立体几何填空题分类汇编- 全国新高考地区近2年(2020-2021)高三上学期期末考试数学试题

第页全国卷（新课标）高三期末精编-立体几何填空题型一：球体问题1．（2021·辽宁葫芦岛·高三期末）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是_______．2．（2021·山东聊城一中高三期末）正方体的棱长为2，动点在对角线上，当时，三棱锥的外接球的体积为______．3．（2021·江苏常州·高三期末）如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为___________．4．（2021·福建三明·高三期末）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为__________.5．（2020·天津西青·高三期末）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_____．6．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．

7．（2021·山东德州·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球表面积为_________．8．（2020·广东清远·高三期末（理））在三棱锥中，底面.若，分别是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________.

9．（2020·山东德州·高三期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.10．（2021·江苏海门·高三期末）我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为________．

题型二：点到面距离问题11．（2020·江苏无锡·高三期末）在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.12．（2021·江苏·盐城市伍佑中学高三期末）已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于､､的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.13．（2021·山东菏泽·高三期末）已知四边形是边长为1的正方形，半径为1的圆所在平面与平面垂直，点是圆上异于的任一点，当点到平面的距离最大时四面体的体积为________．

题型三：几何体位置关系判定14．（2021·辽宁抚顺·高三期末）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.15．（2020·江苏镇江·高三期末）已知正方体，棱长为1.点E是棱上的任意一点，点F是棱上的任意一点，则三棱锥的体积为______.16．（2021·辽宁沈阳·高三期末）如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点.，且，则下列结论中正确的序号是_________.①；②平面；③三棱锥的体积为定值；④△AEF的面积与的面积相等.

17．（2021·内蒙古赤峰·高三期末（理））在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．18．（2020·陕西·西安中学高三期末（理））已知矩形，，，将△ADC沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有_____.①三棱锥的体积的最大值为；②三棱锥的外接球体积不变；③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是60°；④异面直线与所成角的最大值为90°.

19．（2021·浙江杭州·高三期末）在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．

全国卷（新课标）高三期末精编-立体几何填空解析版题型一：球体问题1．（2021·辽宁葫芦岛·高三期末）正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是_______．【答案】【分析】用正三棱锥的性质及等体积法确定内切球的半径即可.【详解】设内切球半径为，则三棱锥高：；斜高：，表面积：，体积：，得，所以内切球的表面积为故答案为:2．（2021·山东聊城一中高三期末）正方体的棱长为2，动点在对角线上，当时，三棱锥的外接球的体积为______．【答案】【分析】由题意得出正方体对角线的中点，则有是正四棱锥，的外接球就是的外接球．是，交点，则平面，外接球球心在上，设球半径为，由勾股定理可求得，得体积．【详解】正方体棱长为2，则对角线长为，，∴是中点，是正方体所有对角线的交点，因此是正四棱锥，的外接球就是的外接球．如图，设是外接球球心，交点，则共线，底面，因此（∵平面），设外接球半径为，则，即，解得，所以．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查球的体积，解题关键是找到球的球心，求出半径，解题时充分利用正方体的对称性，得出是正四棱锥，其外接球就是三棱锥的外接球，利用正四棱锥的性质易得其外接球球心，求得半径．3．（2021·江苏常州·高三期末）如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为___________．【答案】.【分析】设出小球半径，结合图形，利用已知条件，根据勾股定理，即可求出答案.【详解】易知大球的半径为，设小球的半径为，为小球球心，为大球球心，大球与正四棱柱的下底面相切与点，小球与正四棱柱的上底面相切与点，连接，作于点，如图，由题意可知，,，所以，,因为两圆相切，所以，因为为直角三角形，所以，即，又因为，所以.故答案为：.【点睛】与球有关的“切”“接”问题，主要考查学生的空间想象能力，解答时要准确掌握“切”“接”问题的处理规律.(1)“切”的处理首先要找准切点，通过做截面来解决，使截面过切点和球心.(2)“接”的处理抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.4．（2021·福建三明·高三期末）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为__________.【答案】【分析】设正三棱柱下底面和上底面的中心分别为，则的中点为球心，取棱中点，则为棱与球的切点，为球半径，而到棱的距离等于，这样利用勾股定理可求得半径，从而得体积．【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，由正三角形性质知，与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，球体积为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查求球的体积，解题关键是利用对称性确定球心位置求得球的半径．从而求得球的体积．利用对称性知正三棱柱上下底面中心连线的中点为球心，而各棱与球相切的切点为各棱中点．从而易求得结论．5．（2020·天津西青·高三期末）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2ACAB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为_____．【答案】【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R，则AB＝2R，2ACAB2R，∴ACR，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2，所以Rt△ABC面积SBC×ACR2，又PO⊥平面ABC，且PO＝R，四面体P﹣ABC的体积为，∴VP﹣ABCRR2，即R3＝9，R3＝3，所以：球的体积VπR3π×34π．故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.6．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．【答案】4【分析】取中点，连接，，再根据题意依次计算，进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为，，，所以，又因为，所以，所以，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，取中点，连接，所以，，所以平面，所以，此时，，，所以，即球的球心球心即为（与重合），半径为.故答案为：.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，均为直角三角形，故易得中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.7．（2021·山东德州·高三期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球表面积为_________．【答案】．【分析】根据棱锥的性质，证明的中点就是三棱锥的外接球球心，得出半径后可求表面积．【详解】取中点，中点，连接，则，因为底面，所以平面，是菱形，则，所以是的外心，又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．又，，所以，所以，所以三棱锥的外接球表面积为．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是求出外接球球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．8．（2020·广东清远·高三期末（理））在三棱锥中，底面.若，分别是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为__________.【答案】【分析】根据题意，结合题中几何体的结构，将题中棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.【详解】因为底面，所以.又，所以平面，故.又，故，所以平面，所以.又，所以，故两两垂直.又，故该三棱锥外接球的半径与一个棱长分别为1，，的长方体外接球半径相同.所以三棱锥的外接球的半径为，故外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，涉及线面垂直，线线垂直的性质和判定；本题的关键是将棱锥的外接球问题转化为长方体外接球问题.9．（2020·山东德州·高三期末）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.【答案】【分析】求出鳖臑的外接球的半径，可求出，然后求出正方形的外接圆半径，利用公式可求出阳马的外接球半径，然后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】四边形是正方形，，即，且，，所以，的外接圆半径为，设鳖臑的外接球的半径，则，解得.平面，，可得，.正方形的外接圆直径为，，平面，所以，阳马的外接球半径，因此，阳马的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．（2021·江苏海门·高三期末）我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，且，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为________．

