复习课正余弦定理的综合应用课件-高一下学期数学人教B版

正、余弦定理的综合应用复习课1.理解单元知识架构，能建构本单元知识体系.2.能利用正、余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题.4.能利用正、余弦定理解决实际应用问题.目标一：理解单元知识架构，能建构本单元知识体系.任务：根据下列问题回顾本单元知识，建构单元知识框图.问题：1.正、余弦定理是什么？它们是如何推导的？有哪些变形？2.正、余弦定理适用于解决什么三角形问题？3.利用正、余弦定理解决的实际测量应用有哪些？归纳总结目标二：能利用正、余弦定理解三角形.任务1：利用正、余弦定理解下列三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2,BC＝,点D在BC边上,∠ADC＝45°，求AD的长度．解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝

，由余弦定理，得

∴sinC=在△ADC中，由正弦定理，得归纳总结解三角形的一般思路：

分析出所求解三角形中，哪些元素已知，还需要哪些元素，并确定选择或构造哪些三角形来求解，再利用正余弦定理求解.目标三：能利用正、余弦定理解决有关三角形的综合问题.任务1：利用正、余弦定理判定三角形的形状.在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2b2sinAcosB＝2a2cosAsinB，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得

判断三角形形状的两种途径:(1)通过正弦定理、余弦定理,化边为角(如:a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)通过正弦定理、余弦定理,化角为边,如:

等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.归纳总结解：(1)由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，又A＝π－(B＋C)，∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC≠0，∴cosB＝sinB且B为三角形内角，∴B＝

任务2：利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．(2)法1：由正弦定理知同理，∴当

即

时，S△ABC有最大值法2：由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB，得4=c2+a2-根据均值不等式得2ca-

≤ac2+a2-=4，解得

∴S△ABC有最大值

1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略：

在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．归纳总结2.求解三角形面积的取值范围的解题方法：

(1)通过正弦定理，化边为角，利用三角函数求范围.

(2)通过余弦定理，化角为边，利用均值不等式求范围.目标三：能利用正、余弦定理解决实际应用问题.任务：利用正、余弦定理解决下列实际问题.

如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2(舍去)故AC＝28海里，BC＝20海里．解得故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为

根据正弦定理得应用解三角形知识解决实际问题四步曲：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与