安徽省毛坦厂中学2019届高三5月联考试题数学(理)试卷(含解析)

高三年级五月份联考数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=A.{x|1<x<5} B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<} D.{x|-5<x<4}2.若复数z=,则=A.3+2i B.-3+2i C.-3-2i D.3-2i3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x4.函数f(x)=的零点之和为A.-1 B.1 C.-2 D.25.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=te1+2e2(t<0),则A.的最大值为- B.的最小值为-2C.的最小值为- D.的最大值为-28.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为A. B.C. D.2.Dz===3+2i,=3-2i.3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.4.A函数f(x)=的零点为log62,-log612,故零点之和为log62-log612=-log66=-1.5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.7.A因为t<0,所以====-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.所以g(x)的值域为[-,].因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.11.C∵cosB=,∴sinB=.又10sinA-5sinC=2,∴2sinA-sinC=sinB,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.13.设tanα=x,则=6,解得x=.14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|FA|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)证明:因为-=1,所以+1=2(+1), 2分又+1=2, 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2. 4分(2)解:由(1)知+1=2n, 6分所以+2n=2n+2n-1. 7分所以Sn=+=2n+1+n2-2. 12分18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC. 1分因为AB=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB. 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1. 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. 5分(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0). 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 8分令x=4,则n=(4,-,2). 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0), 10分则cos<m,n>==. 11分故所求锐二面角的余弦值为. 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障, 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, 6分P(X=31)=()5=, 7分P(X=44)=1-=, 8分则X的分布列为X3144P9分故EX=31×+44×=. 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元, 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人. 12分20.(1)证明:依题意可得,解得, 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0), 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. 6分将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0, 7分设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, 8分则|y1-y2|==, 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|==, 10分解得m=0, 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0. 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, 1分令f'(x)=0,得x=; 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞), 4分从而f(x)min=f()=-2. 5分(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号. 7分f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤, 8分令t=2x-1(t>0),则et-2≤t2,即t-2≤2lnt-2ln2. 9分设g(t)=t-2-(2lnt-2ln2)(t>0),则g'(t)=,当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2lnt-2ln2,即g(t)≤0,从而g(t)=0,即t=2. 11分综上,x=,y=-. 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1, 1分故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0, 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1. 5分(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0, 6分因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,所以C(1,-2)到l'的距离为2, 8分即=2,解