2023年高三数学寒假作业16（含答案解析）

高三寒假作业16

一、单选题

1.如图，/是全集，M、P、S是/3个子集，则阴影部分所表示的集合是（)

A.所产）nsB.(/np)usc.所「加亍D.

（〃np）u亍

2.若+=贝ljz=()

A.IB.1+iC.-iD.i

3.若直线2x+y-l=0是圆（x—a）2+y2=i一条对称轴，则。=（)

1

AB.——C.1D.-1

-I2

4.如图是标准对数远视力表的一部分.最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组

数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近

似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为痂.己知标准对数视力5.0对应的国际标

准视力准确值为1.0,则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为

()

(参考数据：Vio«1.58,'Vio«1.26)

标准对数视力表

小

数

4.0

记

E录

0.12

SUJ0.1

4.2Em0.15

A.0.57B.0.59C.0.61D.0.63

5.在中，AC=3,8C=4,NC=90°.尸为所在平面内的动点，且

PC=1,则序.而的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

6.已知函数/（x）=2sina>xcos2|?一?|一$皿％》3>0）在区间--?，一上是增函

数，且在区间[0,兀]上恰好取得一次最大值，则”的取值范围是（）

31-13]「15一

I5」\_25]\_22]

7.若两曲线）=/-1与）存在公切线，则正实数。的取值范围为（）

A.（O,2elB,（0,e]C.[2e,+<x））D.（e,2e]

8.已知双曲线/一1=1,若过点（2,2）能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e

a

取值范围为（）

（rrr\（<—、

A.—7，+8B.1»—-C.D.以上选

<3）IJ

项均不正确

二、多选题

9.已知向量a=（l,sin6）,B=（cos。,JE）,则下列命题正确的是（）

A.存在。，使得2//BB.当tan6=——时，£与垂直

2

C.对任意。，都有|公同引D.当石时，tan®=也

10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记

事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件8为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说

法正确的是（）

A.尸（A）=gB.事件A和事件2互为对立事件

C.P（B|A）=1D.事件A和事件B相互独立

11.在正方体中，点P满足加=23弓+仅8妹，其中丸«0』],

4G[0,1],则（）

A.当4=〃时，4尸〃平面AC。

B.当〃=1时，三棱锥尸―A3。的体积为定值

C.当4=1时，4PBD面积为定值

n7i

D.当2+4=1时，直线AQ与2P所成角的范围为

12.已知函数/(x)=(ox+lnx)(x-lnx)-x2恰有三个零点3,%2，%3(5<%3)，则下列

结论中正确的是()

Al<a<l+—^—B.+——

e~—ee--e

C.xt+x2>3-aD,x2+x3>2e

三、填空题

13.(x2+2)6的展开式中常数项是(用数字作答).

X

14.某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫

要求，任意两人之间需间隔1米以上(两个空位)，则不同的就坐方法有种.

15.已知5x2y2+y=l(x,yeR),则9+丁的最小值是.

16.在三棱锥尸-ABC中，顶点尸在底面ABC的投影为O,点。到侧面EA5,侧面

PAC,侧面P3C的距离均为止若PO=2d,AB=2.CA+CB=4,且44BC是锐

角三角形，则三棱锥P-ABC体积的取值范围为.

四、解答题

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=&,B=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在边BC上取一点。，使得cosZADC=-g,求tanNZl4c的值.

18.已知数列｛《,｝是公比为夕的等比数列，前九项和为S“，且满足4+%=2夕+1,

S3=3a2+1.

(1)求数列｛q｝的通项公式:

。"+1〃为奇数

(2)若数列也｝满足b„=J3an求数列也｝的前2〃项和&.

，〃为偶数

4.一5。“+1

高三寒假作业16答案解析

一、单选题

1.如图，/是全集，M、尸、S是/的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A.（M"）nsB.MP）USc.（wnnnsD.

（Mnp）us

【答案】C

【解析】

【分析】根据Venn图表示的集合运算作答.

【详解】阴影部分在集合",「的公共部分,但不在集合S内，表示为（MCP）CM，

故选：C.

2.若+=,贝I］乎（）

A.1-/B.1+zC.-iD./

【答案】D

【解析】

【分析】先利用除法运算求得三，再利用共轨复数的概念得到z即可.

【详解】因-［二31_/二f^l_^＞^）2二三-21一，所以zr

故选：D

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共规复数的概念，是一道基础题.

3.若直线2x+y—1=0是圆（x—q）2+y2=i的一条对称轴，则。=（）

11

A.-B.一一C.1D.-1

22

【答案】A

【解析】

【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解.

【详解】由题可知圆心为（。,0）,因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即

2«+0-1=0,解得一.

2

故选：A.

