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文档简介
1.如图所示,正方体的棱长为,,分别是棱,的中点,过直线,的平面分别与棱,交于,,设,,给出以下四个命题:①四边形为平行四边形;②若四边形面积,,则有最小值;③若四棱锥的体积,,则是常函数;④若多面体的体积,,则为单调函数.其中假命题为().A.①B.②C.③D.④【答案】D连接,,,则四棱锥分割为两个小棱锥,它们是以为底,以,为顶点的两个小棱锥,因为的面积是个常数,,到平面的距离和是个常数,所以四棱锥的体积是常函数,故③正确;对于④,多面体的体积为常数函数,故④错误.综上所述,假命题为④.故选2.已知正方体ABCD-的棱长为2,E为棱的中点,点M在正方形内运动,且直线AM//平面,则动点M的轨迹长度为A.B.C.2D.π【答案】B3.在空间直角坐标系中,到轴和轴距离相等的点的轨迹为()A.一个平面B.两个平面C.一条直线D.两条直线【答案】B【解析】到轴和轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面,故选.4.在空间直角坐标系中,正四面体的顶点、分别在轴,轴上移动.若该正四面体的棱长是,则的取值范围是().A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示,故选.5.如图所示,在正方形中,分别为的中点,点是底面内一点,且平面,则的最大值是()A.B.C.D.【答案】D6.已知正方体的棱长为2,点分别是棱的中点,点在平面内,点在线段上,若,则长度的最小值为A.B.C.D.【答案】C7.如图,面,B为AC的中点,,且P到直线BD的距离为则的最大值为()A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】∵到直线的距离为∴空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面,它和面相交得一椭圆,即点在内的轨迹为一个椭圆,为椭圆中心,,,则∴为椭圆的焦点∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值∴的最大值为故选B.8.如图所示,在正方体中,点是平面内一点,且,则的最大值为().A.B.C.2D.【答案】D【解析】∴平面,同理,平面,∴当在直线上时,都满足,∴是最大值.故选项是正确的.9.如图所示,正方体的棱长为,,分别是棱,的中点,过直线,的平面分别与棱、交于,,设,,给出以下四个命题:①平面平面;②当且仅当时,四边形的面积最小;③四边形周长,是单调函数;④四棱锥的体积为常函数;以上命题中假命题的序号为().A.①④B.②C.③D.③④【答案】C②连接,∵平面,四边形的对角线是固定的,要使面积最小,只需的长度最小即可,此时为棱中点,,长度最小,对应四边形的面积最小,②正确;④连接,,,四棱锥分割成两个小三棱锥,以为底,分别以、为顶点,∵面积是个常数,、到平面的距离是个常数,∴四棱锥的体积为常函数,④正确.10.如下图在直三棱柱中,,,已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点(不包括端点),若,则线段长度的取值范围为().A.B.C.D.【答案】A【解析】∴当时,线段长度的最小值是,当时,线段长度的最大值是,(因为不包括端点,故不能取,即长度不能等于),故线段的长度的取值范围是:,本题选择A选项.11.设点是棱长为2的正方体的棱的中点,点在面所在的平面内,若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等,则点到点的最短距离是()A.B.C.1D.【答案】A12.如图,直三棱柱中,,,,外接球的球心为,点是侧棱上的一个动点.有下列判断:①直线与直线是异面直线;②一定不垂直;③三棱锥的体积为定值;④的最小值为.其中正确的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】如图,∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线,故①正确;∴正确命题的个数是3个。本题选择C选项.13.已知边长为1的正方形与所在的平面互相垂直,点分别是线段上的动点(包括端点),,设线段的中点的轨迹为,则的长度为()A.B.C.D.2【答案】A【解析】如图,∵0≤s≤1,0≤t≤1,∴.∴PQ中点M的轨迹方程为.轨迹l为在垂直于y轴且距原点的平面内,半径为的四分之一圆周.∴l的长度为.故选:D.14.在棱长为2的正方体中,分别是、中点,分别为线段上的动点,若,则线段长度的最小值是()A.B.C.D.1【答案】A【解析】∴,∴当时,线段MN长度取最小值.本题选择A选项.15.底面为正方形的四棱锥,且平面,,,线段上一点满足,为线段的中点,为四棱锥表面上一点,且,则点形成的轨迹的长度为()A.B.C.D.【答案】B【解析】∴平面,∴P点轨迹为.∵,,∴的周长为.故选:B.16.空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面两两互相垂直,点,点到的距离都是2,点是上的动点,满足到的距离是到点距离的2倍,则点的轨迹上的点到的距离的最大值是__________.【答案】17.如图,等腰所在平面为,,,点,分别为,的中点,点为的中点.平面内经过点的直线将分成两部分,把点所在的部分沿直线翻折,使点到达点(平面).若点在平面内的射影恰好在翻折前的线段上,则线段的长度的取值范围是__________.【答案】【解析】当与CD重合时,=0,由题意得为直角三角形,且斜边为定值,所以要求最大值,只需GH最小,GH最小值为,所以,填。18.在内切圆圆心为的中,,,,在平面内,过点作动直线,现将沿动直线翻折,使翻折后的点在平面上的射影落在直线上,点在直线上的射影为,则的最小值为__________.【答案】19.已知四面体ABCD的所有棱长都为,O是该四面体内一点,且点O到平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD的距离分别为,x,和y,则+的最小值是___.【答案】;【解析】该几何体为正四面体,体积为.各个面的面积为,所以四面体的体积又可以表示为,化简得,故.20.已知正方体的棱长为2,点是线段上的动点,则三棱锥的外接球半径的取值范围为__________.【答案】21.已知四棱椎中,底面是边长为2的菱形,且,则四棱锥体积的最大值为________.