分界面的衔接条件边值条件

授课计划——chap1-2重点内容回顾及疑难解答教学内容主

要

知

识

点

重点难点

思考题与作业

备注

预习1-4，1-51-3静电场基本方程与分界面上的衔接条件积分方程、微分方程、分界面的衔接条件1-4静电场边值问题位函数方程；边值问题的概念、分类、建立、求解。总结1.微分方程2.分界面的衔接条件3.边值问题的建立4.简单位函数方程的求解1.场点、源点的概念2.场源与电荷的对应关系3.电场强度与电位的计算4.参考电位的选取5.导体与电介质的特性测验：电场强度与电位的计算公式授课计划——chap1-2重点内容回顾教主

要

知

识

点

本讲主要内容或1.分界面衔接条件2.边值问题及其分类3.边值问题的建立（难点*）4.边值问题分析方法概述本讲主要内容或1.分界面衔接条件2.边值问题及其分类3.上一讲主要内容回顾1.源点、场点的概念2.电场强度、电位的积分公式3.电场强度与电位的对应关系4.导体、电介质在电场中的性质。5.极化电荷的作用及其分布。6.真空与电介质中的高斯定理及其应用。上一讲主要内容回顾1.源点、场点的概念2.电场强度、电位

分界面的衔接条件边值条件1-3静电场基本方程

与分界面上的衔接条件1.积分形式的基本方程（物理中学过）2.微分形式的基本方程（重点）3.两种介质分界面的衔接条件（难点）1-3静电场基本方程

与分1.积分形式的基本方程

静电系统的守恒定律。表明基本变量E在闭合回路上的环流特性，说明静电场是一种守恒性的矢量场。

高斯定律。表明基本变量D在闭合面S上的通量特性。介质特性方程。1.积分形式的基本方程静电系统的守恒定律。2.微分形式的基本方程由高斯散度定理可得由斯托克斯定理有2.微分形式的基本方程由高斯散度定理可得由斯托克斯定理有

它表明基本变量E在闭合回线上的环量特性。

表明源（电荷）与场

之间的对应关系。小结：静电场是有源场。静电场是无旋场。介质特性方程例题小结：静电场是有源场。静电场是无旋场。介质

例解一：电场明显具有球对称性，D沿半径方向

且大小只是r的函数。球的电荷总量为例解一：电场明显具有球对称性，D沿半径方向

例(解法一结果)

当r<=a时，同理可得：

当r>=a时，应用积分形式的高斯定律，可求得例(解法一结果)当r<=a时，同理可得：当r>=a时，3.两种介质交界面的衔接条件介质中静电场的基本方程D2D1E1E23.两种介质交界面的衔接条件介质中静电场的基本方程D2D1E1)交界面法线方向的衔接条件柱面h<<SD2nD1nD2tD1t

式中σ是分界面上的自由电荷密度。当分界面上没有自由电荷时，有对于此闭合面，高斯通量定律写成或写成D2D1n1)交界面法线方向的衔接条件柱面h<<SD2nD1nD2tD例(解法二)解：利用微分形式的散度方程求解。对于球外的点(r>=a),有：对于球内的点(r<=a)，散度方程为：例(解法二)解：利用微分形式的散度方程求解。对于球外的点((r<=a)(r>=a)由边界条件可知，当r=a时，D1=D2C1=0(r<=a)对比(r>=a)确定系数C1、C2

由于r0时电场应为有限值(r<=a)(r>=a)由边界条件可知，当r=a时，D1=D例

计算均匀电荷面密度为σ的无限大平面的电场。解：如图所示取柱形闭合面无限大对称、均匀例计算均匀电荷面密度为σ的无限大平面的电场。解：如图所示取

注意侧面上D0的通量为零。因此求得D0=σ/2,用矢量式表示时，为根

据

高

斯

定

律注意侧面上D0的通量为零。因此求得D0=2)分界面切线方向的衔接条件E2nE1nE2tE1t电场强度在矩形回路上的环量为零E1E22)分界面切线方向的衔接条件E2nE1nE2tE1t电场强度导体表面是等位面，E

