重点突围：专题05 平面直角坐标系的性质（解析版）-人教七下期中综合复习

七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）专题05平面直角坐标系的性质【典型例题】1．（2021·河南·平顶山市第九中学八年级期中）已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出a的值．（1）点A在y轴上；（2）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；（3）点A到两坐标轴的距离相等．【答案】（1）（0，）（2）（14，4）（3）（−16，−16）或（3.2，−3.2）【解析】【分析】（1）根据y轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案；（3）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案．【详解】解：（1）依题意有3a+2＝0，解得a＝，2a﹣4＝2×（）﹣4＝．故点A的坐标为（0，）；（2）依题意有2a−4＝4，解得a＝4，3a＋2＝3×4＋2＝14，故点A的坐标为（14，4）；（3）依题意有|3a＋2|＝|2a−4|，则3a＋2＝2a−4或3a＋2＋2a−4＝0，解得a＝−6或a＝0.4，当a＝−6时，3a＋2＝3×（−6）＋2＝−16，当a＝0.4时，3a＋2＝3×0.4＋2＝3.2，2a−4＝−3.2．故点A的坐标为（−16，−16）或（3.2，−3.2）．【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；平行于x轴直线上的点纵坐标相等．2．（2021·重庆市两江中学校七年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，2），若把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形AʹBʹCʹ，点A，B，C的对应点分别为Aʹ，Bʹ，Cʹ．(1)写出点Aʹ，Bʹ，Cʹ的坐标；(2)在图中画出平移后的三角形AʹBʹCʹ；(3)求三角形AʹBʹCʹ的面积．【答案】(1)Aʹ（-3，1），Bʹ（2，4），Cʹ（-1，5）；(2)见解析(3)△AʹBʹCʹ的面积为7．【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所求对应点位置画图形即可；（3）利用△AʹBʹCʹ所在矩形面积减去周围多余三角形的面积进而得出答案．(1)解：根据平移的性质得：Aʹ（-3，1），Bʹ（2，4），Cʹ（-1，5）；(2)解：如图所示：△AʹBʹCʹ即为所求；(3)解：△AʹBʹCʹ的面积为：4×5-×2×4-×1×3-×3×5=7．【点睛】本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．【专题训练】选择题1．（2022·江苏淮安·八年级期末）已知点P位于第二象限，则点P的坐标可能是（）A．（﹣2，0） B．（0，4） C．（﹣2，－3） D．（－2，3）【答案】D【解析】【分析】根据第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正进行判断即可．【详解】∵第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，∴选项D，点(-2，3)符合，故选：D．【点睛】本题考查了象限内点的坐标的特征，解题关键是明确不同象限内点的符号特征．2．（2022·浙江宁波·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，3）到x轴的距离是（）A．﹣4 B．4 C．5 D．3．【答案】D【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征与点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．【详解】解：点M（-4，3）在第二象限，到x轴的距离是3．故选：D．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解决的关键．3．（2022·广东顺德·八年级期末）已知点M（2，﹣2）、N（2，5），那么直线MN与x轴（）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．不确定【答案】A【解析】【分析】根据横坐标相同，并结合平面直角坐标系即可判断．【详解】解：∵M（2，﹣2），N（2，5），∴横坐标相同，∴，故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形性质，关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．4．（2022·山东天桥·八年级期末）已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B的坐标为（）A．（5，2）或（4，2） B．（6，2）或（-4，2）C．（6，2）或（－5，2） D．（1，7）或（1，－3）【答案】B【解析】【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解．【详解】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为(1，2)，∴点B的纵坐标为2，∵AB=5，∴点B在点A的左边时，横坐标为1-5=-4，点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6，∴点B的坐标为(-4，2)或(6，2)．故选：B．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，利用了平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．5．（2021·湖北咸丰·七年级期末）平面直角坐标系中，将点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，则下列结论：①B点的坐标为（，）；②线段AB的长为3个单位长度；③线段AB所在的直线与x轴平行；④点M（，）可能在线段AB上；⑤点N（，）一定在线段AB上．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平移的方式确定平移的坐标即可求得B点的坐标，进而判断①，根据平移的性质即可求得的长，进而判断②，根据平移的性质可得线段AB所在的直线与x轴平行，即可判断③，根据纵坐标的特点即可判断④⑤【详解】解：∵点A（，）沿着x的正方向向右平移（）个单位后得到B点，∴B点的坐标为（，）；故①正确；则线段AB的长为；故②不正确；∵A（，），B（，）；纵坐标相等，即点A，B到x轴的距离相等∴线段AB所在的直线与x轴平行；故③正确若点M（，）在线段AB上；则，即，不存在实数故点M（，）不在线段AB上；故④不正确同理点N（，）在线段AB上；故⑤正确综上所述，正确的有①③⑤，共3个故选B【点睛】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，掌握平移的性质是解题的关键．