北师大数学必修二同步配套课件：第二章-解析几何初步231-232-

§3

空间直角坐标系§3空间直角坐标系3.1

空间直角坐标系的建立

3.2

空间直角坐标系中点的坐标3.1空间直角坐标系的建立

3.2空间直角坐标系中点的坐北师大数学必修二同步配套课件：第二章-解析几何初步21.空间直角坐标系的建立(1)定义:在平面直角坐标系的基础上,通过原点O,再增加一条与xOy平面垂直的z轴,这样就建立了三个维度的空间直角坐标系,其中点O叫作原点,x,y,z轴统称为坐标轴,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.(3)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向x轴正方向,再让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向,此时大拇指的指向即为z轴正向.也称这个坐标系为右手系.1.空间直角坐标系的建立2.空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示,其中第一个是x坐标,第二个是y坐标,第三个是z坐标;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系.2.空间直角坐标系中点的坐标【做一做】

如图,长方体OABC-D1A1B1C1的长、宽、高分别为4,3,5,以长方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系,将长方体的各个顶点用坐标表示出来.解:建立如图所示的空间直角坐标系.因为|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=5,所以各顶点的坐标分别为O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),A1(3,0,5),D1(0,0,5),B1(3,4,5),C1(0,4,5).答案不唯一.【做一做】如图,长方体OABC-D1A1B1C1的长、宽、思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定是(0,b,c).(

)(2)在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定是(0,b,c).(

)(3)在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记作(0,0,c).(

)(4)在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c).(

)(5)在空间直角坐标系中,点(x0,y0,z0)关于x轴对称的点坐标为(-x0,-y0,-z0).(

)×√√√×思考辨析×√√√×探究一探究二探究三思想方法探究一根据点的坐标确定点的位置【例1】

在空间直角坐标系中,作出点M(2,-6,4).分析:可以先确定点(2,-6,0)在xOy平面的位置,再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置.解:(方法一)先确定点M'(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因为点M的竖坐标为4,则|MM'|=4,且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧,这样就可确定点M的位置(如图所示).探究一探究二探究三思想方法探究一根据点的坐标确定点的位置探究一探究二探究三思想方法方法二:以O为一个顶点,构造三条棱长分别为2,6,4的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略).反思感悟1.根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在xOy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置.2.以原点O为一个顶点,构造棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与O相对的顶点即为所求的点.探究一探究二探究三思想方法方法二:以O为一个顶点,构造三条棱探究一探究二探究三思想方法变式训练1点(-2,-1,0)在空间直角坐标系中的位置是(

)A.在z轴上

B.在xOy平面上C.在xOz平面上

D.在yOz平面上解析:因为点(-2,-1,0)的z轴坐标为0,所以点(-2,-1,0)在xOy平面上.答案:B探究一探究二探究三思想方法变式训练1点(-2,-1,0)在空探究一探究二探究三思想方法探究二已知点的位置写出它的坐标

【例2】

M-OAB是棱长为a的正四面体,顶点M在底面OAB上的射影为H,请建立适当的空间直角坐标系,并分别写出点O,A,B,H,M的坐标.分析:以O为原点,射线OA为y轴正方向建立空间直角坐标系,点B在平面xOy内.探究一探究二探究三思想方法探究二已知点的位置写出它的坐标

探究一探究二探究三思想方法解:以△AOB的顶点O为坐标原点,射线OA为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,点B在平面xOy内.由题意知|MO|=|MA|=|MB|=|OA|=|OB|=|AB|=a,本题答案不唯一.反思感悟选择一个合适的点作为空间直角坐标系的原点,是求解空间点的坐标问题的关键,本题还可以建立以H点为原点的空间直角坐标系.探究一探究二探究三思想方法解:以△AOB的顶点O为坐标原点,探究一探究二探究三思想方法变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为8,E是A1C1的中点,且|BF|=3|FB1|.建立空间直角坐标系,并求点A,C1,B1,E,F的坐标.探究一探究二探究三思想方法变式训练2如图,在正方体ABCD-探究一探究二探究三思想方法解:如图,以点D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.易得A(8,0,0),C1(0,8,8),B1(8,8,8).由于点E在xOy平面上的投影为AC的中点,所以H(4,4,0),又|EH|=8,所以点E的z坐标为8.因此点E的坐标为(4,4,8).点F在平面xOy上的投影为B(8,8,0),因为|BB1|=8,|BF|=3|FB1|,所以|BF|=6,即点F的z坐标为6.所以点F的坐标为(8,8,6).探究一探究二探究三思想方法解:如图,以点D为坐标原点,以DA探究一探究二探究三思想方法探究三空间中的对称点问题