【答案】【解析】四棱锥的体积最大,则使得底面积和高均取得最大值即可,底面积最大时,ABCD为正方形,此时底面积,高有最大值,首先要保证平面平面,由可知,点在平面内的轨迹是以中点为圆心,长度为直径的圆,则高的最大值为:,综上可得:体积的最大值为:.22.是长、宽、高分别为12,3,4的长方体外接球表面上一动点,则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是__________.【答案】23.如图,有一圆锥形粮堆,其正(主)视图是边长为6m的正,粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在处,它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是________________m.【答案】【解析】圆锥的底面半径为3m,周长是6πm,展开图中大圆半径为6m,则圆心角为,即圆锥侧面展开图的圆心角是180度。则在圆锥侧面展开图中AP=3,AB=6,∠BAP=90°。∴在圆锥侧面展开图中.故小猫经过的最短距离是m.故答案是:.24.空间四边形的两条对棱、的长分别为和,则平行于两条对棱的截面四边形在平移过程中,周长的取值范围是__________.【答案】故答案为:.25.四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面是以为斜边的等腰直角三角形,若,则四棱锥的体积取值范围为_____.【答案】【解析】如图所示,四棱锥中,可得:平面平面平面,过作于,则平面,故,在中,,设,则有,,又,则,四棱锥的体积取值范围为.26.已知空间四边形中,对角线,则空间四边形中平行于和的截面四边形的周长的取值范围是____________【答案】27.点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点,点为上一点,,则动点的轨迹的长度为__________.【答案】【解析】因为,所以在过且垂直于的平面上,如下图(1),取,,则平面,所以在一个圆周上,如图下图(2),正方体的中心到该平面的距离即为,在直角三角形中,,而,故,,所在的圆周的半径为,故其轨迹的长度为图(1)图(2)28.在棱长为1的正方体中,为的中点,在面中取一点,使最小,则最小值为__________.【答案】29.如图,在四面体中,与所成的角为60°,点分别在棱上,若直线都平行于平面,则四边形面积的最大值是_________.【答案】30.在中,,,,点分别在边上,且,沿着将折起至的位置,使得平面平面,其中点为点翻折后对应的点,则当四棱锥的体积取得最大值时,的长为__________.【答案】【解析】由勾股定理易得:,设,则,而△AED∽△ABC,故,四棱锥的体积:,求导可得:,当时,单调递增;当时,单调递减;故当时,取得最大值.31.已知是半径为5的球面上的点,且,当四面体的体积最大时,__________.【答案】32.已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=,G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;(2)当取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.【答案】(1)有最大值为;(2)二面角的余弦值为:-.【解析】试题-高考群:611508768-公众号:新课标试卷分析:(1)由平面,,可得,进而由面面垂直的性质定理得到平面,进而建立空间坐标系,可得的解析式,根据二次函数的性质,易求出有最大值;(2)根据(1)的结论平面的一个法向量为,利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量,代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.(2)设平面DBF的法向量为,∵AE=2,B(2,0,0),D(0,2,2),F(0,3,0),∴(-2,2,2),则,即,取x=3,则y=2,z=1,∴面BCF的一个法向量为则cos<>=.由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为:-33.如图,在三棱锥中,,,,,直线与平面成角,为的中点,,.(Ⅰ)若,求证:平面平面;(Ⅱ)若,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).(Ⅱ)若,则,故,,设是到面的距离,是到面的距离,则,由等体积法可得,.设直线与平面所成角为,则,据此可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.(Ⅱ)若,∴,∵,∴,,设是到面的距离,是到面的距离,则,由等体积法:,∴,∴.设直线与平面所成角为,则.∵,∴.∴故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.34.如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,垂直于圆所在的平面,且.(1)若为线段的中点,求证平面;(2)求三棱锥体积的最大值;(3)若,点在线段上,求的最小值.【答案】(1)见解析(2)(3).【解析】试题-高考群:611508768-公众号:新课标试卷分析:(1)由等腰三角形三线合一可得,由线面垂直的定义可得,最后利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)当底面ABC面积最大时,三棱锥体积由最大值,由几何关系可得当时,面积的最大值为,结合三棱锥体积公式可得三棱锥体积的最大值为.(3)将将侧面绕旋转至平面C,使之与平面共面,由平面几何的知识可知,,共线时,取得最小值.结合筝形的性质计算可得的最小值为.(2)因为点在圆上,所以当时,到的距离最大,且最大值为.又,所以面积的最大值为.又因为三棱锥的高,故三棱锥体积的最大值为.(3)在中,,,所以.同理,所以.在三棱锥中,将侧面绕旋转至平面C,使之与平面共面,如图所示.35.如图,中,,,,,,.(1)若与平面成角,求此时与平面所成的角的正弦值;(2)求长的最小值.【答案】(1)(2)【解析】试题-高考群:611508768-公众号:新课标试卷分析:(1)由,与平面成角,求得的长,,给出线面角,求出各边长度即可求出与平面所成的角的正弦值(2)要求长的最小值,只要最小即可,即当时最小解析:。,要让最小,只要最小即可,即当时最小,
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