湖南省永州市潇湘学园2023-2024学年高三数学理模拟试卷含解析

湖南省永州市潇湘学园2023年高二数学理模拟试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）

A.y=\x\B.y=3-xc.

1

y~~KD.y=-xJ+4

参考答案：

A

2.如图，若下列程序执行的结果是2,则输入的X值是（）

A.2B.-2c.2或-2D.0

参考答案:

C

【考点】程序框图.

【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用；算法和程序框图.

【分析】由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数

‘x,x30

y=1-X,X<0=|x|的值，进而得到答案.

【解答】解：由已知中的程序框图可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函

x,

数y=l-X,X<0=x|的值，

若输出结果为2,

则IX|=2,

则x=2或x=-2,

故选：C

【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，难度不大，属于基础题.

3.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且ZJZ2是实数，则实数t=()

A.4B.3C.3D.4

参考答案：

A

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】化简ZJZ2的式子，该式子表示实数时,根据虚部等于0,解出实数t.

【解答】解：：Z1"Z2=(3+4i)(t-i)=3t+4+(-3+4t)i是实数，...-3+4t=0,

3

t=4.

故选：A.

2

/(i)=hK-x

4.函数2的图象大致是()

AJz

9

1’7^yvv

(A)(B)(0

(D)

参考答案：

B

/jfri=——x=-----.

xX,定义域由了3>•得・<K<L则函数

，㈤在区间(••！)内递增，在区间Q，+e)内递减，且故选B.

5.为了得到函数'="8。”■7)的图象，只需要把函数y=3CO$(2X)的图

象上所有的点()

nn7i

A.向右平移6B.向右平移3C.向左平移6D.向左

n

平移W

参考答案：

A

6.抛物线y2=8x的焦点坐标是()

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,4)

参考答案：

B

【考点】抛物线的简单性质.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由抛物线y'=8x可得：p=4.即可得出焦点坐标.

【解答】解：由抛物线y?=8x可得：p=4.

P

.\2=2,

抛物线y?=8x的焦点坐标是(2,0).

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

7.已知一几何体的正视图与侧视图均为边长为2的正三角形，俯视图是半径为1的圆，则

其表面积为（）

A.

4开B.37rc.8”D.6/r

参考答案:

B

8.等差数列｛aj中，4<°,S,为前n项和，且同二工，则巨取最小值时，n的

值（）

A.10或11B.9或

10C.10D.9

参考答案：

B

9.设O—ABC是正三棱锥，Gi是aABC的重心，G是OGi上的一点，且OG=3GG「若

6G=X6A+V6B+Z6C：,^6丫，z）为

.fl1口4331（111?）<22

A,付了4JB.G，4'亨Cr.@ynD.0y可

参考答案：

A

略

10.下列选项叙述错误的是（）

A.命题“若XHI,则M-3x+2w0”的逆否命题是“若--3x+2=0,则x=l”

B.若Pvg为真命题，则「、9均为真命题

c.若命题x'+x+iwO,贝/+x+l=0

D.“X>2”是“J-3x+2>0”的充分不必要条件

参考答案:

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示（单位cm）,则它的体积为—cm3.

参考答案：

12n

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图判断几何体为一底面圆的直径为6,母线长为5的圆锥，求出圆锥的

高，代入圆锥的体积公式计算可得答案.

【解答】解：由三视图判断几何体为圆锥，其底面圆的直径为6,母线长为5,

...底面圆的半径为3,高为J52-32=4,

体积V=3JtX32X4=12JI.

故答案是12n.

12.在空间直角坐标系中，点PQQD为平面ABC外一点，其中4L8,a（o,2j）,若

平面ABC的一个法向量为"=则点p到平面ABC的距离为.

参考答案：

通

3

【分析】

根据题意表示5力,由平面羊。的一个法向量为可得m的值，利用点到面

的距离公式即可求出点〃到平面dBC的距离。

【详解】•./=（Tl»】ji=O,.•.・=-2,.•祖

J\^PA\2押

.•.P到平面的距离为|同‘63

【点睛】本题考查利用空间向量法求点到面距离的问题，考查学生空间想象能力以及计算

能力，属于基础题。

x?"=li

13.在平面直角坐标系XQ>'中，若双曲线’~~的右焦点与抛物线）‘'=IP》的焦点重

合，则P的值为▲.

参考答案：

4

14一如图，分别沿长方形纸片A8CQ和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开，拼成如

图所示的平行四边形KLMN,且中间的四边形。尺。尸为正方形.在平行四边形KLMN内随

机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

参考答案：

1

2

【分析】

设正方形M的的边长为a,正方形3QP的边长为“，分别求出阴影部分的面积和平

行四边形KLMN的面积，最后利用几何概型公式求出概率.

