2021-2023年高考数学真题分类汇编二：函数的概念与基本初等函数Ⅰ填空题

专题02函数的概念与基本初等函数I(填空题)

近三年高考真题

知识点1：已知奇偶性求参数

1.(2023•甲卷)若/(x)=(x-l)2+ox+sin(x+9为偶函数，则〃=.

【答案】2.

【解析】根据题意，设/(x)=(x-l)2+ox+sin(x+])=x,-2x+or+1+cosx,

若/(x)为偶函数，则/(-x)=X2+2.r-ax+1+cosx=x2-2x+ax+\+cosx=f{x),

变形可得(a-2)x=0在R上恒成立，必有a=2.

故答案为：2.

2.(2023•甲卷)若y=(x-l)2+ax+sin(x+g为偶函数,则a=.

【答案】2.

【解析】根据题意，TSLf(x)=(x-1)2+ax+sin(x+^)=x2-2x+ax+\+cosx,

其定义域为R，

若/(x)为偶函数，贝!J/(-x)=x2+2x-ar+l+cosx=x2-2x+ax+\+cosx=f(x),

变形可得(a-2)x=0,必有a=2.

故答案为：2.

3.(2022•乙卷)若/(幻=/〃|"+—!_|+匕是奇函数，则。=_一!____________.

1-x2

【答案】一!■;/〃2.

2

【解析】/(x)=ln\a+——\+b，

\-x

若a=0,则函数/(x)的定义域为{x|xwl},不关于原点对称，不具有奇偶性，

二.a00,

由函数解析式有意义可得，且“+」一力(),

1-X

:.x^\且,

.函数fM为奇函数，.•.定义域必须关于原点对称,

.\1+-=-1,解得4=」，

a2

f(x)=ln\\+b,定义域为{x|x*l且XN-1},

2(1-x)

由/(0)=0得，ln^+h=O,

b=ln2,

故答案为：--；1〃2.

2

4.(2021•新高考I)已知函数/(幻二/32一2一工)是偶函数，则”.

【答案】L

【解析】函数fa)=d(〃・2x-2-*)是偶函数,

y=d为/?上的奇函数，

故y=o2-2"也为R上的奇函数，

所以yL=o=a-2°-2°=a-1=0,

所以a=1.

法二：因为函数/(x)=Vm,2、—2一、)是偶函数，

所以/(—x)=/(x)，

即-x3(a-2T-2,)=x\a•2、—2一、)，

X

即尤35.2-2-x)+/(。.2-x-2、)=0,

即(a—l)(2'+2T)d=0,

所以a=1.

故答案为：1.

a2x-\x<0

5.(2022•上海)若函数/(冗)=卜+。x>0,为奇函数，求参数。的值为.

0x=0

【答案】1.

a2x-\x<0

【解析】,函数/(%)=<x+a%>0,为奇函数，,

0x=0

/(-1)=_/(1),.•.一/一1=-3+]),即〃(。_1)=(),求得々=0或a=l.

-l,x<0

当a=0口寸，f(x)=­0,x=0,不是奇函数，故awO；

x,x>0

x-l,x<0

当a=l时，f(x)=-O,JC=0,是奇函数，故满足条件，

x+l,x>0

综上，<7=1>

故答案为：1.

知识点2：分段函数问题

6.(2023•天津)若函数/(x)=or2-2x-|Y-办+1|有且仅有两个零点，则。的取值范围为.

【答案】(-00,0)U(0,1)U(1,+oo).

【解析】①当。=0时，/(x)=-2x-|x2+l|=-2x-x2-1,不满足题意；

②当方程x2-改+1=0满足4*0且4,,0时，

有/-4,,0即aw[-2,0)5。，2],

此时，/(x)=(«-l)x2+(a-2)%-l

，当。=1时，不满足，

当awl时，△=(4—2)2+4(。-1)=">0,满足；

③4>0时，ae(-<»,-2)<J(2，+oo),

记j?-ar+1的两根为m,n,不妨设"?<",

则f(x)=-lU-l](x+l),xe(^»,/n]|J|/?,+oo)

[[(a4-l)x-l](x-l),xG(/??,n)

当a>2时，x}=—^—f占二-1且工£(-00,/w]lJ[n,+oo),

a-\

但此时d-町+1=("；；<0,舍去石,

吃=----,%=1，且X£(W,〃)，

。+1

但此时X3一书+1=j+j>0,舍去X3,

故仅有1与-1两个解，

于是，aw(^o,0)kJ(0,1)LJ(1,+8).