线与导体表面垂直；导体与电介质分界面例解导体中

E1＝0，D1=0导体表面上任一点的D等于该点的

。下页上页试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。分界面衔接条件分解面介质侧表明导体表面是等位面，E线与导体表面垂直；导体与电介质分界面衔接条件小结当分界面上没有自由电荷时，有或折射定律介质分界面衔接条件小结当分界面上没有自由电荷时，有或折射定律忽略边缘效应图(a)图(b)试求两个平板电容器的电场强度。下页上页平行板电容器例解忽略边缘效应图(a)图(b)试求两个平板电容器的电场强度。1-4静电场边值问题1.静电场位函数方程2.边值问题及其分类3.边值问题的建立4.边值问题的分析方法概述1-4静电场边值问题1.静电场位函数方程1.静电场位函数方程

——泊松方程与拉普拉斯方程

由静电场微分形式的基本方程静电场泊松方程静电场拉普拉斯方程ρ=0时是矢量算子，但是标量算子。1.静电场位函数方程

——泊松方程与拉普拉斯拉普拉斯方程展开式Laplace’sequationcartesiancylindricalspherical拉普拉斯方程展开式Laplace’sequationcar介质分界面上位函数的衔接条件在不同的介质分界面上电场强度的切向分量连续

的衔接条件用位函数表示为电位移法向分量的衔接条件

用位函数表示为介质分界面上位函数的衔接条件在不同的介质分界面上电场强度的切例

半径为a的带电导体球，已知球体电位为U(无穷远处电位为零)，试求球外空间的电位函数分布。

解：球坐标系位函数拉普拉斯方程为电场强度可由电位的负梯度求得到：例半径为a的带电导体球，已知球2.边值问题及其分类第一类边界条件：场域边界上的电位值是给定的第二类边界条件：场域边界上电位的法向导数值是给定的第三类边界条件：混合边界条件注：场域周界的边界条件与介质分界面衔接条件是

两个不同的概念边值问题：泛定方程+定解条件=边值问题位函数方程

场域周界的边界条件

（介质分界面衔接条件）2.边值问题及其分类第一类边界条件：场域边界上的电位值是给定试写出图示静电场的边值问题。下页上页返回例解S1100VS250V大地以上空间：试写出图示静电场的边值问题。下页上页返回例解S1试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。

根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题（阴影区域）下页上页返回缆心为正方形的同轴电缆例解试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。根据2.静电场的唯一性定理（UniquenessTheorem)研究给定怎样的条件静电场解是唯一的。下页上页返回唯一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。唯一性定理的证明：证明（反证法）2.静电场的唯一性定理（UniquenessTheorem3.唯一性定理的意义图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。下页上页平板电容器外加电源U0例可用以判断静电场问题解的正确性。3.唯一性定理的意义图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。下页上页例

R1R2U解一应用高斯定律任一点的电位图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间下页上页

R1R2U解二解边值问题，场为轴对称，取圆柱坐标通解边界条件下页上页R1R2U解二解边值问题，场为轴对称，取圆柱坐图示长度为l的同轴电缆（l>>R），内外导体带电荷Q，求内外导体间的电场分布。下页上页返回例解一应用高斯定律，以外导体为电位参考

R1R2Q-Q解二解边值问题，通解边界条件图示长度为l的同轴电缆（l>>R），内外导体带电荷Q，求图示充以两种介质的无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。下页上页返回例

1

2R1R2R3解解边值问题，通解边界条件图示充以两种介质的无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地通解试求体电荷产生的电位及电场。采用球坐标系,分区域建立方程边界条件参考电位下页上页返回体电荷分布的球体例解通解试求体电荷产生的电位及电场。采用球坐标系,分区域建立方程电场强度（球坐标梯度公式）：得到

随r变化曲线下页上页返回电场强度（球坐标梯度公式）：得到例

z方向无限长的矩形金属槽如图所示，在x=0，x=d和y=0的边界上电位均为零,在y=h的边界上,试写出金属槽内电场的位函数边值问题方程及其通解表达式（不需求解待定系数）。（4分）

dhXY0V0V00V0V0<x<d0<y<hx=0x=dy=0y=h例z方向无限长的矩形金属槽如图所示，在x=0，x=d4.边值问题的分析方法概述边值问题的求解

解析法数值法有限差分法有限元法间接法球坐标系分离变量法直角坐标系圆柱坐标系保角变换法复位函数法复变函数法（二维平面场）镜像法（电轴法）边界元法矩量法直接解方程&1-5