思维训练1 破解高考中常见复合函数的秘诀（原卷版）

思维训练1破解高考中常见复合函数的秘诀类型一对勾型函数例如:y=f(x)+1f(1.对勾函数y=ax+bx(a>0,b>0)(1)奇偶性:奇函数,函数图象整体呈两个“对勾”的形状,且函数图象关于原点对称,即f(x)+f(-x)=0.(2)单调性:函数f(x)在-∞,-ba上为增函数,在-ba,0上为减函数,在0,ba上为减函数,在ba,+∞上为增函数.(3)最值:当x>0时,函数y=f(x)在x=ba时取得最小值2ab当x<0时,函数y=f(x)在x=-ba时取得最大值-2ab2.题型攻略·深度挖掘[技能方法]解决此类问题一般要先求函数的定义域,在定义域内研究函数的相关性质,最好先画出函数的图象,利用数形结合思想,解决相应问题.[易错指导]注意定义域先行原则,必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题.3.举一反三·触类旁通例1(1)已知函数f(x)=a-e-x-ex(a为常数)存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是 ()A.[1,+∞) B.[2,+∞)C.(2,+∞) D.(1,+∞)(2)关于函数f(x)=sinx+1sinx有如下四个命题①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=π2对称④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.

[一通百通]破解关于对勾型函数的复合函数与命题的真假性判断交汇题的方法:(1)定义法:利用对勾函数的奇偶性与其他函数的奇偶性的定义,即可判断命题的真假.(2)性质法:利用对勾函数的性质和其他函数的单调性、周期性、对称性等,判断命题的真假.(3)举反例法:判断对勾型函数的最值为假命题问题,可以利用对勾型函数的单调性直接求出其最值,从而说明其为假命题,也可以利用举出反例,来说明其为假命题,但前者没有后者获得结果快捷.变式题(1)已知函数f(x)=xn+4xn(n为正整数),①函数f(x)始终为奇函数;②当n为偶数时,函数f(x)的最小值为4;③当n为奇数时,函数f(x)的极小值为4;④当n=1时,函数y=f(x)的图象关于直线y=2x对称.其中所有正确说法的序号是 ()A.①② B.②③ C.②④ D.③④ (2)已知函数f(x)=3x+a3x是R上的偶函数,则实数a的值为;若f(x)+b3x>b对任意x∈(1,+∞)恒成立,则类型二绝对值型函数1.函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象与性质(1)函数y=|f(x)|的定义域就是函数f(x)的定义域.若函数f(x)的定义域为D,则由|x|∈D,即可得函数y=f(|x|)的定义域.(2)利用“图象法”或“对称法”,可求出函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的值域.(3)奇偶性:若函数f(x)为偶函数或奇函数,则函数y=|f(x)|,y=f(|x|)都为偶函数.(4)对称性:把函数f(x)在x轴下方的图象关于x轴对称,即可得函数y=|f(x)|的图象;取函数f(x)的x>0时的图象,再把所得的图象关于y轴对称,即可得函数y=f(|x|)的图象.(5)单调性:观察函数f(x)的图象特征,再利用对称性,得到函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象,即可判断其单调性.2.题型攻略·深度挖掘[技能方法]解决此类问题常用两种方法:一是分类讨论法,去掉绝对值函数中的绝对值符号,即利用分段函数给予表示,从而把绝对值型函数问题转化为分段函数问题进行解决;二是图象法,即认真审清所给的函数的特征,作出绝对值型函数的图象,利用图象的特征,解决相关问题.[易错指导]破解绝对值型函数问题,在转化为分段函数(去掉绝对值符号)时,需注意:所分成各段的区间的端点值不要漏掉,否则会产生错解;满足绝对值符号的式子为负值的部分,去掉绝对值符号后要在这个式子前面加上负号,特别是涉及多个绝对值符号时,在解题中要认真地运算.3.举一反三·触类旁通例2(1)[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)在区间π2,③f(x)在[-π,π]有4个零点;④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是 ()A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③(2)[2021·河南商丘、周口、驻马店联考]已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|)有下面四个命题:①g(x)为偶函数;②g(x)在(1,2)上单调递增;③g(x)在[2016,2020]上有三个零点;④g(x)的最大值为2.其中所有真命题的序号为 ()A.②③ B.②④ C.①④ D.①③④[一通百通]破解由y=|f(x)|,y=f(|x|)所构成的函数的图象和性质的关键:一是活用定义,会利用偶函数或奇函数的定义,判断所构成函数的奇偶性;二是会作图、用图,会作出函数的草图,注意关键点、曲线形状的正确勾勒,并谨记“草图不草”;三是会转化,会用对称性和周期性,会把繁难问题往简单问题转化,并灵活应用函数图象的对称性和周期性进行求解.变式题(1)下列关于函数f(x)=|ln|2-x||的结论错误的是 ()A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.函数f(x)有且仅有两个零点(2)[2020·泰安模拟]已知函数f(x)=||cosx|-|sinx||,有下列四个结论:①π是f(x)的最小正周期;②f(x)在π4,π2上单调递增;③f(x)的图象的对称轴为直线x=π4+kπ(k∈④f(x)的值域为[0,1].