1.5 平方差公式（第1课时）同步课件 2023-2024学年北师大版七年级数学

1.5平方差公式（第1课时）计算下列各题：(1)(x+2)(x－2)；

(2)(1+3a)(1－3a)；(3)(x+5y)(x－5y)；(4)(2y+z)(2y－z).观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？再举两例验证你的发现.解：（1）（x+2）（x–2）=x2–2x+2x–4=x2–4（2）（1+3a）（1–3a）=1–3a+3a–9a2=1–9a2（3）（x+5y）（x–5y）（4）（2y+z）（2y–z）=x2–5xy+5xy–25y2=x2–25y2=4y2–2yz+2yz–z2=4y2–z2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.平方差公式：(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=

=

.(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的

.(3)符号语言：(a+b)(a-b)=

.a2-ab+ab-b2a2-b2平方差a2-b2公式变形:(a–b)(a+b)=a2−b2(b+a)(−b+a)=a2−b2平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=a2-b2

相同为a相反为b适当交换合理加括号(a+b)(a−b)=a2−b2结构特点：(1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)];

(2)公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方.

(3)公式中的a和b可以代表数，也可以是代数式．例1.利用平方差公式计算：（1）（5+6x）（5–6x）；（2）（x–2y）（x+2y）；（3）（–m+n）（–m–n）；解（1）（5+6x）（5–6x）=52–（6x）2=25–36x2（2）（x–2y）（x+2y）=x2–（2y）2=x2–4y2（3）（–m+n）（–m–n）=（–m）2–n2=m2–n2（a–b）（–a–b）=？等于什么？

（a–b）（–a–b）=–（a–b）（a+b）=–（a2–b2）=b2–a2例2.利用平方差公式计算（1）（x–y）（x+y）；（2）（ab+8）（ab–8）.解（1）（x–y）（x+y）；=（x）2–y2；=

x2–y2；（2）（ab+8）（ab–8）.=（ab）2–82=a2b2–64

当

m=2

时，原式=

24–16

=0=

m4–16=

(m2–4)(m2+4)=(m+2)(m–2)(m2+4)解:（1）(m+2)(m2+4)(m–2)

例3：

先化简，再求值

：(m+2)(m2+4)(m–2)，其中m=2.例4.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．1.下列运算正确的是(

)A．x3＋x5＝x8B．x3＋x5＝x15C．(x＋1)(x－1)＝x2－1D．(2x)5＝2x52．若a2-b2=-，a+b=-，则a-b的值为（）A．B．C．2D．43．用平方差公式计算（x-1）（x+1）（x2+1）结果正确的是（）A．x4-1B．x4+1 C．（x-1）4D．（x+1）4A

A4.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(

)A．(2a＋b)(－2a＋b)B．(a＋2)(2＋a)C．(－a＋b)(a－b)D．(a＋b2)(a2－b)5.若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值为(

)A．14B．－14C．45D．－456．已知a+b=53，a-b=38，则a2-b2的值为（）A．15B．38C．53D．2014D7．下列各式计算正确的是（）A．2a2+3a2=5a4B．（-2ab）3=-6ab3C．（3a+b）（3a-b）=9a2-b2D．a3·（-2a）=-2a3C8.计算：(1)(x＋6)(x－6)＝________；(2)(2＋a)(2－a)＝________；(3)(x＋2y)(x－2y)＝________;(4)(2m－5n)(2m＋5n)＝________.4m2－25n2x2－364－a2x2－4y29．化简：（x+y）（x-y）-（2x-y）（x+3y）．解：原式=x2-y2-（2x2+6xy-xy-3y2）=x2-y2-2x2-5xy+3y2=-x2-5xy+2y2．10.计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1).解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＝(28－1)(28＋1)＝216－1如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.（1）请表示图中阴影部分的面积.aba2–b2（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗?ab（a+b）（a–b）（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？abab阴影部分的面积相等：a2–b2=（a+b）（a–b）计算下列各式，并观察他们的共同特点：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

你发现了什么？（a–1）（a+1）=

a2–1例1.用平方差公式进行计算：(1)103×97；(2)118×122.解：(1)103×97=(100+3)(100－3)=1002－32=9991；(2)118×122=(120－2)(100+2)=1202－22=14396.例2.计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)–2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.例3.运用平方差公式计算：(1)2014×2016－20152；(2)1.03×0.97；(3)40×39.解：

(1)原式

＝(2015－1)(2015＋1)－20152

＝20152－1－20152＝－1；(2)原式

＝(1＋0.03)(1－0.03)＝12－0.032

＝1－0.0009＝0.9991；(3)原式例4：公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便．解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．例5.王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？1.已知a=7202,b=721×719；则（）A.a=bB.a>bC.a<bD.a≤b2.计算20162－2015×2017的结果是(

)A．1

B．－1

C．2

D．－2（1）51×49；（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).（2）13.2×12.8；3.利用平方差公式计算：4.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a,b的恒等式为(

)A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.a(a-b)=a2-ab

C

5.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(

)A.a(a－b)＝a2－abB.(a－b)2＝a2－2ab＋b2C.(a－b)2＝a2－b2D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)D6.填空：(1)已知(x－a)(x＋a)＝x2－9，则a的值为________；(2)若(m＋4x)(m－4x)＝36－nx2，则mn的值为________．±96±37.97×103=_______________=______________=________________=_______________.(100-3)(100+3)1002-910000-999918.计算：(1)102×98(用简便方法计算)；(2)(x－1)(x＋1)(x2＋1)．解：原式＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝10000－4＝9996解：原式＝(x2－1)(x2＋1)＝(x2)2－