃f8n

第二章节公式

1.导数的定义：

函数尸/'（才）在X=Xo处的瞬时变化率是

f(Xo+Ax)—f(xo)

lim=lim我们称它为函数尸f（x）在x=xo处的导数，记作/（刘）或/|x=xo即/（%）

Ax

Z1A-04L0X

f(xo+Ax)—f(xo)

=lim

Ax-^OAx

2.导数的几何意义

广(照+Ax)—f(xo)

函数广（X）在x=xo处的导数就是切线的斜率A,即4=lini

Ax

4L0

3.导函数（导数）

当X变化时，f（x）便是X的一个函数，我们称它为f（£）的导函数（简称导数），尸Ax）的导函数有时也记作V,即

(、,[.f{x+Ax)—f{x}

(x)=p=1im---------------

Ax

4L0

4.几种常见函数的导数

(1)c'=0(c为常数)，⑵(/)，=nx~\n^l),(3)=alna(a>0,1),(e>=e

:

(4)(Inx)'=-,(logax)'=~logae一-一(a>0,1)

XXxtaa

(5)(sin^)'=cosx,(6)(COSJ^'=—sinx

(7)(tanx)=一，(8)(cotx)=----]

cosXsinx

(9)(arcsinx)=—r：(-1<x<1),(10)(arccosx)'=——,(-1<x<1)

l-x111

(11)(arctanx)'=-(12)(6zrccotx)=-----r

1+X1+X

5.函数的和、差、积、商的导数

(〃土力'—u'±v'，(uv)'—u'v+uv'

uv-uv

-----3—,(ku)'=cu'(A为常数).

V

{uvw)1=u'vw~\-uv'/uvw'

微分公式:

(1)d(c)=o(c为常数)（2）d（%"）=4%"一力光（。为任意实数）

%11

(3)d(logq)=----dx(〃〉o,iwl),t/(lnx)=—dx

xlnax

(4)d(ax)=ax]nadx{a>0,<21)d(ex)=exdx

(5)J(sinx)=cosxdx(6)d(cosx)=-sinxdx

(7)J(tanx)=一\一dx,(8)d(cotx)=---dx

COSXsinx

11

(9)(arcsinx)f=,dx,(10)(arccosx)'=——.dx

TT:v41^

(11)J(arctanx)=一^—rdx,(12)d(arccotx)=---^—^dx

1+X1+X

6.微分的四算运则

d(〃土v)=d〃土dr,d(〃力=vdu-\~udv

(i(—)=京"J办()W0)d(A〃)=kd〃(A为常数).

vv

洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。

/(x)f(x)f\x)“中、

lrim-lrim-lrim-----A(或oo)

ig(X>%-g\x)%-g'\x)

7.导数的应用：

/*(x)=0的点为函数/(x)的驻点，求极值；

⑴%ex。时，/*(%)>0,x>x0t/(%)*<0则/(/)为/*(%)的极大值,与为极大值点.

，o，，，

⑵时，/'(%)<0.x>/时/(%),>0贝1J/(Xo)为/"(X)的极大值，x()为极小值点.

，，，，

⑶如果/,(X)在X。的两端的符号相同，那么/(%0)不是极值，与不是极值点。.

f"(x)=o的点为函数/(x)的拐点，求凹凸区间;

/”(尢)<0的工取值范围内，曲线y=/(x)为凸的(下凹)

尸<x)>0的x取值范围内，曲线y=/(x)为凹的(上凹)

第三章知识点概况

不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(X)的不定积分，记作并称」为积分符号，函数,(X)为被

积函数，"为被积表达式，X为积分变量。

因止匕J7(x)心:=b(x)+C

不定积分的性质：

(l)[jf(x)dx],=/(x)或djf(x)dx=f(x)dx

(3)J[/(x)±(p(x)±....±=Jf{x)dx±Jcp{x}dx±•…±Jy/{x}dx

(4)Jkf(x)dx=左］/(%)为代为常数且w0)