【例3】在长方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,以O为原点,以OA,OC,OD'所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.(1)求线段A'C的中点M的坐标;(2)求点B'关于y轴对称点的坐标,关于yOz平面对称点的坐标;(3)求点B'关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标.探究一探究二探究三思想方法探究三空间中的对称点问题

【例3探究一探究二探究三思想方法分析:类比平面直角坐标系中点的对称问题,根据对称点的变化规律结合中点坐标公式即可求解.解:(1)由于|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,(2)易知B'的坐标为(3,4,2).所以B'关于y轴对称点的坐标为(-3,4,-2);B'关于yOz平面对称点的坐标为(-3,4,2).(3)设B'关于P(2,-1,-4)对称的点为B1(x0,y0,z0),则P是线段B'B1的中点,解得x0=1,y0=-6,z0=-10,于是B1(1,-6,-10),即点B'关于点P(2,-1,-4)对称点的坐标为(1,-6,-10).探究一探究二探究三思想方法分析:类比平面直角坐标系中点的对称探究一探究二探究三思想方法反思感悟空间直角坐标系中点的对称1.关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:2.求对称点的问题可以用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的口诀来记忆.如关于x轴对称的点的坐标就是横坐标不变,其余的两个变成相反数;关于坐标平面xOy的对称点,横、纵坐标不变,竖坐标变成原来的相反数.探究一探究二探究三思想方法反思感悟空间直角坐标系中点的对称2探究一探究二探究三思想方法变式训练3在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3),求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点对称的点的坐标.解:点M(1,-2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,-2,-3),关于坐标平面xOz对称的点是(1,2,3),关于坐标平面yOz对称的点是(-1,-2,3).点M(1,-2,3)关于x轴对称的点是(1,2,-3),关于y轴对称的点是(-1,-2,-3),关于z轴对称的点是(-1,2,3).点M(1,-2,3)关于原点对称的点是(-1,2,-3).探究一探究二探究三思想方法变式训练3在空间直角坐标系中,给定探究一探究二探究三思想方法空间直角坐标系的应用【典例】

如图,点A的坐标是(1,1,0),对于z轴正半轴上任意一点P,在y轴正半轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.思路点拨:由立体几何知识可知欲使PA⊥AB,只需使OA⊥AB,空间问题转化为平面问题.欲证OA⊥AB,只需证明|OA|2+|AB|2=|OB|2,从而将几何问题转化为代数计算问题.探究一探究二探究三思想方法空间直角坐标系的应用探究一探究二探究三思想方法设P(0,0,c),B(0,b,0),对于z轴正半轴上任意一点P,假设在y轴正半轴上存在一点B,使得PA⊥AB恒成立,连接OA,则由线面垂直可知只需证OA⊥AB,即只需证|OA|2+|AB|2=|OB|2.在平面xOy内的点的坐标为A(1,1),B(0,b),O(0,0),令(1-0)2+(1-0)2+(1-0)2+(1-b)2=(0-0)2+(0-b)2,解得b=2.所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB恒成立.方法点睛空间直角坐标系是解决几何问题的有利工具,利用它往往能将一个复杂的立体几何问题简单化,把几何问题转化为代数问题,可降低解题的难度.解:存在点B,使得PA⊥AB恒成立.理由如下:探究一探究二探究三思想方法设P(0,0,c),B(0,b,0123451.点P(3,0,4)位于(

)A.x轴上

B.y轴上C.xOz平面内 D.xOy平面内答案:C123451.点P(3,0,4)位于()123452.在空间直角坐标系中,点M(1,2,3)关于x轴对称的点N的坐标是(

)A.N(-1,2,3) B.N(1,-2,3)C.N(1,2,-3) D.N(1,-2,-3)答案:D123452.在空间直角坐标系中,点M(1,2,3)关于x轴123453.在空间直角坐标系中,下列各点位于yOz平面内的是

(

)A.(3,2,1) B.(2,0,0) C.(5,0,2) D.(0,-1,-3)解析:位于yOz平面内的点,其x坐标为0,其余坐标任意,故(0,-1,-3)在yOz平面内.答案:D123453.在空间直角坐标系中,下列各点位于yOz平面内的123454.在空间直角坐标系中,过点P(2,3,7)且与y轴垂直的平面与y轴的交点坐标为

,点P在xOy平面上的投影坐标为

,在yOz平面上的投影坐标是

.

答案:(0,3,0)

(2,3,0)

(0,3,7)123454.在空间直角坐标系中,过点P(2,3,7)且与y123455.已知棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D',建立如图所示的空间直角坐标系,试写出正方体各顶点的坐标.123455.已知棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'12345解:因为正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,12345解:因为正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为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

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm

56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm56384866666gjfdghmghm563848666￥111111111111111111111111111111122222222222222222222222222222222222222222222222222222222