2023届上海市五十二中高考考前模拟考试卷数学试题试卷

2023届上海市五十二中高考考前模拟考试卷数学试题试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.对于任意xeR,函数f（x）满足f（2—x）=—/（x）,且当x..l时，函数f（x）=JMi.若

a===则a,b,c大小关系是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<hD.c<b<a

2.在函数：①），=cos|2x|；②y=|cosx|；③y=cos（2x+2）；④丫=tan（2x-?］中，最小正周期为乃的所有

函数为（）

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

21

3.如图，在AABC中，AN=—NC,P是BN上一点，若AP=rAB+上AC,则实数，的值为（）

33

4,中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝

才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛,

每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

5.已知曲线/=4y,动点尸在直线y=-3上，过点P作曲线的两条切线44,切点分别为A,8,则直线A8截圆

炉+/一6），+5=0所得弦长为（）

A.6B.2C.4D.2G

6.已知同=3忖=3,且（2a-b）-L（a+4A）,则2a-方在。方向上的投影为（）

720

A.一B.14C.—D.7

33

224

7.已知双曲线x丁_1的一条渐近线方程为y=则双曲线的离心率为（）

a2b2"

4553

A.一B.-C.-D.-

3342

厂y-

8.双曲线G：=1（a>0,b>0）的一个焦点为E（c,0）（c>0）,且双曲线c的两条渐近线与圆G：

靛一瓦-

（x—c）2+y2=J均相切，则双曲线G的渐近线方程为（）

4

A.x±y/3y=0B.>/3x±y=0C.y/5x±y=0D.x±y/5y=0

>

9.已知小为实数，直线4：mx+y-l=O,l2：（3m-2）x+my-2=Q,贝!m=1”是“4/4”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

10.《九章算术》有如下问题：“今有金肇，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意

思是：“现在有一根金睾，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”

按这一问题的颗设，假设金维由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）

A.1•斤7-5匚,日

B.37斤C.—frD.3斤

22

11.在棱长均相等的正三棱柱45C=Aga中，。为的中点，F在4G上，且DF_LAG，则下述结论:

①AG，8C；②AP=FG；③平面平面ACGA：④异面直线AG与所成角为60°其中正确命题的

C.3D.4

12.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）

5c5r

A.一7B.2"C.一乃D.37

32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/(%)=(%—。)(尤+3)为偶函数，则/(2)=.

cos2a---

14.若tana=2,贝!|z--------"=____.

sin(2a-()

15.已知/(x)为偶函数，当x<0时，f(x}^e-x-x,则/(ln2)=.

16.(5分)国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年

全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高

二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16/8,19,则这五位同学答对题数的方差

是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，。、b、c分别是角A、B、C的对边，S.(a+b+c\a+b-c)=3ab.

(1)求角C的值；

(2)若c=2,且AABC为锐角三角形，求G+力的取值范围.

18.(12分)已知函数/(x)=me*-2》一加.

(D当加=1时，求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程;

(2)若/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求〃？的取值范围.

19.(12分)中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖膈”.在如图所示的阳马P-ABCD中,底面ABCD是矩形.PA，平面ABCD,

PA=AD=2,AB=6,以AC的中点。为球心，AC为直径的球面交尸。于M(异于点O),交PC于N(异于

点c）.

(1)证明：AM_L平面PCD,并判断四面体MCZM是否是鳖腌，若是，写出它每个面的直角(只需写出结论)；若

不是，请说明理由；

(2)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值.

20.（12分）已知函数/（X）=lnx-»u-//（加eR）.

(1)讨论函数“X)的极值;

(2)记关于x的方程/(%)+源幺=0的两根分别为pq(p<q),求证：Inp+\nq>2.

21.(12分)如图在四边形ABC。中，BA=6BC=2,E为AC中点，BE姮

F

(1)求AC；

TT

(2)若。=§,求AACD面积的最大值.

22.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=log2(|x+l|+|x-2|-m).

(1)当m=7时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由已知可得U,一)的单调性，再由7(2-幻=-/(幻可得/(X)对称性，可求出/(幻在(—1)单调性，即可求出结论.

【详解】

对于任意xeR,函数/(X)满足/(2-X)=—/(X),

因为函数/(x)关于点(1,0)对称,

当XN1时，/*)=万是单调增函数,

所以fW在定义域R上是单调增函数.

因为所以《一；卜《一3)</

b<c<a.

