期中模拟预测卷02（解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期中模拟预测卷02考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．填空题（共12小题）1．点P从圆心在原点O的单位圆上点（1，0）出发，沿顺时针方向运动弧长，到达点Q，则点Q的坐标是．【分析】由题意可得，作出单位圆，结合图象，即可求解．【解答】解：点P从圆心在原点O的单位圆上点（1，0）出发，沿顺时针方向运动弧长，到达点Q，如图所示：由图象可知，，OQ＝1，AQ＝OA＝，故Q（）．故答案为：（）．【点评】本题主要考查任意角的概念，属于基础题．2．已知角α满足sinα+cosα＝，则tanα+cotα的值为﹣．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理求出sinαcosα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简后，代入计算即可求出值．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即sinαcosα＝﹣，则原式＝+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．已知角α终边上有一点P（﹣4，3），则＝．【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，即可求解．【解答】解：∵角α终边上有一点P（﹣4，3），∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式，属于基础题．4．已知f（x）＝﹣1，则f﹣1（3）＝16．【分析】利用反函数的定义求解．【解答】解：令，解得x＝16，所以f﹣1（3）＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了反函数的求值问题，属于基础题．5．若函数的最大值为3，则a的值为5．【分析】由三角函数辅助角公式可得，（，由三角函数的有界性可得函数的最大值为，再结合已知条件运算即可得解．【解答】解：因为即函数的最大值为，由已知有，即a＝9﹣4＝5，故答案为：5．【点评】本题考査了辅助角公式及三角函数的有界性，重点考査了三角函数的最值，属基础题．6．△ABC中，a•cosA＝b•cosB，则该三角形的形状为等腰或直角三角形．【分析】利用正弦定理及二倍角的正弦公式对已知化简可得，sin2A＝sin2B，结合三角函数的性质可得A与B的关系进而判断三角形的形状．【解答】解：由正弦定理，得：sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则有2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，故答案为：等腰三角形或直角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理及二倍角的正弦在解三角形中的运用，解题的关键点是由sin2A＝sin2B可得2A＝2B或2A+2B＝π，考生在解题时容易漏掉2A+2B＝π的情况，但是在三角形中若有sinA＝sinB只能得到A＝B，两种情况应加以区别，属于基础题．7．函数f（x）＝是奇函数（填奇或偶）．【分析】先判断函数的定义域，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断．【解答】解：定义域R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），故f（x）为奇函数．故答案为：奇．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6米．（精确到0.1米）【分析】直接利用解直角三角形知识的应用和特殊角的三角函数值的应用求出结果．【解答】解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．同理在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，则＝1，解得AD＝x，由于，整理得，解得x≈236.6．故答案为：236.6【点评】本题考查的知识要点：解直角三角形知识，特殊角的三角函数值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣，则cos2β＝﹣．【分析】直接利用两角差的余弦函数，求出cosβ，然后利用二倍角公式求出cos2β的值．【解答】解：因为，所以cosβ＝﹣，cos2β＝2cos2β﹣1＝＝．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查两角差的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．10．函数图象的对称轴方程为x＝，k∈Z．【分析】结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求．【解答】解：＝sinx+＝，令x﹣，k∈Z，解得，x＝，k∈Z．故答案为：x＝，k∈Z．【点评】本题主要考查了和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题．11．设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）＝1．【分析】利用三角函数的有界性可求sinα1，sin2α2的值，再得到α1，α2的值后可得tan（α1+α2）的值．【解答】解：因为1≤2+sinα1≤2，故≤≤1，同理1010≤≤2020，故+≤2021，当且仅当＝1及＝2020时等号成立，此时α1＝2kπ﹣，2a2＝2lπ﹣，k，l∈Z，故α2＝lπ﹣，l∈Z，故tan（α1+α2）＝tan（2kπ﹣+lπ﹣）＝﹣tan＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了三角函数的有界性及三角函数恒等变换的应用，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．12．平面直角坐标系中，将函数y＝f（x），x∈D上满足x∈N*，y∈N*的点P（x，y），称为函数的“正格点”．若函数f（x）＝sinmx，x∈R，m∈（1，2）与函数g（x）＝lgx的图像存在正格点交点，则这两个函数图像的所有交点个数为5个．【分析】由已知，根据“正格点”的定义，求解出满足函数f（x）＝sinmx与g（x）＝lgx的正格点交点，即（10，1），根据该点结合m的取值范围，求解出m的值，然后画出两函数图象看交点个数即可．【解答】角：由已知，函数f（x）＝sinmx与g（x）＝lgx的图象存在正格点交点，而满足x∈N*，y∈N*的点P（x，y），称为函数的“正格点”，所以两函数的正格点交点只能是（10，1），则sin10m＝1，所以10m＝+2kπ（k∈Z），所以m＝（k∈Z），而m∈（1，2），所以m＝，所以函数f（x）＝sinx，g（x）＝lgx，画出两函数图象，可知：由两函数图象可知，两个函数图象交点个数为5个（其中D，E两点非常接近）．