专题08利用导数研究函数的性质

专题08利用导数研究函数的性质专题08利用导数研究函数的性质一、导数与函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．二、利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．三、导数与函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3.特别提醒：(1)函数f(x)在处有极值的必要不充分条件是f′()＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．四、导数与函数的最值1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．五、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的．3．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．4．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．5．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．6．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．7．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．题型一判断或证明函数的单调性【典例1】【多选题】（2023下·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数【答案】AC【分析】根据函数的导函数图象，即可逐项判断.【详解】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确；对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误；对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确.故选:AC.【典例2】（2021·全国·高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)和.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.【规律方法】1.利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．3.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．4.特别提醒：易错点是忽视函数的定义域.题型二：求函数的单调区间【典例3】（2023上·辽宁·高三校考期中）已知函数的定义域为，导函数为，且，则的单调递增区间为．【答案】【分析】另，则，根据已知条件求出的解析式，进而求出结果.【详解】因为函数的定义域为，另，则，所以，即，又，则，则，当取等号，所以在单调递增.故答案为：【点睛】方法点睛：利用构造函数的常见方法得出，则，根据已知条件求出的解析式，进而求出结果.【典例4】（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）已知函数，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）对函数求导，根据已知求得，再由导数几何意义求切线方程；（2）由（1）有，令求增区间即可.【详解】（1）由题设，则，所以且，则，，所以点处的切线方程为，即.（2）由（1），当，即或，故在区间，上递增，所以的增区间为，.【总结提升】1．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．3.温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．题型三利用函数的单调性解不等式【典例5】（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判定是偶函数，再判定在上单调递增，在上单调递减，从而将不等式转化为，再解不等式可得答案.【详解】因为，且函数的定义域为，所以是偶函数.当时，因为函数，所以.令，则.因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增.因为函数是偶函数，所以在上单调递减.所以不等式等价于，两边平方得，化为，即，解得.所以不等式的解集为.故选：A【典例6】（2023·河南·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为.【答案】【分析】构造函数，由已知条件得在上是偶函数，然后根据其单调性从而可求解.【详解】令，所以，因为，所以，化简得，所以在上是偶函数，因为，因为当，，所以，在区间上单调递增，又因为为偶函数，所有在上单调递减，由，得，又因为，所以，所以，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.【总结提升】1.比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．2.构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→.题型四比较函数值大小【典例7】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.【详解】因为,因为当所以,即,所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A【典例8】（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）定义在上的可导函数，满足，且，若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断的大小关系.【详解】由已知可得：，令，则，且，再令，则，当时，为增函数；当时，为减函数；，在上恒成立；在上为减函数；又因为故令，当时，为增函数；故选：C题型五根据函数的单调性求参数范围【典例9】（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解.【详解】，令，因为在上不单调，在上有变号零点，即在上有变号零点，当时，，不成立；当时，只需，即，解得或，所以在上不单调的充要条件是或，所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B【典例10】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为．【答案】【分析】求出函数的导数，然后导数在区间上有解即可.【详解】由题意得的定义域为，所以，因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立，即，设，开口向上，对称轴为，所以当时，单调递增，所以，所以，则，即.故答案为：.【规律方法】1.两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．题型六根据函数的单调区间求参数范围【典例11】（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．【典例12】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．【答案】【分析】利用函数的单调性转化为在区间上恒成立，构造函数，利用导数求最小值即可求得即.【详解】因为，所以．由的图象在区间上单调递增，可知不等式即在区间上恒成立．令，则，当时，，所以在上单调递减，故要使在上恒成立，只需．由，解得，故实数a的取值范围为，则a的最小值为．故答案为：【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．题型七利用导数研究函数的图象【典例13】（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.