故选:A.

【点睛】

本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..

2、A

【解析】

逐一考查所给的函数：

^=cos|2x|=cos2x,该函数为偶函数，周期T言”；

将函数y=cosx图象x轴下方的图象向上翻折即可得到>=|cosM的图象，该函数的周期为

1c

-x2乃=乃•

2

函数y=cos,+£|的最小正周期为了《=》；

函数…0高的最小正周期为Y=5;

综上可得最小正周期为万的所有函数为①②③.

本题选择A选项.

点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错

误.一般地，经过恒等变形成"_y=Asin3x+9),j=Acos(tox+^),y=Atan(c"x+e)”的形式，再利用周

期公式即可.

3、C

【解析】

2

由题意，可根据向量运算法则得到AP=1mAC+(l-/n)AB，从而由向量分解的唯一性得出关于f的方程，求出

f的值.

【详解】

由题意及图，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m(AN-A8)=mAN+(l-m)AB,

222

又,AN=—NC,所以AN=-AC,：.AP^-mAC+(1-zn)AB，

355

1-m=t

又AP=，A8+qAC,所以,21»解得机=:，，=:，

3—m=—66

153

故选C.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.

4、B

【解析】

人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为。1,计算％=192,代入得到答案.

【详解】

由题意可知此人每天走的路程构成公比为;的等比数列，设此人第一天走的路程为外,

小⑶।*

则L"'J二37g，解得《=192,从而可得出=192x—=96,4=192X—=24,故/一%=96-24=72.

12\2J

1—

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5、C

【解析】

设A,6/，?，尸。，-3),根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将。点坐标代入切线

方程，抽象出直线A3方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.

【详解】

圆丁+/一6＞；+5=0可化为d+(y-3)2=4.

(2\(2\

设A知卷।尤2,才，P(，,—3),

则44的斜率分别为k1吟,《吟,

2

所以44的方程为/I：丁=5(%一2)+今，即y=^x-y,

-3=—/-

2'

由于44都过点P0-3),所以＜

-3=£”必

即人(”),屿,斗)都在直线-3=5-y上，

所以直线AB的方程为一3=土，一》,恒过定点(0,3),

2

即直线AB过圆心(0,3),

则直线AB截圆/+/一6y+5=0所得弦长为4.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.

6、C

【解析】

由向量垂直的向量表示求出小。，再由投影的定义计算.

【详解】

由(2a-b)_L(a+48)

可得(2a—/?),(a+48)=2a~+7"•/?—4Z?2=0,因为|a|=3|匕|=3,所以4m=一2.故2a—。在a方向上的投影

(2a—b)♦a2cr—a•b18+220

为

|«|33

故选：C.

【点睛】

本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.

7、B

【解析】

由题意得出（的值，进而利用离心率公式

可求得该双曲线的离心率.

CT

【详解】

hb1一八2

双曲线二1的渐近线方程为y=±—x,由题意可得彳416

7~9

因此，该双曲线的离心率为e

故选：B.

【点睛】

本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于

基础题.

8、A

【解析】

根据题意得到d=-T===f，化简得到a2=3b2，得到答案.

\/a2+b22

【详解】

h,hec

根据题意知：焦点F（C,O）到渐近线y=-X的距离为d=/、『=-,

a7er+b~'

故/=3/，故渐近线为x±0y=O.

故选：A.

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.

9、A

【解析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

当m=l时，两直线方程分别为直线h：x+y-1=0,h;x+y-2=0满足h〃L,即充分性成立，

当m=0时，两直线方程分别为y-1=0,和-2x-2=0,不满足条件.

、“.,,3m-2m-2

当m=0时，则h〃12n-----=一工—，

m1-1

,3m—2m„

由------=—得m~-3m+2=0得m=l或m=2,

m1

由:'73得n#2,则m=L

即“m=l”是“h〃L”的充要条件，

故答案为：A

【点睛】

(D本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能

力.⑵本题也可以利用下面的结论解答，直线qx+4y+q=0和直线的%+%丁+。2=0平行，则且两

直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

10、B

【解析】

依题意，金肇由粗到细各尺重量构成一个等差数列，4=4则%=2,由此利用等差数列性质求出结果.

【详解】

设金基由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{%},设首项4=4,则为=2,公差d=?二?=封=-；，

5—15—12

,7

a2=+a=—.