基本积分公式：

(l)JOJx=C(2)fxdx=x"i+C(a7^-1)(3)j-Jx=ta|x|+C

Ja+1X

(4)Jadx-ax+C(a>0,aw1)(5)jexdx=ex+C(6)Jsinxdx=-cosx+C(7)Jcosxdx=sinx+C

(8)f----=tanx+C

Jcosx

(9)f——--dx=-cot%+C(10)f/1dx=arcsinx+C(11)[-7dx-arctanx+C

Jsin%J71-x2J1+x2

换元积分(凑微分)法：

1.凑微分。对不定积分jg(%)dx,将被积表达式g(x)dx凑成g(x)比v=

人"=9(x),则d"=〃9(x)=0'(x)dx代入上式得Jg(x)dx凑微分]/[9(x)M(x)dx变换带量]f(u)du

2.作变里代换。左=3.

用公式积分,，并用"二以九)换式中的uJ/(〃)向公式？(〃)+C回仔[以切+C

常用的凑微分公式主要有：

(1)f{ax+b)dx=—f(<ax+b)d{ax+b)(2)f(axk+b)-xk~xdx--f(axk+b)d(axk+Z?)

aka

⑶f(4x)--^dx=2/(Vx)J(V^)

XXXX

(5)f(ex)'exdx=f(ex)d(ex)(6)/(Inx)—dx-/(Inx)d(lnx)

x

(7)/(sinx)-cosx<ir=/(sinx)<y(sinx)(8)/(cosx)•sinxdx--f(cosx)d(cosx)

(9)/(tanx)---\—dx-/(tanx)6?(tanx)(10)/(cotx)——dx=-/(cotx)6?(cotx)

cosxsin%

(11)/(arcsin%)•/1dx=y(arcsinx)d(arcsinx)

Vl-x2

(12)/(arccos%)•/1dx=-/(arccosx)d(arccosx)

Vl-x2

(13)/(arctanx)—二办;=/(arctanx)6?(arctanx)

1+x

(14)匕上wO)

0(%)

分部积分法：d(uv)=^疝+〃4^两边又必积分^/^=Jvd沅+”小移项得J〃dv="V-J"V-适用于分

部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法

(1)J*尸(x)以设〃=P(x),Jv=e^dx(2)JP(x)sinajvzZx设〃=P(x),dv=sinaxdx

(3)j尸(x)cosax以设u-P(x),Jv=cosaxdxxdx^u=Inx,Jv=P{x}dx

(5)JP(x)arcsinxdx^u=arcsinx,dv=P(x)<ir(6)j尸(x)arctaruzZx设〃=arctanx,dv=P(x)<ix

(7)J*sinZzxdx其中〃#为任意选取/*cosbxdx其中〃力为任意选取，

上述式中的P(x)为x的多项式，a,b为常数。

一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之

和或两个分式之和，再求出不定积分。

定积分：『/(九)公=lim之/©)△玉此式子是个常数

⑴定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间［a,b］有关，而与积分变量的字母无关，即应有

cbpb

|f{x)dx=\于(t)dt

JaJa

pbra

(2)在定积分的定义中，我们假定a〈b;如果b〈a,我们规定：［f(x)dx=-\f(x)dx

JaJb

如果a=b,则规定：ff{x}dx=0

Ja

(3)对于定义在上的连续奇(偶)函数/(%),有

Jf(x)dx=0/(%)为奇函数Jf(x)dx=2f(x)dx/(x)为偶函数

定积分的性质：(1弁kf(X)dx=kf(X)dx(k为常数)(2)「"(x)土g(x)]6k=ff(x)dx±\g(x)dx

JaJaJaJa

⑶,f(x)dx=pf(x)dx土/于(x)dx(c为a,。的内外点)

JaJaJc

(4)如果在区间[〃,加上总有/(%)<g(x),则/f(x)dx<pg(x)dK单调性)(5)/Idx=b-a

JaJaJa

f(x)dx<M(b-a)

a

⑺积分中值定理：如果函物(x)在闭区间a,句上连续，则曲a,句上至少存在一思，

…/口-③―a定积分的

使得下式成f(x)dx=-a)

一、变上限函数

于是，7(］)在区间以用上的定积分为JW"

设函数F(X)在区间［a，U上连续，并且设X为以司上的任一点

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限x在区［a，“间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在卜同上

