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文档简介
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试数学试题说明:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,贴好条形码。2.答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上。字体工整,笔迹清楚。3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答,超出区域所写答案无效:在试卷上、草纸上答题无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。1.复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知若,则实数的值为()A.1 B.4 C.1或4 D.23.已知随机变量,且,则()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.84.若互不相等的正数满足,则()A.成等差数列 B.成等比数列C.成等差数列 D.成等比数列5.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是()A. B. C. D.6.已知圆锥的侧面积是,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的内切球半径为()A. B. C. D.7.已知圆与轴交于两点,点在直线上,若以为焦点的椭圆过点,则该椭圆的离心率的最大值为()A. B. C. D.8.已知为锐角,且,则的最大值为()A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知集合,则()A. B.C. D.的子集个数为210.在的展开式中,下列说法正确的是()A.各二项式系数的和为64 B.各项系数的绝对值的和为729C.有理项有3项 D.常数项是第4项11.如图1,在等腰梯形中,,且为的中点,沿将翻折,使得点到达的位置,构成三棱锥(如图2),则()A.在翻折过程中,与可能垂直B.在翻折过程中,二面角无最大值C.当三梭锥体积最大时,与所成角小于D.点在平面内,且直线与直线所成角为,若点的轨迹是椭圆,则三棱锥的体积的取值范围是三、填空题:本大題共3小题,每小題5分,共15分.其中第13题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.12.已知向量,若,则_________。13.“冰天雪地也是金山银山”,2023-2024年雪季,东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象,为东北经济发展增添了新动能.某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”,其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观.若这16处景观分别用表示,某游客按照箭头所示方向(不可逆行)可以任意选择一条路径走向其它景观,并且每个景观至多经过一次,那么他从入口出发,按图中所示方向到达有种_________不同的打卡路线;若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条,其中,记,则_________(结果用表示)。14.已知拋物线的焦点为,准线为,过点的直线与抛物线交于两点,过作轴垂线,垂足分別为,直线与直线交于点,则与的面积比值为_________。四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知的三个内角的对边分别为,且.(I)求;(II)在方向上的投影向量是,求的面积。16.(本小题满分15分)如图,在四棱䧾锥中,平面,为中点,点在梭上(不包括端点)。(I)证明:平面平面;(II)若点为的中点,求直线到平面的距离.17.(本小题满分15分)已知点,直线,动圆与直线相切,交线段于点,且.(I)求圆心的轨迹方程,并说明是什么曲线;(II)过点且倾斜角大于的直线与轴交于点,与的轨迹相交于两点,且,求的值及的取值范围。18.(本小题满分17分)短视频已成为当下宣传的重要手段,东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度,为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关,该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知,南方游客有300人,因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人。(I)依据调查数据完成如下列联表,根据小概率值的独立性检验,分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联:单位:人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计(II)为了增加游客的旅游乐趣,该景点设置一款5人传球游戏,每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一,现有甲、乙等5人参加此游戏,球首先由甲传出。(i)求经过次传递后球回到甲的概率;(ii)记前次传递中球传到乙的次数为,求的数学期望。参考公式:,其中;附表:0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题满分17分)已知函数.(I)讨论的单调性;(II)设分别是的极小值点和极大值点,记.(i)证明:直线与曲线交于除外另一点;(ii)在(i)结论下,判断是否存在定值且,使,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。数学试题参考答案一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.12345978ABDDCDBA二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。91011BCDABAC11题D选项拓展说明:平面截圆锥的侧面截口曲线形状总结:设圆锥的轴与母线所成的角为,圆锥的轴与平面所成的角为(1)当平面过点时,①当时,截口曲线形状为一个点;(如图1)②当时,截口曲线形状为一条母线;(如图2)③当时,截口曲线形状为两条母线.(如图3)(2)当平面不过点时,图4图5图6图7①当时,截口曲线形状为圆;(如图4)②当时,截口曲线形状为椭圆或椭圆的一部分;(如图5)③当时,截口曲线形状为抛物线的一部分;(如图6)④当时,截口曲线形状为双曲线的一部分.(如图7)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.其中第13题的第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.12.13.8(2分);(3分)14.1(注:写1:1本次不扣分,但教学中注意区分“比”与“比值”)13题说明:引导学生了解斐波那契数列,其相关性质可归纳得出即可.14题提示:可证直线与直线的交点为,且四、解答题15.【解析】(I)由正弦定理得即,又即得或(舍)又。(也可以利用,则得出)(II)(方法一)在方向上的投影向量为即由余弦定理(方法二)如图,过作,垂足为,则为在方向上的投影向量设,则在Rt中,16.【解析】(I)证明:平面,即又为中点,且四边形为正方形平面平面平面平面平面平面(II)在中,分别为中点平面平面平面.点到平面的距离即为到平面的距离.(方法一)以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系则设是平面的法向量.取,则是平面的一个法向量.点到平面的距离为即直线到平面的距离为(注:(1)求线面距、面面距需先证平行,未证扣2分;(2)图形中需画出坐标系,格式不对或未建系扣1分;(3)若几何特征不明确时,答题中需体现建系说明.)(II)(方法二)连接为等腰直角三角形平面是三棱锥的高连接,设到平面距离为,则即到平面的距离为17.【解析】(I)设点,圆的半径为为到直线的距离,则.根据题意,动点的轨迹就是点的集合整理得所以,点的轨迹是焦点在轴上,实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线.(注:描述曲线不完整本次不扣分,教学中注意规范要求.)(II)设直线,倾斜角大于设联立得由得的取值范围是18.【解析】(I)将所给数据进行整理,得到如下列联表:游客短视频合计收看未看南方游客200100300北方游客80120200合计280220500零假设:南北方游客来此景点旅游与短视频无关联.根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001(注:①结果无精确要求时,保留到0.001,但本次结果为不扣分;②未写“零假设”或未完整作答扣1分;③阅卷时注意“有关联”“无关联”是否写错.)(II)(i)设经过次传递后回到甲的概率为是首项为,公比为的等比数列(ii)(方法一)设第次传递时甲接到球的次数为,则服从两点分布,设前次传递中球传到甲的次数为(方法二)设第次传递时,乙接到球的概率和次数分别为与,则服从两点分布,由题可知又是首项为,公比为的等比数列故19.【解析】(I)令,则,令则或在上单调递增,在上单调递减.(注:单调区间书写不规范扣1分)(II)(i)由(I)知且,直线方程为(方法一)令,即①或设,则令,则令,则,令,则,在上单调递减,在上单
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