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

11、B

【解析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断歹是4G的中点推出②正的误；利用

直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线4c与CO所成角判断④的正

误.

【详解】

解：不妨设棱长为：2,对于①连结A片,贝iJM=AG=20,.'ZAC田产90。即AG与反G不垂直，又BC//BG，

；.①不正确；

对于②，连结AD,DC,,在A4£>G中，AD=DC、=也,而。/，4G,.•.尸是A6的中点，所以AF=FG，，②

正确；

对于③由②可知，在AA〃C1中，。尸=百，连结CF,易知而在RtACBD中，CD=>/5,..DF1+CF2CD1,

即OE，CF,又。尸,ACt,：.DF±面ACC.A，，平面DAC,1平面ACC,A，二③正确；

以4为坐标原点，平面A4G上过4点垂直于4G的直线为X轴，AG所在的直线为)'轴，4A所在的直线为z轴，

建立如图所示的直角坐标系；

4(0,0,0),4⑼,0),G(0,2,0),4(0,0,2),C(0,2,2),£>(73,1,1)；

AC,=(0,2,-2),CD=(73,-1,-1)；

异面直线AG与C。所成角为。，cos0=无=0,故8=90。.④不正确.

\ACt||CD|

故选：B.

本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力

以及逻辑推理能力.

12、A

【解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1,圆柱的底面

半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，

半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.

贝II几何体的体积为^=工乂3%*13+%乂12*1=2.

233

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-5

【解析】

二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数“，将x=2代入表达式即可求解

【详解】

由/（》）=/+（3-4）》一3°为偶函数，知其一次项的系数为0,所以3-a=O,a=3,所以/（x）=f-9,

/⑵=2?-9=-5

故答案为：-5

【点睛】

本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题

I

14、-

7

【解析】

4

由tanc=2,得出tan2a=—-,根据两角和与差的正弦公式和余弦公式化简，再利用齐次式即可求出结果.

3

【详解】

4

因为lanc=2,所以tan2c=—-，

3

cos2acos—+sin2asin

44

sin2acos--cos2asin冗

44

故答案为：—.

【点睛】

本题考查三角函数化简求值，利用二倍角正切公式、两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及运用齐次式求值，属于

对公式的考查以及对计算能力的考查.

15、2+ln2

【解析】

由偶函数的性质直接求解即可

【详解】

/(ln2)=/(-ln2)=eln2-(-ln2)=2+ln2.

故答案为2+In2

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力

16、2

【解析】

由这五位同学答对的题数分别是17,20,16,18,19,得该组数据的平均数个2。土；+18土1938,贝防差

?=-X[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)C=1.(2)(26,4].

【解析】

(1)根据题意，由余弦定理求得cosC=',即可求解C角的值；

2

(2)由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到a+b=4sin(A+^],再根据AA8C为锐角三角形，求得

ITTT

利用三角函数的图象与性质，即可求解.

【详解】

(1)由题意知(。+6+。)(。+6—。)=3。人，・・・々2+62_。2=々〃,

〃2序21

由余弦定理可知，cosC=巴士—-一,

2ab2

JT

又・・・Ce(O,»),，C=-.

3

ah

_--=—4r4r

(2)由正弦定理可知,sinsin,7i3、，即a=—gsinA,b=—GsinB

ABsin—33

3

，a+h=gG(sinA+sin3)sinA4-sin

=2\/3sinA+2cosA-4sin^A+—j,

又...MBC为锐角三角形'一2万，/即,

_.7T.兀2万

则一<4+—<——,所以S<4sinA+744,

363

综上G+力的取值范围为(26,4[.

【点睛】

本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边

转角''寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式

求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结

合正、余弦定理解题.

18、(1)y=一％；(2)[2,+oo)

【解析】

(I)m=1,对函数y=/(X)求导，分别求出/(0)和r(0),即可求出f(x)在点(0,7(0))处的切线方程;

(2)对/(x)求导，分m＞2,0＜加＜2和机＜0三种情况讨论/(x)的单调性,再结合/(x)＞0在(0,+oo)上恒成立，可

求得加的取值范围.

【详解】

(1)因为机=1,所以＜(x)=e—,所以f'(x)=ex-2,

则/(O)=O,/'(O)=-1,故曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=—X.