定义了一个以x为自变量的函数夕(%),我们把9(%)称为函数7(X)在区间以，”上变上限函数

记为［加须"<x<b)

推理：^(x)=[[7aw=/w

"(x)=⑺如'=f[b(x)]b\x)-/Ta(x)]a'(x)

定积分计算公式

利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。

S0)

____________j]一_______±__________________

我们知道：如果物体以速度v(“M4〉o)作直线运动，那么在时间区间以用上所经过的路程s为，=L

另一方面，如果物体经过的路程S是时间t的函数s"),那么物体从t=a至t=b所经过的路程应该是(见图5-11)

图5-11

即

|v(t)dt=s(。)-S(Q)

由导数的物理意义可知：5'(/)=丫(，)即5(。是丫")一个原函数，因此，为了求出定积分I/""’,应先求出被积函数MO

的原函数也)，再求s(。在区间以用上的增量s(a)—s(")即可。

如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分1的一般方法：

设函数7(x)在闭区间㈤上连续，MH是7(x)的一个原函数,即/(%)=/(%),则

J*f(x)dx=F(b)-F(a)

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了使用方便，将公式写成，/(x)dx=F(x)|[=F(b)-F(a)

牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数

值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。

定积分的换元公式：

ff{x}dx=f/[9⑺9'⑺力计算要领是：

JaJa

作代换x=(pQ),要求当T从a变到例寸,x严格单调地从z变到"且x=e⑺在[a,尸]上

有连续导数”⑺定积分的分部积分法:

fuv'dx=MV*-fvu'dx

JaIJa

5.4.2定积分求平面图形的面积

1.直角坐标系下面积的计算

(1)由曲线y=于(x)和直线x=a,x="y=0所

的求法前面已经介绍，此处不再叙述.

(2)求由两条曲线y=f(x),y=g(x),

x=a,x=Z?所围成平面的面积4(如图5.8所示).

下面用微元法求面积A.

图5.8

①取x为积分变量，xe[a,Z?].

②在区间[a,b]上任取一小区间[x,x+dx],该区间上小曲边梯形的面积以可以用高/(x)-g(x),底边为dx的小矩

形的面积近似代替，从而得面积元素

dA="(%)-g(x)]dx.

③写出积分表达式，即

A=f「b[f（x）-g（x）]dx.

Ja

⑶求由两条曲线x=〃（y）,x=9（y）,(〃(y)<Q(y))及直线y=c,y=d所围成平

面图形（如图5.9）的面积.

这里取y为积分变量，y^[c,d],

用类似（2）的方法可以推出：

A=J',即⑴一〃（刈办•

第四章知识点多元函数微分学

§4.1偏导数与全微分

一.主要内容：

㈠.多元函数的概念

1.二元函数的定义：z=/（x,y）（x,y）eD定义域：D（7）

2.二元函数的几何意义：

二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）

Z=ax+by+c表示一个平面；

222

JR-x-y表示球心在原点、半径为R的上半个球面；

Z=+y2,表示开口向上的圆锥面；

22

z=%+y,表示开口向上的旋转剖物面。

㈡.二元函数的极限和连续：

1.极限定义：设z=f（x,y）满足条件：

1.在点（"，为）的某个领域内有定义。（点（,，为）可除外）

2、limf（x,y）=A

X—>XQ则称z="x,y）在（x0,y。）极限存在，且等于A。

y-%

2.连续定义：设z=f（x,y）满足条件：

1在点a。，y0）的某个领域内有定义。

2lim/(x,y)=f(xQ,yQ)

九则称z=/(x,y)在(x0,)处连续。

yfyo

㈢.偏导数：

定义：设函数Z=/(%,y),在点(l0，小)的某个邻域内有定义，当自变量七

在处取得改变量小(△%丰0),而y=为保持不变时，得到一个改变量。

/(^0+Ax,y0)-/(%0,%)

对x的偏导数：々(X。，,0)=lim

—极

/(均，Jo+Ay)-f(xQ,jo)

对y的偏导数：/^为，%)=lim

Ay—。Ay

f'x(%0,JQ),fy(X。，y0)分别为函掰(x,y)在(x0,Jo)处对X,y的偏导数。

z=/(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：

8f(x,y)8z

f'x(x，y)==-=z'

dxdx

df(x,y)dz

fy(尤，/==一二zj

dydy

㈣.全微分:

L定义：z=f(x,y)

若Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)=AAx+BAy+o{p}

其中，A、B与Ax、Ay无关，。(/?)是比臧高阶的无穷小量(p=\(Ax)2+(Ay)2,则称

AAx+BAy是函数z=于(x,y)处的全微分

则：dz=df{x,y)=AAx+B廓是z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。

3.全微分与偏导数的关系

定理：若f；(x,y),f(x,y)连续,(x,y)eD.

