安徽省合肥市瑶海区2016-2017学年八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．在二次根式，﹣，，，中，最简二次根式有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≥13．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤4 D．4．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．35．若a为方程x2+x﹣5=0的解，则a2+a+1的值为（）A．12 B．6 C．9 D．166．为了美化环境，加大对绿化的投资．2008年用于绿化投资20万元，2010年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．20x2=25 B．20（1+x）=25C．20（1+x）+20（1+x）2=25 D．20（1+x）2=257．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是（）A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+4）2=﹣78．下列命题中，是假命题的是（）A．在△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形9．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）A．13 B．5 C．13或5 D．410．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+A．0 B．1 C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．若=2x，则x的取值范围是．12．一元二次方程x（x﹣1）=x的解是．13．若方程x2﹣x+n=0有两个相等实数根，则的值是．14．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有．三、解答题15．计算：16．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．（1）求DC的长．（2）求AB的长．故选D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤4 D．【考点】AA：根的判别式．【专题】11：计算题．【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与b2﹣4ac有关，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．4．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】AB：根与系数的关系；A3：一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求解．【解答】解：设另一根为m，则1•m=2，解得m=2．故选B【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．要求熟练运用此公式解题．5．若a为方程x2+x﹣5=0的解，则a2+a+1的值为（）A．12 B．6 C．9 D．16【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义直接得出a2+a进而求出即可．【解答】解：∵a为方程x2+x﹣5=0的解，∴a2+a﹣5=0，∴a2+a=5则a2+a+1=5+1=6．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，根据定义将a2+a看作整体求出是解题关键．6．为了美化环境，加大对绿化的投资．2008年用于绿化投资20万元，2010年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（）A．20x2=25 B．20（1+x）=25C．20（1+x）+20（1+x）2=25 D．20（1+x）2=25【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】123：增长率问题．【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元”，可得出方程．【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25故选：D．【点评】本题为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．7．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方式后，方程是（）A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+4）2=﹣7【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【专题】42：配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x2+8x+9=0∴x2+8x=﹣9∴x2+8x+16=﹣9+16∴（x+4）2=7故选A．【点评】解决本题容易出现的错误是移项忘记变号，并且配方时是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．下列命题中，是假命题的是（）A．在△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形【考点】O1：命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、在△ABC中，若∠B=∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；B、在△ABC中，若a2=（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，是真命题；C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；D、在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；故选C．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）A．13 B．5 C．13或5 D．4【考点】KQ：勾股定理．【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3都是直角边或3是斜边，熟练运用勾股定理进行计算．【解答】解：当2和3都是直角边时，则x2=4+9=13；当3是斜边时，则x2=9﹣4=5．故选C．【点评】此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．10．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+A．0 B．1 C． D．【考点】KU：勾股定理的应用．【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【解答】解：根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA1→A1D1→D1C1→C1乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2013÷6=335…3，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止的点都是C1，所以它们之间的距离是0，故选：A．【点评】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．若=2x，则x的取值范围是x≥0．【考点】73：二次根式的性质与化简．【分析】根据（a≥0），可得答案．【解答】解；=2x，2x≥0，故答案为：x≥0．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据（a≥0）是解题关键．12．一元二次方程x（x﹣1）=x的解是0或2．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】11：计算题．【分析】注意要把方程化为左边为两个一次因式相乘，右边为0的形式，才能运用因式分解法解方程．【解答】解：原方程变形得：x（x﹣1）﹣x=0x（x﹣2）=0∴x1=0，x2=2故本题的答案是x1=0，x2=2．【点评】因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．13．若方程x2﹣x+n=0有两个相等实数根，则的值是4．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣）2﹣4n=0，整理得m=4n，代入即可得到的值．【解答】解：根据题意得△=（﹣）2﹣4n=0，即m=4n，所以=4．故答案为4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有①②③．【考点】KQ：勾股定理．【专题】2B：探究型．【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，故本选项正确；②由图可知，x﹣y=CE==2，故本选项正确；③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+4=49，即2xy+4=49；故本选项正确；④由2xy+4=49可得2xy=45①，又∵x2+y2=49②，∴①+②得，x2+2xy+y2=49+45，整理得，（x+y）2=94，x+y=≠9，故本选项错误．∴正确结论有①②③．故答案为①②③．【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．三、解答题15．计算：【考点】79：二次根式的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】利用完全平方公式，利用平方差公式计算，然后再合并同类项．【解答】解：原式=5﹣6+9+11﹣9=16﹣6．【点评】本题主要考查完全平方公式和平方差公式在二次根式混合运算中的作用．16．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】利用“提取公因式（x﹣3）”对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【解答】解：由原方程，得3（x﹣3）（x﹣1）=0，所以，x﹣3=0或x﹣1=0，解得，x1=3，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．（1）求DC的长．（2）求AB的长．【考点】KQ：勾股定理．【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长；（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；（2）在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．【点评】本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．18．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．【考点】AB：根与系数的关系；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，即b2+8b﹣20=0；解得b=2，b=﹣10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5﹣2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【点评】此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．19．（10分）（2017春•瑶海区期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？【考点】KU：勾股定理的应用．【专题】14：证明题．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设AE=x，则BE=25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=102+x2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=152+（25﹣x）2，由题意可知：DE=CE，所以：102+x2=152+（25﹣x）2，解得：x=15km．（6分）所以，E应建在距A点15km处．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．20．如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m【考点】AD：一元二次方程的应用．【专题】121：几何图形问题．【分析】设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可．【解答】解：设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x﹣1）m，根据题意得：x（2x﹣1）=15，解得：x1=3，x2=（不合题意舍去），小正方形的边长为（x﹣1）=3﹣1=2，裁剪后剩下的阴影部分的面积=15﹣22﹣32=2（m2），答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据小正方形的边长表示出大正方形的边长，难度不大．21．观察下列运算①由（）（）=1，得=；②由（）（）=1，得=；③由（）（）=1，得=；④由（）（）=1，得=；…（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来．（2）利用你发现的规律，计算：+…+．【考点】76：分母有理化．【分析】（1）原式仿照阅读材料中的方法：结果与分母只差一个符号，根据此规律求出值即可；（2）原式第一个括号中仿照阅读材料中的方法变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）=（n为正整数）；（2）原式=（﹣1）+（﹣）+（）+…+（），=﹣1+﹣+﹣+…+，=﹣1．【点评】此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．22．某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，得出该公司当月售出7辆汽车时，则每辆汽车的进价为：30﹣0.1×（7﹣1），即可得出答案；（2）利用设需要售出x辆汽车，由题意可知，每辆汽车的销售利润，列出一元二次方程．【解答】解：（1）若该公司当月售出7