故答案为：5．【点评】本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．二．选择题（共4小题）13．已知，，则x＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用反三角函数求解即可．【解答】解：，，则x＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数求角，反三角函数的应用，是基础题．14．方程cosx＝log8x的实数解的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意利用余弦函数、对数函数的图象特征，得出结论．【解答】解：方程cosx＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cosx的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cosx的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数、对数函数的图象特征，属于中档题．15．化简：的结果为（）A．1 B．﹣1 C．﹣cosα D．cotα【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：＝＝1．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．16．已知f（x）＝xsinx，若f（sinα）＜f（sinβ），则一定有（）A．cos2α＞cos2β B．cos2α＜cos2β C．sinα＞sinβ D．sinα＜sinβ【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，求出其导数，分析可得f（x）在（0，1）上为增函数；据此f（sinα）＜f（sinβ）可以转化为|sinα|＜|sinβ|，变形可得1﹣2sin2α＞1﹣2sin2β，即cos2α＞cos2β，分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝xsinx，则f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝xsinx＝f（x），则函数f（x）为偶函数，f（x）＝xsinx，f′（x）＝sinx+xcosx，在（0，1）上，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数，若f（sinα）＜f（sinβ），则有|sinα|＜|sinβ|，即sin2α＜sin2β，变形可得：1﹣2sin2α＞1﹣2sin2β，即cos2α＞cos2β故选：A．【点评】本题考查函数的单调性奇偶性的判断，涉及利用导数分析函数的单调性，属于综合题．三．解答题（共5小题）17．若扇形周长是一定值C（C＞0），当α为多少弧度时，该扇形面积有最大值？并求出这个最大值．【分析】设扇形的圆心角为α（α＞0）弧度，所在圆的半径为R，由扇形的周长得到，再利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．【解答】解：设扇形的圆心角为α（α＞0）弧度，所在圆的半径为R，则扇形的周长C＝2R+l＝2R+αR，∴，∴，当且仅当，即α＝2rad时，扇形面积有最大值，即当α＝2rad时，．【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．18．已知tanα、tanβ是方程的两根，且求：（1）tan（α+β）；（2）α+β．【分析】（1）利用韦达定理可得，再利用两角和的正切公式即可得解；（2）先判断tanα、tanβ的符号，从而可求得α，β的范围，即可得出α+β的范围，从而可得出答案．【解答】解：（1）因为tanα、tanβ是方程的两根，所以，所以；（2）因为，所以tanα＜0，tanβ＜0，故，所以﹣π＜α+β＜0，所以．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于中档题．19．（1）是否存在实数，使m，使，，且x是第二象限角？若存在，请求出实数m；若不存在，情说明理由；（2）若，，求的值．【分析】（1）假设存在实数m，根据x是第二象限角，可得sinx＞0、cosx＜0求出参数m的取值范围，再根据平方关系求出参数m的值，得出矛盾，即可说明；（2）首先求出sinx+cosx，再通分计算可得．【解答】解：（1）假设存在实数m，使，，因为x是第二象限角，所以，，解得0＜m＜1，又sin2x+cos2x＝1，即，解得m＝0，与0＜m＜1矛盾，故不存在实数m满足题意；（2）因为，所以sinx+cosx＞0，∵（sinx+cosx）2＝1+2sinxcosx＝2，∴，∴＝．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a＝2，，，（1）求sinA；（2）求△ABC的面积S．【分析】（1）由已知利用倍角公式可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA的值．（2）由（1）及正弦定理可得b，利用特殊角的三角函数值及三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵，，∴cosB＝2cos2﹣1＝，sinB＝＝，∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝×（）＝．（2）∵a＝2，sinA＝，sinB＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝，∴S△ABC＝＝×＝．【点评】本题主要考查了倍角公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，特殊角的三角函数值及三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．21．设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）为函数g（x）和h（x）的积函数．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使函数f（x）的值域为．【分析】（1）由已知g（x），h（x）的解析式代入即可求解；（2）利用换元法及二次函数的性质即可求解；（3）结合函数单调性及已知函数值域即可求解．【解答】解：（1）因为，所以x∈[0，+∞），又，x∈（﹣3，a]，所以，x∈[0，a]．（2）当时，，令，则且x＝（k﹣1）2，则，令，，∴，∵在[1，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，∴在上单调递增，所以，即，所以f（x）的值域为．（3）令，因为