人y

则：z=/(x,y)在点(x,y)处可微且

dz=r(x,y)dx+r(x,y)dy

人y

（五）.复全函数的偏导数:

]设：z=/(〃，v),u=w(x,y),V=v(x,y)

2=/[u(x,y),v(x,y)]

dzdzdudzdv

则:一+一

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv

+

dvQy

2设y=/(〃，v),u=〃(x),v=v(x)

y=/["(x),v(x)]

dyduSydv闲.隐含数的偏导数:

+

dxdudxdvdx

•]L.设B(x,y,z)=0,z=于(x,y),且耳/牛0

dzFxdz

则

dxF'z2y

2设R(x,y)=0,y=/(x),且4手0

dyF'x

则一=

dx

㈤.二阶偏导数:

2

dzadz

a。，y)=z)

2

XXdxdxdx

2

dz8dz

4y(无，y)=z"()

2

一yydydydy

2

dzddz

dxdydydx

2

dzddz

—(—)

31dydxdxdy

结论：物（x,y）和K（x,y）为x,y的连续函数时，贝U：f"（x,y）=f"（x,j）

（A）隐函数的导数和偏导数

F'（x,y）

x

y'=r（■对于方程方（九，y）=。所确定的y=/（尤），可以求出y对尤的导数

■y）

dzP(x，y，z)a「(x，y，z)

__JC________

-・....•••MW••-

QP(x,y,z)力F'(x,y,z)

xy)z

(九).二元函数的无条件极值

1.二元函数极值定义：

设z(x,y)在a。，力)某一个邻域内有定义，

若z(x,y)<z(xQ,yQ),［或z(x,y)>z(xQ,yQ)

则称z（%0,jg）是2（%,y）的一个极大（或极小）值,

称（％0,丁0）是z（x,y）的一个极大（或极小）值点。

☆极大值和极小值统称为极值，

极大值点和极小值点统称为极值点。

2.极值的必要条件：

若z=/（x,y）在点（X。，均）有极值，且在（％0,为）

两个一阶偏导数存在，贝I：

4（%0，丁0）=04（%0,%）=°

1使4（%,为）=fy（x0，y0）=。的点（%,力），称为z=/（x,y）的驻点。

2°定理的结论是极值存存的必要条件，

而非充分条件。

22

例：z=y-%+1

z[=~2x=0I=o

解出驻点40

zj=+2y=0屈=0

z（0,0）=1

2

当x=0,yw0时，z（0,y）=y+1>1

2

当xw0,y=0时，z（x,0）=-x+1<1

，驻点不一定是极值点。

3.极值的充分条件：

设：函数y=/（x,y）在（X。，）的某个领域内

有二阶偏导数，且（io，〉。）为驻点，

若：P=心（X0，力）」一片（%0，%）々（%。，力）

」《（》，々）<°时，=/（勺，力）为极大值。

P

.<[/；x（x0，y0）>0时，n/（》，为）为极小值。当：2>°，=/（/，为）不是极值。

当：0=0,=>不能确定。

求二元极值的方法：

1°求一阶偏导数，令两务阶偏导数等于零，解B驻点。

2°求出P,根据极值的充分条件，判断驻点是否是极值点3°若驻点是极值点，求出极值。

二倍角公式：（含万能公式）

①sin2。=2sin8cos0-2tg,

1+吆2。

②cos2。=cos2^-sin20=2cos20-1=l-2sin26=--

1+炉。

2

“2tge.2ntgO1-COS2642八1+COS28

③织2*匚线④、而。=不=丁-@COs^=^-

第五章排列与组合

（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。

（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。

排列：从n个不同元素里，任取（1＜冽4〃）个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从n个不同元素里取出m个元素