【典例14】（2023下·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）已知是函数的导数．若的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据导数的图象可知其正负，判断函数的单调性，结合选项，即可得答案.【详解】由的图象可知当和时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，结合选项，可知C中图象符合题意，故选：C【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型八利用导数求函数的极值【典例15】（2023上·河南·高三校联考期中）已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直．(1)求l的方程；(2)求的极值．【答案】(1)(2)极大值为，极小值为【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值.【详解】（1）解：由函数，可得，因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直，可得，解得，所以又因为，故所求切线方程为，即．（2）解：由（1）可知，，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，故的极大值为，极小值为．【典例16】（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；【答案】(1)极小值为1，无极大值(2)【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数求出单调区间，从而得到极值情况；（2）由题意得在区间上，参变分离，构造函数，求出最小值，得到答案.【详解】（1）时，，定义域为，，令，解得，令，解得，故在处取得极小值，，的极小值为，无极大值.（2）在区间上为减函数，∴在区间上，，令，只需，显然在区间上为减函数，，【规律总结】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值.题型九求函数极值点【典例17】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为.【答案】2【分析】求导，得到的解，进而得到函数单调性，求出极大值点.【详解】，令，解得或6，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在取得极大值，故极大值点为2.故答案为：2【典例18】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，则的极大值点为，极大值为.【答案】2e2ln2【分析】首先求函数的导数，并求，并判断函数的单调区间，再求函数的极值点和极值.【详解】易求，，所以，则，因此，，由得，由得.所以函数在上单调递增，在上单调递减．因此的极大值点为，极大值为.故答案为：；题型十求函数极值点的个数【典例19】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1(2)答案见解析【分析】（1）由在处的切线与x轴平行得，解方程得的值；（2）先求导数，再对进行分类，利用导数研究函数的单调性，进而讨论是否存在极值点.【详解】（1）由，得，∵在处的切线与x轴平行，∴，解得.（2）函数的定义域为，.当时，对任意的，都，此时函数在上单调递增，无极值点；当时，令，可得，由，可得，由，可得.此时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在处取得极小值，无极大值.综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数的极小值点为，无极大值点.【典例20】（2024·四川遂宁·统考一模）已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.【答案】(1)时，在上单调递增.理由见解析.(2)当时，在上的极值点个数为0；当时，在上的极值点个数为1.【分析】（1）求的导函数，根据时，导函数的符号，判断函数的单调性；（2）求的导函数，将探究的极值点个数问题，转化为探究的变号零点个数，再求的导函数，对a分类讨论，得到的极值点个数.【详解】（1）时，，，，，所以在上单调递增.（2）由，得，依题意，只要探究在上的变号零点个数即可，令，，则，(Ⅰ)当，即时，，此时在上恒成立，则即单调递增，，在上无零点，在上的极值点个数为0.(Ⅱ)当，即时，，使得，即，当，；当，，所以即在上单调递增，在上单调递减，由于，，若，即时，在上无零点，在上的极值点个数为0.若，即时，在上有1个变号零点，在上的极值点个数为1.综上所述，当时，在上的极值点个数为0；当时，在上的极值点个数为1.题型十一根据函数极值（点）研究参数【典例21】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令且恒成立，根据的极值点得到矛盾，有两个不同的零点，利用三次函数性质判断单调性，进而求参数范围.【详解】由题意，令，若恒成立，易知：当时，当时，所以是的极小值点，不合题意，故有两个不同零点．设的两个零点分别为，则，结合三次函数的图象与性质知：，在、上，单调递减，在、上，单调递增，是的极大值点，符合题意，此时需，得，所以实数的取值范围为．故选：D【点睛】方法点睛：对于三次函数，易知，当时，若，则在上单调递增，若，则在上单调递减；当时，若，则的大致图象如图1所示，若，则的大致图象如图2所示．【典例22】（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求ab=【答案】/1.5【分析】由函数在处取极值得，求出a的值并检验，再由函数为奇函数，利用奇函数定义求出b的值，即可求出的值.【详解】由题，因为函数在处取极值，所以，所以.检验：当时，的根为或当时，，当时，；当时，，所以函数在处取极值，成立.故.又该函数为奇函数，所以对定义域内任意都成立，即对任意都成立所以，故.故答案为：.【总结提升】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．题型十二根据函数极值点个数研究参数【典例23】（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是【答案】【分析】由题意，对函数进行求导，将转化为方程的两个正根，利用韦达定理及判别式得到，，结合对数的运算性质得到的表达式，解出不等式即可.【详解】因为，所以函数的定义域为，可得，若是函数的两个极值点，则方程，有两个不同的正根，易得，且，解得，所以，解得，结合，故实数的取值范围是，故答案为：.【典例24】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，即，令，，分和两种情况讨论，根据与有两个交点，求出过原点的切线，比较过原点的切线的斜率与斜率，得出关于两斜率的不等式求解即可.【详解】对函数求导得：，因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点．令，有，令，，所以与有两个交点；当时，，，设过原点的直线与的切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为：，将原点坐标带入切线方程得．此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，即，因为，有，所以，所以；同理知当时，，，即，所以．综上知：的取值范围为．故答案为：【总结提升】讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．题型十三利用导数研究函数的最值【典例25】（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.【答案】1【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.