数学人教A版必修2课时作业1-3-1柱体锥体台体的表面积与体积

课时作业6柱体、锥体、台体的表面积与体积——基础巩固类——1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(A)A．3 B．4C．5 D．6解析：由题意，V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，∴h＝3.2．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9cm3，则其表面积为(A)A．18eq\r(3)cm2 B．18cm2C．12eq\r(3)cm2 D．12cm2解析：设正四面体的棱长为acm，则底面积为eq\f(\r(3),4)a2cm2，易求得高为eq\f(\r(6),3)acm，则体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq\r(2)，所以其表面积为4×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3)(cm2)．3．一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是(B)A．28 B．32C．36 D．40解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b·c＝8，①,ab＋bc＋ca＝16，②,b2＝ac，③))将③代入①得b3＝8，b＝2，∴ac＝4，代入②得a＋c＝6.∴长方体棱长的和为4(a＋b＋c)＝4×8＝32.4．若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为(D)A．eq\f(11,2) B．5C．eq\f(9,2) D．4解析：易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋4×eq\f(1,2)×1×1＝4，高为1，故此几何体的体积V＝4×1＝4.5．在△ABC中，AB＝2，BC＝eq\f(3,2)，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(D)A．eq\f(15,2)π B．eq\f(9,2)πC．eq\f(5,2)π D．eq\f(3,2)π解析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，易得OA＝eq\r(3)，OB＝1，则OC＝eq\f(5,2)，所以旋转体的体积为eq\f(1,3)×π(eq\r(3))2·(OC－OB)＝eq\f(3π,2).6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(C)A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4解析：由三视图可知，四个几何体自上而下分别为圆台、圆柱、四棱柱、四棱台，所以V1＝eq\f(1,3)(4π＋π＋2π)＝eq\f(7π,3)，V2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)×(16＋4＋8)＝eq\f(28,3)，故V2<V1<V3<V4.7．一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为21.解析：S圆柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋2π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,2)πa2，S圆锥＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圆柱S圆锥＝21.9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，若几何体的体积为8eq\r(3)，则a＝2.解析：由三视图可知，该几何体为正三棱柱，底面正三角形的边上的高为2eq\r(3)，棱柱的高为a，∴底面正三角形的边长为4，∴该正三棱柱的体积V＝eq\f(\r(3),4)×42×a＝8eq\r(3)，解得a＝2.10．如图是某几何体的三视图．(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为eq\r(3))，所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，体积为V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝2π＋eq\f(\r(3),3)π.11．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC的体积．解：如图所示，连接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，∴VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝eq\f(1,2)VA­BB1C1C．又VA­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA­A1B1C1＝eq\f(m,3)，∴VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝eq\f(2,3)m，∴VA­BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)m＝eq\f(m,3)，即四棱锥A­BEFC的体积是eq\f(m,3).

——能力提升类——12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：由l＝eq\f(1,4)×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝eq\f(16,π)≈eq\f(16,3)(尺)，所以米堆的体积V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,4)×eq\f(256,9)×5＝eq\f(320,9)(立方尺)，所以堆放的米有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)，故选B．13．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A．8－eq\f(π,4) B．8－eq\f(π,2)C．8－π D．8－2π解析：该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V＝23－eq\f(1,2)×2π＝8－π，故选C．14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为eq\r(7).解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8＝eq\f(196π,3).设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则eq\f(1,3)π×r2×4＋π×r2×8＝eq\f(28π,3)r2＝eq\f(196π,3)，解得r＝eq\r(7).15．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：