寒假作业13 直线、射线、线段（解析版）

学而优·教有方学而优·教有方2/2寒假作业13直线、射线、线段1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简称：两点确定一条直线.2.如果一个点把线段分成相等的两条线段，那么这个点叫做线段的中点.3.两点之间线段最短.4.连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离。1．过平面内已知点A作直线，可作直线的条数为（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【答案】D【解析】根据直线的性质即可得到结论．【详解】解：过平面内已知点A作直线，可作直线的条数为无数条，故选：D．【点评】本题考查了直线、射线、线段，正确的理解题意是解题的关键．2．如图，把三角形剪去一个角，所得四边形的周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．四边形周长小于三角形周长 B．两点确定一条直线C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短【答案】D【解析】根据两点之间线段最短解题即可．【详解】解：如图，把三角形剪去一个角，可得即四边形周长比原三角形的周长小，能正确解释这一现象的是:两点之间，线段最短，故选：D．【点评】本题考查线段的性质：两点之间线段最短，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．下列四个生活、生产现象中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）个①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由线段的性质：两点之间，线段最短（与距离有关），结合生活实际解题．【详解】解：①②现象可以用“两点确定一条直线”来解释；③④现象可以用“两点之间，线段最短”来解释，故符合题意的是③④，有2个，故选：B．【点评】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．如图，从A地到B地有4条道路，分别标记为①号、②号、③号、④号道路，那么，从A地到B地的最短道路是（）A．①号道路 B．②号道路 C．③号道路 D．④号道路【答案】C【解析】根据两点之间线段最短可判断出答案．【详解】解：根据图形，结合两点之间线段最短可知，从A地到B地的最短道路是③号道路，故选：C．【点评】此题主要考查了两点之间线段最短的应用．5．下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是（）A．用两个钉子可以把木条钉在墙上B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上C．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上D．为了缩短航程把弯曲的河道改直【答案】D【解析】根据直线的性质和线段的性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、用两个钉子可以把木条钉在墙上是利用了两点确定一条直线，故本选项不符合题意；B、植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上是利用了两点确定一条直线，故本选项不符合题意；C、打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上是利用了两点确定一条直线，故本选项不符合题意；D、为了缩短航程把弯曲的河道改直是利用了两点之间，线段最短，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了直线和线段的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．6．如图1，线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上；如图2，再从图2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【答案】B【解析】根据题意设OB的长度为2a,则BP的长度为7a，OP的长度为9a，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．【详解】解：设OB的长度为2a，则BP的长度为7a，OP的长度为9a，∵OA：AP＝1：2，∴OA＝3a，AP＝6a，又∵先固定A点，将OA折向AP，使得OA重叠在AP上，如图2，再从图2的B点及与B点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、5a，∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：5a＝2：2：5，故选：B．【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．7．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝__cm．【答案】【解析】根据线段中点的性质求得线段的长度，即可求解．【详解】解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，∴AP＝3+1＝4cm，∵P为AB的中点，∴AB＝2AP＝8cm，∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，∴CB＝5cm，∵N为CB的中点，∴，∴故答案为：．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．8．栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线，理由是________．【答案】两点确定一条直线【解析】直接利用直线的性质分析得出答案．【详解】解：栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线用到的数学道理是两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．9．如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．【答案】喜羊羊．【解析】根据直线的性质，可得答案．【详解】解：在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．我认为喜羊羊同学的说法是正确的，故答案为：喜羊羊．【点评】本题考查了直线的公理：两点确定一条直线，要与线段的公理：两点之间线段最短，区分开来，不要混淆．10．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域(不包含边界)，当点Q落在区域______时，线段PQ与线段AB相交(填写区域序号)．【答案】②．【解析】当点Q落在区域②时，线段PQ与线段AB有公共点，即可得到线段PQ与线段AB相交．【详解】由图可得：当点Q落在区域②时，线段PQ与线段AB有公共点．故答案为：②．【点评】本题主要考查了线段、射线和直线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．11．如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”）（2）若AB=24cm，点C是线段AB的巧点，求AC的长．【答案】（1）是；（2）AC=8cm或12cm或16cm．【解析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；（2）分BC=2AC，AB=2AC，AC=2BC三种情况讨论，分别求解即可．【详解】解：（1）当M是线段AB的中点，则AB=2AM，∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB=24cm，点C是线段AB的巧点，①BC=2AC，则AC=AB=×24=8(cm)；②AB=2AC，则AC=AB=×24=12(cm)；③AC=2BC，则AC=AB=×24=16(cm)．∴AC=8cm或AC=12cm或AC=16cm．【点评】本题考查了两点间的距离，解题关键是要读懂题目的意思再求解．12．已知点在直线上，，，点、分别是、的中点，求线段、的长【答案】，或，【解析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC、NC的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：①当点C在线段AB上时，AB＝AC＋BC＝10cm＋6cm＝16cm，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MC＝AC＝5cm，CN＝BC＝3cm，由线段的和差，得MN＝MC＋CN＝5cm＋3cm＝8cm；②当点C在线段AB的延长线上时，AB＝AC−BC＝10cm−6cm＝4cm，由点M、N分别是AC、BC的中点，得MC＝AC＝5cm，CN＝BC＝3cm．由线段的和差，得MN＝MC−CN＝5cm−3cm＝2cm．综上所述，，或，．【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．13．如图，已知线段，请用尺规按下列要求作图：（1）延长线段到C，使；（2）延长线段到D，使；如果，那么________，________，________．【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，4，6，8【解析】（1）根据BC=AB，可得线段BC；（2）根据AD=AC，可得线段AC；根据线段中点的性质，可得AC的长根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得CD的长．【详解】解：（1）如图1所示；