二、填空题6．（2022·山东北区·八年级期末）在平面直角坐标系中，点(a2+1，﹣1)一定在第_____象限．【答案】四【解析】【分析】根据平方数非负数的性质判断出点A的横坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：∵a2≥0，∴a2+1＞0，∴点（a2+1，-1）一定在第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．7．（2021·全国·七年级期中）在平面直角坐标系中，点P（7，6）关于x轴对称点P′的坐标是_____．【答案】（7，-6）【解析】【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称点的特征是横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，据此解题．【详解】解：点P（7，6）关于x轴对称点P′的坐标是（7，-6）故答案为：（7，-6）．【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称点的特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．8．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______．【答案】5【解析】【分析】根据x轴上的点坐标纵坐标等于0，即可求出结果．【详解】解：∵点在x轴上，∴它的纵坐标等于0，即，解得．故答案是：5．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标的特点，解题的关键是掌握坐标轴上点坐标的特点．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期末）已知点P（3m﹣6，m+1），A（﹣1，2），直线PA与x轴平行，则点P的坐标为_____．【答案】（﹣3，2）【解析】【分析】由题意知m+1＝2，得m的值；将m代入求点P的坐标即可．【详解】解：∵点P（3m﹣6，m+1）在过点A（﹣1，2）且与x轴平行的直线上∴m+1＝2解得m＝1∴3m﹣6＝3×1﹣6＝﹣3∴点P的坐标为（﹣3，2）故答案为：（﹣3，2）．【点睛】本题考查了直角坐标系中与x轴平行的直线上点坐标的关系．解题的关键在于明确与x轴平行的直线上点坐标的纵坐标相等．10．（2022·安徽长丰·八年级期末）在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为_____．【答案】（-1，4）【解析】【分析】根据点的平移：左减右加，上加下减，逆向推导求解可得．【详解】解：将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），∴点P的坐标为（-3+2，1+3），即（-1，4），故答案为：（-1，4）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．三、解答题11．（2021·吉林·珲春市教师进修学校七年级期末）已知平面直角坐标系中一点（1）当点P在轴上时，求出点P的坐标；（2）当点在过点A（—4，—3）、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标；（3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．【答案】（1）点P的坐标为（0，9）；（2）点P的坐标为（-6，-3）；（3）或【解析】【分析】（1）根据在y轴上点的坐标特征：横坐标为0进行求解即可；（2）根据点P（m-4，2m+1）在过点A（-4，-3），且与x轴平行的直线上，即点P（m-4，2m+1）在直线y=-3上，由此求解即可；（3）根据当点P（m-4，2m+1）到两坐标轴的距离相，可以得到，由此求解即可．【详解】解：（1）∵点P（m-4，2m+1）在y轴上，∴m-4=0，∴m=4，∴点P的坐标为（0，9）；（2）点P（m-4，2m+1）在过点A（-4，-3），且与x轴平行的直线上，∴点P（m-4，2m+1）在直线y=-3上，∴2m+1=-3，∴m=-2，∴点P的坐标为（-6，-3）；（3）∵当点P（m-4，2m+1）到两坐标轴的距离相等时，∴，∴或，∴或．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，点到坐标轴的距离，在y轴上点的坐标特征，平行与x轴的直线的特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解．12．（2022·河南·郑州市第八中学八年级期中）已知点，解答下列各题．(1)点P在x轴上，求出点P的坐标；(2)点Q的坐标为=，直线轴；求出点P的坐标；(3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】【分析】（1）利用x轴上P点的纵坐标为0求解即可得；（2）利用平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列方程求解即可；（3）在第二象限，且到x轴、y轴的距离相等的点的横纵坐标互为相反数，再利用相反数的性质列方程求解可得，将其代入代数式求解即可．(1)解：∵点P在x轴上，∴P点的纵坐标为0，∴，解得：，∴，∴．(2)解：∵直线轴，∴，解得：，∴，∴．(3)解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，∴．解得：．∴，∴的值为2020．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标特点．分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上点坐标的特点、到坐标轴距离相等的点的坐标特点，理解题意，熟练掌握坐标系中不同条件下的坐标特点是解题关键．13．（2022·江苏锡山·八年级期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”．(1)判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；(2)若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【答案】(1)点A（3，2）是“新奇点”，理由见解析，(2)点M在第三象限，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将，，代入判断，即可证明；（2）根据点是“新奇点”，可得，求解代入得出，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．