【答案】【分析】如图，连接，取的中点为，连接，可证，设，则，利用基本不等式可求何时取最小值，又可证为三棱锥的外接球的球心，从而可求此时外接球的表面积.【详解】如图，连接，取的中点为，连接.因为三棱柱为直棱柱，故平面，而平面，故，又，，故平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故.设，在直角三角形中，，同理，所以，整理得到.又，当且仅当时等号成立，也就是时，的面积取最小值.因为平面，平面，故，故，而为直角三角形，故，故为三棱锥的外接球的球心，故外接球的直径为，所以外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：空间中线线垂直、线面垂直可以相互转化，而三棱锥外接球的表面积体积的计算关键是球心位置的确定，可用球心到各顶点的距离相等来判断，必要时可补体，通过规则几何体的外接球来确定球心的位置.题型二：点到面距离问题11．（2020·江苏无锡·高三期末）在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______.【答案】【分析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，，，所以，所以，设点到平面的距离为，解得故答案为：【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.12．（2021·江苏·盐城市伍佑中学高三期末）已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于､､的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.【答案】【分析】根据题中的垂直关系，确定球心，再根据球的表面积公式计算，再求点到平面的距离.【详解】由，，并且平面，平面，，且平面，，是直角三角形和的公共斜边，取的中点，根据直角三角形的性质可知，所以点是三棱锥外接球的球心，设，则，则三棱锥外接球的表面积，，解得：,点到平面的距离.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.13．（2021·山东菏泽·高三期末）已知四边形是边长为1的正方形，半径为1的圆所在平面与平面垂直，点是圆上异于的任一点，当点到平面的距离最大时四面体的体积为________．【答案】【分析】以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设其中，设平面MAB的法向量是0，，又0，，可得点C到平面ABM的距离有最大值，其最大值为，即可MABC的体积；【详解】解：以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则，，，

依题意，可设，其中，．

设平面MAB的法向量是，AB=DC=0,1,0，AM=-1,m,n，

由a⋅AB=0,a⋅AM=0,可得取，得a=n,0,1，

又

到平面MAB的距离h=CB⋅aa=n1+n2∈0,22，

点C到平面ABM的距离有最大值，其最大值为，

当h取得最大值时，，则，

且，题型三：几何体位置关系判定14．（2021·辽宁抚顺·高三期末）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________.【答案】【分析】先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果.【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为，由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长，则其表面积为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是：（1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥；（2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长；（3）要熟练掌握圆锥的表面积公式.15．（2020·江苏镇江·高三期末）已知正方体，棱长为1.点E是棱上的任意一点，点F是棱上的任意一点，则三棱锥的体积为______.【答案】【分析】由题意画出图形，再由等积法求三棱锥的体积．【详解】根据题意画出图形，如下图所示：∵正方体棱长为1，点是棱上的任意一点，点是棱上的任意一点.

∴故答案为：.【点睛】本题考查多面体体积的求法，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．16．（2021·辽宁沈阳·高三期末）如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点.，且，则下列结论中正确的序号是_________.①；②平面；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等.【答案】①②③【分析】①由平面垂直可判断，②由线面平行的定义可判断，③棱锥底面面积不变，顶点到底面距离不变可判断结论，④分析到直线的距离即可判断.【详解】对于①，由题意及图形知，平面，故可得出，故①正确，对于②，由正方体的两个底面平行，在其一面上，故与平面无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确，对于③，由几何体的性质及图形知，三角形的面积是定值，点到面的距离等于BD的一半，故可得三棱锥的体积为定值，故③正确，对于④，由图形可以看出，到线段的距离与到的距离不相等，故的面积与的面积相等不正确，故④错误，∴正确命题的序号是①②③.故答案为：①②③17．（2021·内蒙古赤峰·高三期末（理））在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．【答案】①②④【分析】让从开始逐渐向运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．【详解】由题设可得为所在棱的中点.当时，如图（1），

直线分别交与，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.

当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故B正确.当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即、、三条直线交于一点.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及