(2)因为/(x)=me"-2%-相,所以/(x)=m&x-2,

①当加22时,/'(x)>0在(0,+8)上恒成立，则/(x)在(0,+8)上单调递增，

从而/。)>/(0)=0成立，故相>2符合题意；

②当0(加<2时，令f'(x)<0,解得0<x<In2,即f(x)在(o,m工］上单调递减，

m\m)

则/1111\］</(0)=0,故0<相<2不符合题意；

③当出<0时,/'(X)=根e'-2<0在(0,+8)上恒成立，即/(x)在(0,+8)上单调递减，则/(x)</(0)=0,故加<0不

符合题意.

综上,〃?的取值范围为［2,+8).

【点睛】

本题考查了曲线的切线方程的求法，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式恒成立问题，利用分类讨论是解决

本题的较好方法,属于中档题.

19、(1)证明见解析，是，ZAMC,ZAMD,ZM)C,ZMDC；(2)逅

5

【解析】

(1)根据AC是球的直径，则又B4_L平面ABCO,得到C£>_LQ4,再由线面垂直的判定定理得到

CO_L平面PAD,,进而得到CDYAM,再利用线面垂直的判定定理得到AM_L平面PCD.

(2)以A为原点，AB，AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系，设CN=46=卜血；1,一2/1,2/1),由

ANLCN,解得/I,得到CN，从而得到QN=OC+CN，然后求得平面ACM的一个法向量，代入公式

ONn

sin。=求解.

HH

【详解】

(1)因为AC是球的直径，则

又平面ABCD,

/.CD1PA,8,AD".8,平面PAO，

C£＞，AW,.ITUY，平面PCD.

根据证明可知，四面体MCD4是鳖膈.

它的每个面的直角分别是44MC,ZAMD,^ADC,ZMDC.

(2)如图，

以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,

则5（夜,0,0）,C（V2,2,0）,£＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,。［孝,1,0）.

M为QO中点，从而“（0,1,1）.

所以CP=卜起,一2,2）,设CN=4cp=（-72/1,-22,22）,

则AN=4C+CN—（血一历,2-24,24）.

由⑷V_LCN,

得4V.CN=&（©I-0）-24（2-24）+4储=1042-62=o.

由4H0得2即O'=（_一二,

（万］6、

所以ON=OC+CN=.

1055

\/

设平面ACM的一个法向量为。=（羽＞,z）.

AM•〃=y+z=0

由《.

AC-n-V2x+2y=0

取"0,y=T,z=i,得到〃=（枝,T1）.

记ON与平面4WC所成角为仇

ON-n_V6

贝!|sin0--导0+H

I2136

.同--+--+--•V2+1+1

K1002525

所以直线ON与平面AMC所成的角的正弦值为".

5

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

20、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)对函数求导，对参数加讨论，得函数单调区间，进而求出极值；

(2)，均是方程/(力+机2%2=0的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.

【详解】

/，、、1c2\-iwc-2m~x(l+znr)(l-2/nx)

(1)依题意，f(x)=——m-2mx=------------=--------------；

xxx

若机=0,则/'。)=:>0,则函数〃x)在(0,+8)上单调递增，

此时函数/(x)既无极大值，也无极小值；

若加>0,贝!jl+，nx>0,令/"(x)=0,解得》=」一，

2m

故当xw(0,'-)时，/'(x)>0,单调递增；

2m

当xe(1-,+/)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

2m

此时函数/(X)有极大值/(—)=(/->=In,无极小值；

2m2m2m2m2m4

若相<0,则1一2nvc>0,令/”(%)=0,解得x=一--,

m

故当X£(0,一‘)时，/\x)>0,/。)单调递增；

m

当xw(—',+oo)时，/Xx)<0,/(%)单调递减，

m

此时函数/(x)有极大值―|-ln(一~-)-m(-)-w2(---)2=ln(一■-),无极小值;

mJmmmm

(2)依题意，lnx-m¥=0,贝ijln〃=mp,\nq=mq9

故In4—Inp=m(q_p),Inp+lnq=根(〃+/；

要证：lnp+lnq>2,即证〃z(p+q)>2,

即证：———L(〃+q)>2,即证ln，>,

q-ppp+q

设旦=f(f>l),只需证：型二D(/〉l),

Pz+1

设g(/)=lnf贝

t+1(+1)2

故g”)在(1,物)上单调递增，故g(f)>g(l)=O,

即InfA?”",故lnp+lnq〉2.

t+l

【点睛】

本题考查函数极值及利