(1)解：点是“新奇点”，理由如下：当A(3，2)时，，，∴，，∴．∴点是“新奇点”；(2)点M在第三象限，理由如下：∵点是“新奇点”，∴，，∴，解得：，∴，，∴点在第三象限．【点睛】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．14．（2021·北京广渠门中学教育集团七年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2），BC⊥x轴于点C．(1)在平面直角坐标系xOy中描出点A，B，C，并写出点C的坐标；(2)若线段CD是由线段AB平移得到的，点A的对应点是C，则点B的对应点D的坐标为；(3)求出以A，B，O为顶点的三角形的面积；(4)若点E在过点B且平行于x轴的直线上，且△BCE的面积等于△ABO的面积，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)作图见解析，C点坐标为(2)(3)4.5(4)E点坐标为或【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中表示出A，B，C即可．（2）由题意知，，将点C向下移动3格，向左移动3格到点D，得出坐标．（3）利用分割法求面积，的面积等于矩形减去3个小三角形的面积，计算求值即可．（4）设E点坐标为，由题意列方程求解即可．(1)解：如图，点A，B，C即为所求，C点坐标为（1，0）故答案为：（1，0）．(2)解：∵点A向下移动3格，向左移动3格到点B，∴点C向下移动3格，向左移动3格到点D∴D点坐标为故答案为：．(3)解：∵∴以A，B，O为顶点的三角形的面积为4.5．(4)解：设E点坐标为由题意可得解得：或∴E点坐标为或．【点睛】本题考查了直角坐标系中的点坐标，平行的性质，分割法求面积，解一元一次方程等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．15．（2021·广东·坪山中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．（1）求S四边形ABCO；（2）连接AC，求S△ABC；（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB=8？若存在，请求点P坐标．【答案】（1）11；（2）7；（3）存在，（0，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥OA于点D，根据S四边形ABCO=S梯形CODB＋S△ABD，利用面积公式求解即可；（2）根据S△ABC＝S四边形ABCO-S△AOC，利用面积公式求解即可；（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．【详解】解：（1）如图1，过点B作BD⊥OA于点D，∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2），∴OC=2，OD=3，BD=4，AD=4-3=1，∴S四边形ABCO=S梯形CODB＋S△ABD=＋=9＋2=11；（2）如图2，连接AC，S△ABC＝S四边形ABCO-S△AOC=11-=11-4=7；（3）设P（m，0），则有×|m-4|×4=8，∴m=0或8，∴P（0，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程解决问题．16．（2021·陕西兴平·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1.5，-2)，其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．（1）求ABC的面积；（2）在x轴上求一点P，使得ACP的面积与ABC的面积相等；（3）在y轴上是否存在一点Q，使得BCQ的面积与ABC的面积相等？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）；（3）存在，的坐标为或【解析】【分析】（1）先根据非负性的性质求出a、b的值，从而求出AB的长，过点作轴于点，根据C点坐标得到CN的长，再根据三角形面积公式求解即可；（2）设点，根据进行求解即可得到答案；（3）设交轴于点，设，，先利用面积法求出．则，再根据，得到，由此即可得到答案．【详解】解：（1）∵，且，，．如图①，过点作轴于点，∵点，，∵点，，．（2）设点．∵，或．当时，与重合，不合题意，舍去，∴点；（3）如图②，设交轴于点，设，．∵，．．∵，∴，解得或．∴点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，绝对值方程，非负数的性质，解题的关在于能够熟练掌握非负数的性质，求出a、b的值．17．（2021·天津市滨海新区大港太平村中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点都在网格点上．(1)写出点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；(2)点C到x轴的距离为；(3)将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出三角形；(4)若AB边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为；(5)求三角形的面积．【答案】(1)，，(2)1(3)见解析(4)(5)【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可；（2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值”求解即可；（3）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可；（4）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答；（5）利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．(1)，，故答案为：，，(2)到轴的距离为故答案为：(3)如图，即为所求(4)根据题意，点P的坐标为；故答案为：(5)的面积，，，【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解答本题的关键．18．（2022·广东普宁·八年级期末）如图，以Rt△AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足+|b﹣2|＝0．(1)C点的坐标为，A点的坐标为；(2)如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，点P从点C出发，沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点Q从点O出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（