的一个排列，计算公式：

mn\n

P=n(n-l)(n-2)……[n-(m-1)]=----：—规针=n!,0!=1

n(〃一m)!〃

组合：从n个不同元素里，任取（14加4九）个元素组成一组，叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合，组合总

mn

C或（）

数记为n”，计算公式:

mn{n-1)(〃-2)......\n-(m-1)]n\0

C=-----------------------------------------------=-------------------规定。=1

nmlml(n-m)!n

mnnmmm-I

组合的性质：c=c(m>—),C=C+C

nn2n+1nn

pm

mmmm几

P=C・P或C=

nnmnpm

m

第六章概率论

符号概率论集合论

Q样本空间全集

步不可能事件空集

(D基本事件集合的元素

A事件子集

AA的对立事件A的余集

事件A发生导致

AuBA是B的子集

事件B发生

A=BA与B两事件相等集合A与B相等

事件A与事件B

AUBA与B的并集

至少有一个发生

AC\B事件A与事件B同时发生A与B的交集

A-B事件A发生而事件B不发生A与B的差集

事件A与事件B互不相容A与B没有相同元素

由于随机事件都可以用样本空间C中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表

示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示样本空间，该区域的一个

子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。

各事件的关系运算如图示：

AB

9.完备事件组

n个事件4,4,…,4,如果满足下列条件:

(1)4U&U…U4=a；

(2)4nA#J/,j=L2,…,n),

则称其为完备事件组。

显然任何一个事件A与其对立事件了构成完备事件组。

10.事件运算的运算规则：

(1)交换律=4rl5=

(2)结合律(<U为UC=<U(8UG

an为ncm3ns

(3)分配律au为nc=anc)U3nc)

⑷用uc=(Hjon(RUo

(4)对偶律(MW=Nn互可由=NU每

率的古典定义

定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为n,事件A包含的基本事件数为m,则事件A发生的概率为

«。概率的基本性质与运算法则

性质LOWP(A)W1

特别地,P(①)=0,P(Q)=1

性质2.若AuB,则p(B-A)=P(B)-P(A)

性质3.(加法公式).对任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。

推论1.若事件AB互不相容(互斥)，则P(A+B)=P(A)+P(B)

推论2.对任-事件A,有网为="⑷

推论3.对任意事件A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

条件概率、乘法公式、事件的独立性

条件概率

定义1：设有事件A,B,且P(B)>0,称

P(AB)

只川功

P®

类似地，如果P(A)〉O,则事件B对事件A的条件概率为

P(AB)

尸⑻力)=

月月)

概率的乘法公式

P(AB)=P(B)P(A\B\只⑻>0)

P(AB)=软(P(4)>0)

乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件A,B,C,有

P{ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

事件的独立性

一般地说，P(A|B)#P(A),即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。若P(A|B)WP(A),则说明事件B的发生

在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A,B相互独立。

定义:对于事件A,B,若「38)=「&»e)，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型

在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p,则在

n次试验中事件A恰好发生k次的概率为

.㈤=球/1-2严(k=0,l,2,-,n)

一维随机变量及其概率分布

(一)随机变量

1.随机变量

定义：设Q为样本空间，如果对每一个可能结果卬=口，变量x都有一个确定的实数值工(")与之对应，则称x为定义

在。上的随机变量，简记作x(或？)。

2.离散型随机变量

定义：如果随机变量x只能取有限个或无限可列个数值，则称x为离散型随机变量。

(二)分布函数与概率分布

1.分布函数

定义：设X是一个随机变量，X是任意实数，则函数尸(x)=P(XW力(-8VXV+8)称为随机变量X的分布函数。

分布函数F(x)有以下性质：

(1)0<^(x)<l,(-co<x<+co)

(2)F(x)是x的不减函数，即对任意之<工2,有玳”4尸(犯)

(3)玳-8)=Em秋x)=0,网+8)=lim玳x)=l

X->-co

氏x)=%+())=limFCx)

(4)F(x)是右连续的，即x*.

(5)对任意实数a<b,有P{a<XWb}=F(