（2）如图2，

AD=AC，∵AB=2cm，∴AC=2AB=4（cm），BD=AD+AB=4+2=6（cm），CD=AD+AC=4+4=8（cm），故答案为：4，6，8．【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．14．如图，C为线段上一点，点B为CD的中点，且.（1）图中共有_______条线段；（2）求的长；（3）若点E在直线上，且，则的长为_______．【答案】（1）6；（2）4cm；（3）3或9【解析】（1）根据线段的定义找出线段即可；（2）先根据点B为CD的中点，BD=2cm求出线段CD的长，再根据AC=AD-CD即可得出结论；（3）由于不知道E点的位置，故应分E在点A的左边与E在点A的右边两种情况进行解答．【详解】解：（1）图中共有6条线段；故答案为6；（2）∵点B为CD的中点．∴CD=2BD．∵BD=2cm，∴CD=4cm．∵AC=AD-CD且AD=8cm，CD=4cm，∴AC=4cm；（3）当E在点A的左边时，则BE=BA+EA且BA=6cm，EA=3cm，∴BE=9cm当E在点A的右边时，则BE=AB-EA且AB=6cm，EA=3cm，∴BE=3cm；综上，BE的长为或．故答案为：3或9．【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．15．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．（1）A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”；（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有个，分别是；（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24【解析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，综上所述，点P表示的数为或24．【点评】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．16．（新知理解）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“奇点”．（1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”）（初步应用）（2）如图②，若，点是线段的奇点，则；（解决问题）（3）如图③，已知动点从点出发，以速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为，请直接写出为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6【解析】（1）根据“奇点”的定义即可求解；

（2）分当N为中点时,当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，当N为CD的三等分点，且N靠近D点时，进行讨论求解即可；

（3）分由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；当P为A、Q的巧点时；当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．【详解】（1）一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称这个点为该线段的“奇点”，线段的中点是这条线段的“奇点”，（2），点N是线段CD的奇点，可分三种情况，当N为中点时，,当N为CD的三等分点，且N靠近C点时，,当N为C