故答案为：(-00,0)U(0,1)U(1,+8).

7.(2023♦上海)已知函数/。)=2-"+1,且g(x)=(呼2(x+D，：°,则方程g(x)=2的解

[f(-x),x<0

为.

【解析】当x.O时，g(x)=2olog2(x+l)=2,解得x=3；

当x<0时，g(x)=/(-x)=2*+l=2,解得x=0(舍)；

所以g(x)=2的解为：x=3.

故答案为：x=3.

8.(2022•天津)设awR,对任意实数x,记/(x)=〃?j〃{|x|-2,x2-ax+?>a-5}.若/(x)

至少有3个零点，则实数。的取值范围为.

【答案】［10,+00).

【解析】设g(x)=d-ax+3a-5,h(x)=\x\-2,由|x|-2=0可得x=12.

要使得函数f(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，

则△=/一4(3。-5)..0,

解得4,2或a.10.

①当a=2时，g(x)=x2-2x+l,作出函数g(x)、//(x)的图象如图所示：

此时函数/(x)只有两个零点，不满足题意；

②当a<2时，设函数g(x)的两个零点分别为芭、<x2),

要使得函数fM至少有3个零点，则々,，-2,

所以，2，解得4G0；

g(-2)=5。-1..0

③当a=10时，g(x)=d-10x+25,作出函数g(x)、%(x)的图象如图所示:

由图可知，函数/(x)的零点个数为3,满足题意；

④当。>10时，设函数g(X)的两个零点分别为了3、毛(工3<4)，

要使得函数f(x)至少有3个零点，则亏.2,

£>2

可得2，解得。>4,此时a>10.

g⑵="-1..0

综上所述，实数。的取值范围是口0,+00).

故答案为：［10,+00).

—x~+2,x,,1,

则/吗)=

9.(2022•浙江)已知函数/(x)=<1,,

X4---1,X>1,

X

【答案】—53+6

28

r2+2,工,1

【解析】函数/(x)=,

x+——\,x>1244

x

177437

.'./(/(-))=/(-)=-+——1=—;

244728

作出函数/(X)的图象如图:

由图可知，若当彳£[4,b]时，啜汽x)3,贝|万一4的最大值是2+G-(-l)=3+g.

故答案为：—;3+6.

28

10.(2021•浙江)已知。£尺，函数/(x)=|厂—4，'>2,若八/("))=3,则。=.

|X—31+〃,X,、2•

【答案】2.

【解析】因为函数/(X)=1-4，X>2,

[|%-3]+出工,2

所以/i(卡)=(厢2-4=2,

则/(/(厢)=/(2)=|2-3|+。=3,解得“=2.

故答案为：2.

11.(2022•北京)设函数”x)=[e：、产"’若f(x)存在最小值，则。的一个取值

[(x-2)9x..a-

为.

【答案】0,1.

【解析】当。<0时，函数f(x)图像如图所示，不满足题意，

当a=O时，函数/(x)图像如图所示，满足题意;

当0<a<2时，函数f(x)图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足-/+1..0,解得:

0<a,,1；

当a=2时，函数/(x)图像如图所示，不满足题意,

当。>2时，函数/(x)图像如图所示，要使得函数有最小值，需(a-2尸,，-^+1,无

解，故不满足题意；

综上所述：a的取值范围是［0,1］,

故答案为：0,1.

12.(2023•上海)已知函数〃x)=H：0'c，则函数f(x)的值域为.

［2,x>0

【答案】［1,+00).

