新课第01讲：平面向量的概念 原卷版

新课第01讲：:平面向量的概念【考点梳理】考点一：平面向量的概念 考点二：向量的模考点三：零向量和单位向量 考点四：相等向量和平行（共线）向量考点五：平面向量的综合问题【知识梳理】知识点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.知识点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).知识三：.模、零向量、单位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.知识四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【题型归纳】题型一：平面向量的概念1．（2023下·山西阳泉·高一阳泉市第十一中学校校考期中）下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．32．（2020下·高一课时练习）下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段

②零向量是没有方向的向量③零向量的方向是任意的

④任何向量的模都是正实数A．0 B．1 C．2 D．33．（2020·高一课时练习）下列结论正确的是A．单位向量的方向相同或相反 B．对任意向量,总是成立的C． D．若,则一定有直线题型二：向量的模4．（2022下·陕西渭南·高一统考期末）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形5．（2021下·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．向量与向量的长度相等B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．零向量没有方向D．向量的模是一个正实数6．（2021下·高一课时练习）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（

）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④题型三：零向量和单位向量7．（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同8．（2021下·高一课时练习）设非零向量，若，则的取值范围为（

）A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]9．（2020上·安徽六安·高一六安一中校考期末）下列说法不正确的是（

）A．平行向量也叫共线向量B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同题型四：相等向量和平行（共线）向量10．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则11．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）下列各命题中，正确的是（

）A．若，则或B．与非零向量共线的单位向量是C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量D．若，则12．（2023·高一课时练习）给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型五：平面向量的综合问题13．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：

(1)找出与相等的向量；(2)找出几组相反向量．14．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：

(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？15．（2021下·高一课时练习）如图，四边形和四边形都是平行四边形．(1)写出与向量相等的向量；(2)写出与向量共线的向量．【双基训练】一、单选题16．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．317．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则18．（2022下·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．单位向量均相等 B．单位向量C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则19．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则20．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．321．（2023下·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．B．、是单位向量，则C．若，则D．任一非零向量都可以平行移动22．（2023下·山东滨州·高一统考期中）下列说法正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，则C．若，则D．若，则23．（2023下·江西九江·高一校考期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题24．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）下列命题中正确的是（

）A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同25．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．有向线段与表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．单位向量都相等26．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）给出下列命题，其中正确的命题是（

）A．若，则或B．若向量是向量的相反向量，则C．向量与相等D．若向量，，满足，，则27．（2023下·四川眉山·高一校考期中）给出下列命题，其中假命题为（

）A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；C．若与同向，且，则；D．为实数，若，则与共线.28．（2023下·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（

）A．且是的必要不充分条件B．且是的既不充分也不必要条件C．与方向相同且是的充要条件D．与方向相反或是的充分不必要条件三、填空题29．（2023下·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是（填序号）．30．（2023下·全国·高一随堂练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：

①共线向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.31．（2023下·高一课时练习）如图所示，在等腰梯形ABCD中，，对角线AC，BD交于点O，过点O作，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有对.

32．（2023·全国·高一专题练习）下列五个命题：①向量与共线，则必在同一条直线上；②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反；③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；④若，则、的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.其中正确的命题有个.四、解答题33．（2023·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？(2)写出与相等的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？(4)请列出与相等的向量．34．（2023·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起