【详解】设正方形防W的边长为a,正方形的边长为*,在长方形加CD中，

BC—NQ—a^x^AJi-MQ—a—x

故平行四边形及孙的面积为S=(a+*-©+，+/=常，

阴影部分的面积为4’，所以在平行四边形KLMN内随机取一点，则此点取自阴影部分的

p54

概率是=27=2

15.把长度为8cm的线段围成一个矩形，则矩形面积的最大值为.

参考答案：

4

略

16.从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm),得到的数据为160,162,159,160,

159,则该组数据的方差1=—.

参考答案：

6_

【考点】极差、方差与标准差.

【分析】求出数据的平均数，从而求出方差即可.

【解答】解：数据160,162,159,160,159的平均数是：160,

11

则该组数据的方差s2=?(0=+22+12+02+12)=瓦

殳

故答案为：瓦

【点评】本题考查了求平均数、方差问题，熟练掌握方差公式是解题的关键，本题是一道

基础题.

17.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意

取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为.

参考答案：

2

3

【分析】

本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小

球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，从而得到

答案。

【详解】由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一

个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种

结果，

„102

所以根据等可能事件的概率得到153

【点睛】本题考查等可能事件的概率，属于简单题。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知向量°/=(3.-4)。8=(6「3),。。=(5-苞-3-尸).(1)若点ABC不能构

成三角形，求工.丫应满足的条件；(2)若而=2交，求%＞的值.

参考答案：

(1)若点AS，。不能构成三角形，则这三点共线

由&==(6,-3),00=(5-X.-3-.X)得

刀=(3.1).AC=(2-xA-y).

^3Q-y)=2-x

满足的条件为x-3〉+l=0；

(2)^C=(-x-l,-,y)；

由而=2而得

(2-x,】一＞)=2(-x-1,-j)

2一万二-2不-2[x=-4

〕一＞=-2＞解得卜=-1.

19.如图，在平面四边形ABCO中,AB=2^2.SC=^2.AC=2

D,

(I)求cosZlMC；

(II)若ND=45\M=90r,求CD

参考答案:

5a5

(I)8；(II)2.

【分析】

(I)在A/AC中利用余弦定理即可求得结果；(II)在A4CD中利用正弦定理构造方

程即可求得结果.

【详解】(I)在中，由余弦定理可得:

8“-25优

2AHAC-2x2五x2-8

也

：.MZDAC^OK/LBAC=

(II)•.ZZUC=9CT-Z2MC丁,

CD2

CDAC南一百

在A4CD中，由正弦定理可得:anZDAC由＞45*,即：82

CD=-

解得：2

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考查公式的简单应用，属于

基础题.

20.已知函数”目=皿匚1)

(1)设Q)=(*-lXa*-D-/(K),求函数W(x)的极值;

)>9

(2)当时，函数人1)有两个极值点4,马(马<巧)，证明：'''4

参考答案:

(1)极大值0,无极小值.(2)证明见解析

【分析】

(1)对函数求导，得其导函数的正负，研究原函数的单调性得极值;

(2)根据导函数为零，得关于这两个极值点的韦达定理，从而将两个变元的问题可转化成一

个变元的问题，再研究关于这个变元的函数的单调性和最值.

【详解】(1)解：o<x-t)41nr=hx-(x1)

则x

令4㈤=。，得X=1

所以当尤变化时，g'(D，g(0的变化情况如下表:

X(。,1)1(L,B)

或*)+0-

乐工)7极大值

因此虱目有极大值冬(1)=。，无极小值.

.12/ixP-rxc—1

f(力=2m-a—----------------

(2)证明:Xx

由题意得，凝巧一5.

因为"<马，所以巧,..

由,(巧)=0得遍_〃_1=0,

a=^5-----<。0<x,<-

则力4一、，解得r2.

所以4r2

由（1）得.巧4巧一1,

所以

1

〃巧）='（巧T）-1■巧通（巧（巧T）=^^^-（丐T）T+T^—+（[-巧）

丁巧

,,1.,59

，（z均）v

所以八.口.1♦—a+£>]♦—4=—4.

【点睛】本题考查利用导数处理极值与不等式证明问题，第二问关键将双变元转化成单变

元问题，属于难度题.

21.（12分）如图所示，四棱锥尸-加CD的底面为一直角梯形，其中

AB1AD.CD1AD,CD=AD=2AB,月41底面/CD,£是尸C的中点。

（1）求证：平面尸功;

（2）若35上平面尸CD,求异面直线尸。与BC所成角的余弦值。

参考答案：

解：(1)取F。中点尸，可证股即为平行四边形

nBR"AF,BE<z平面PAD,=M〃平面/MD

(2)取8中点G,Z5G4为所求

设乂3=a,则户0=2缶.&0=淄3"0=6，起='i"=品

略