【解析】当原0时，f(x)=1,

当x>0时，/(x)=2A>l,

所以函数/(x)的值域为［1,+oo).

故答案为：［1,+00).

知识点3：函数的定义域、值域、最值问题

13.(2023•北京•统考高考真题)已知函数/(xXd,+log4,则/

【答案】1

【解析】函数/(x)=4"+logzX,所以/(g)=43+k)g2；=2-l=I

故答案为：1

x+2,x<-a,

14.(2023•北京•统考高考真题)设a>0,函数f(x)=77^7,一。4x4。,，给出下列四

—x>a.

个结论：

①73在区间("1,”)上单调递减；

②当时，/(X)存在最大值；

③设M(X[J(xj)a<a),?/(x2,/(x2))(x2>a),则|MN|>1；

④设〈--a)•若IPQI存在最小值，则a的取值范围是

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③

【解析】依题意，«>0,

当x<-a时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当—aWxVa时，f(%)=y/a2—x2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为。的圆在x轴上方

的图像(即半圆)；

当x>a(1寸，/(同=_石-1,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

显然，当xe—,即H一；,yo)时，在(一河上单调递增，故①错误;

对于②，当时，

当时，/(x)=x+2<-tz+2<l；

当-aVxWa时，”到=7«=7显然取得最大值〃；

当x>a时，——\[x—\<-y/ci—1<—2,

综上：f（x）取得最大值a,故②正确；

对于③，结合图像，易知在％=",X2>a且接近于x=a处,

M（x4a）,N（X2,/（々））（々>。）的距离最小，

当玉=。时，y=/（玉）=0,当今>a且接近于x=a处，y2=/（X2）<-A/«-1,

此时，|脑^>%-%>6+1>1，故③正确；

因为「a，ra））a<-o）,G（X4,/（A：4））（X4>-<?）,

结合图像可知，要使|尸。|取得最小值，贝IJ点尸在“x）=x+2（x<-g）上，点。在

同时IPQI的最小值为点。到/（力=》+2卜<q）的距离减去半圆的半径

此时，因为“x）=y=x+2，<q）的斜率为1,则%,=-1,故直线OP的方程为'=一%,

[y=-x[x=-l/、

联立c，解得｛,，贝"T,l,

[y=x+2[y=l/

显然户(Tl)在〃x)=x+2卜<一《)上，满足|PQ|取得最小值，

即也满足归。|存在最小值，故°的取值范围不仅仅是(。1,故④错误.

故答案为：②③.

15.(2022•上海)设函数f(x)满足/*)=/(—^)对任意xe[O,+8)都成立，其值域是A,,

14-X

已知对任何满足上述条件的/(X)都有｛y|y=/(x),Oa]=Af,则〃的取值范围为.

【答案】[叵[，+oo).

2

【解析】法一：令》=—,解得》=避二1(负值舍去)，

x+12

1

当％E[0,—--]时，X]

玉+1

且当L+OO)时,总存在*2=」^je(0,3」)，使得/(X1)=/(X2),

故<yIy=/(x),o融

若a<*1，易得/(当」)任｛y|y=/(x),0Ma｝,

所以a…正匚，

2

即实数。的取值范围为[且二L+00);

2

法二：原命题等价于任意a>0J(x+a)=/(—?—),

1+X+。

所以一｝—京出nx工一(1+a)恒成立，

\+x+aa

即4-(l+a),,0恒成立，又a>0,

a

所以a…且二L

2

即实数。的取值范围为[4L+00).

故答案为：[号」,+oo).

16.(2022•北京)函数的定义域是.

X

【答案】(-00,0)50，1].

【解析】要使函数/(x)=1+J匚不有意义，

X

则解得%,1且xwO,

[1-X..0

所以函数的定义域为(V,0)U(0,1].

故答案为：(-00,0)U(0,1].

17.(2021•新高考I)函数/(x)=|2x—l|-2/nx的最小值为.

【答案】1.

【解析】法一、函数/(x)=|2x-1|-2法的定义域为(0,+oo).

当0<%，」时，f(x)=|2x-l|-2/nx=-2x+l-