【典例26】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为0【分析】（1）根据切线斜率和切点在切线上列式计算即可；（2）利用导数求出函数的单调区间，然后比较端点值和极值即可求解最值.【详解】（1）由得，依题可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，则，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又，，，，故在区间上的最大值为，最小值为.【规律方法】1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：第一步求函数的定义域；第二步，求函数在(a，b)内的极值；第三步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第四步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．3.二次求导！当导函数y＝f′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f′(x)的正负号．题型十四含参数的函数最值问题【典例27】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由为函数的极值点求得a，再利用导数法求解.【详解】，因为是函数的极值点，所以，则，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：C【典例28】（2022上·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间上的最小值．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调性；（2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值．【详解】（1）的定义域是，，时，恒成立，在上是减函数；时，时，，时，，所以在上是减函数，在上是增函数，综上，时，在上是减函数；时，在上是减函数，在上是增函数．（2）由（1）当时，在上递减，；时，即时，在上递减，；，即时，在上是减函数，在上是增函数，．综上，或时，，时，．【规律方法】1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．题型十五根据函数的最值研究参数【典例29】（2023下·广东江门·高二校考期中）函数（m为常数）在上有最大值，那么．【答案】【分析】利用导数求得函数在区间上的单调性，得到最大值为，结合题意，即可求解.【详解】由函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，因为函数在区间上的最大值为，所以.故答案为：.【典例30】（2023上·高二课时练习）已知函数在上的最小值为，求a的值.【答案】1【分析】利用导数求含参函数的最值，结合，分类研究的单调性，由单调性求在上的最值，建立关于的方程求解即可.【详解】由，，得，当时，当时，，则在上单调递增，，不合题意；当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，解得，不满足，故舍去；当时，当时，，则在上单调递减，，所以，满足题意.综上所述，.题型十六函数极值、最值的图象信息问题【典例31】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值；③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根据导数的几何意义与函数的单调性，极值点的关系结合图象即可判断.【详解】由题知，根据，可以确定函数的增区间，减区间以及切线斜率的正负，由导函数的图象可得，当时，，，3的左边负右边正，两边互为异号，所以在上为减函数，上为增函数，由此可得：①是函数的极值点；④在区间上单调递增，这两个结论正确.②是函数的最小值；③在处切线的斜率小于零，这两个结论错误.故选：B.【典例32】【多选题】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值【答案】BC【分析】根据的图象，得到的单调性和极值情况，得到答案.【详解】根据的图象，可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，AC选项，在和1处取得极小值，在处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；B选项，为函数的极大值，B正确；D选项，不为函数的极小值，D错误.故选：BC【总结提升】有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．题型十七函数极值与最值的综合问题【典例33】（2021·北京高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.【典例34】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，，求当a为何值时，取得最大值．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数导数，通过对导数中的分类讨论，研究函数值的符号，得出函数正负，求出原函数的单调区间；（2）根据函数的极值点得出，化简，利用导数求何时取最大值.【详解】（1）由，得．令，则，，当，即时，恒成立，则，所以在上是减函数．当，即或．（i）当时，恒成立，从而，所以在上是减函数．（ii）当时，函数有两个零点：，，列表如下：—0+0—减函数极小值增函数极大值减函数综上，当时，的减区间是；当时，的增区间是，减区间是，．（2）由（1）知，当时，有两个极值点，，，则，是方程的两个根，从而，，由韦达定理，得，．又，所以，令，，，则，当时，；当时，，则在上是增函数，在上是减函数，从而，由知，又，解得，所以当时，取得最大值．【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．一、选择题：1．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析的单调性，即可得到的单调性及变化趋势，即可判断.【详解】由题知且不恒等于，又在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，即当时，的值由小变大，再由大变小，即函数图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.故选：B.2.（2023下·甘肃天水·高二校考期中）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则下列不是导函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABC【分析】利用导函数的正负与函数单调性的关系，即可判断选项.【详解】由函数单调递增，，函数单调递减，，(不恒为0),由图可知，当时，函数单调递增，所以对应的导函数，故AC不是导函数的图象；当时，图象是先增，再减，再增，所以导函数的图象应先正数，零点，再负数，零点，再正数，故B不是导函数的图象.故选：ABC3．（2023上·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数研究函数的极值点，令极值点属于已知区间即可.【详解】所以时递减，时，递增，是极值点，因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，所以，即，故选：B.4.（2023上·江苏常州·高二统考期末）函数的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.【详解】函数的定义域为，，由得，所以的单调减区间为.故选：D.5.（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.二、多选题6．（2023·全国·统考高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根