4.如图是标准对数远视力表的一部分.最左边一列“五分记录''为标准对数视力记录，这组

数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录''为国际标准视力记录的近

似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为晒.已知标准对数视力5.0对应的国际标

准视力准确值为1.0,则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为

()

(参考数据：1.58,1.26)

标准对数视力表

小

数

记

录

4.0EO.

SUJ

015

42E[T1

A.0.57B.0.59C.0.61D.().63

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，确定标准对数视力4.8从下到上的项数，再利用等比数列计算作

答.

【详解】依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0」，标

准对数视力4.8为该数列第3项,

标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1。为右边数据组的等比数列的首项，其公比为

1

因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为

lx0.63

故选：D

5.在A4BC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为AABC所在平面内的动点，且

PC=],则丽.丽的取值范围是（）

A.[-5,3JB.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos6,sin。），表示出百，PB，根据数量积

的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则。（0,0）,4（3,0）,3（0,4）,

—2-

因为PC=1,所以P在以。为圆心，1为半径的圆上运动，

设尸(cos。,sin。),6£[0,2句,

所以刀=(3-cos6,-sin8),PB=(-cos0,4-sin3^,

所以PAPB=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos2。-3cos6-4sine+sin20

=l-3cos^-4sin^

=l-5sin(9+e),其中sin°=g,cos0=*,

因为一l〈sin(8+e)4l,所以-4Wl-5sin(e+0)W6,即耳.丽e[-4,6]；

故选：D

(oxn

6.已知函数/(x)=2sin3xcos一sin2（yx（0>O）在区间---上是增函

24

数，且在区间［0,兀］上恰好取得一次最大值，则。的取值范围是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于0的不等式组，即可求得。的取

值范围.

.、乂i.//、->•（OX71A.2（的兀1.

【详解】）（%）=2sinscos-------sinc2ox-sincox2cos--------sina）x

2424

=sincoxcos^69x-—J+l-sin^x=sin6yx(sincox+\-sincox)=sincox

由cox=—+2kit,可得工=」-+"二人GZ

2CDCD

由〃x）在区间［0,兀］上恰好取得一次最大值，可得解之得

24yCD

5

63

又/（x）在区间-丁,二上是增函数，则,解之得。<

365

13

综上，。的取值范围是一404一

故选：B

7.若两曲线y=N-l与产HINI存在公切线，则正实数。的取值范围为（）

A.(0,2e]B.(0,e]C.[2e,+<»)

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足

曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.

【详解】设4（%,片-1）,8（工2，。山2-1）,凹'=2x,%'=-,k\=2xvk2=—

切线：了一（片—1）=2%（%—玉），即y=2X]X_x；—l

切线：y-(nlar2=^y^—x-a+cAxvc2-\,

2x,=—，/

x2,.\a=(1-lnx2)

一片—1=-。11

令/(x)=4x2(l-lnx),/^)=8x(l-lrix)+4x2f--、

kx7

=8x-8xlnx—4x=4x—8xlnx=4x(1-21nx)=0,x=Ve

/(x)在(0,&)上单调递增，在(〃,+8)上单调递减，

所以/⑴皿=/(&)=2e,，ae(0,2e].

故选：A.

8.已知双曲线尤2一与=1,若过点（2,2）能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e

a

取值范围为（）

A.+B.C.D.以上选

项均不正确

【答案】D

【解析】

【分析】设切线方程为y-2=Mx-2）,代入双曲线方程后，方程应为一元二次方程，二

次项系数不能为0,然后由A=（）判别式得关于我的方程，此方程有两个不等的实根，由此

可得标的范围，从而求得e的范围，注意满足二次项系数不为0的条件，即可得结论.

【详解】设切线方程是^一2=左（了一2）,

y-2=k.（x-2）

由4,y2得（。2一左2）/+4灯Z一1»一4（后一1）2一。2=0,

X一一7=1

Ia-

显然/一后2=0时，所得直线不是双曲线的切线，所以

由△=0得16/伏-1）2+4（"_&2）[4（4一1）2+。2]=0,整理为3公一8k+4+4=0,

由题意此方程有两不等实根，

2

所以=64-12（4+/）>0,a<-,则/=1+/〈一（c为双曲线的半焦距），

33

cV2T日n[V2I

e=—=c<----，即1<e<----，

133

k=±。代入方程女2—8Z+4+/=0，得。=±1,此时e-V2，

综上，e的范围是（1,夜）U（血,殍）.

故选：D.

二、多选题

9.已知向量Z=（l,sin0）,5=（cose,JI）,则下列命题正确的是（）

行

A.存在氏使得Z//BB.当tan6=-"时，Z与坂垂直

2

C.对任意6,都有阿B|D.当二方=—6时，tane=V2

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，利用向量平行及三角函数恒等变换得到方程，sin2e=2Q〉l，故A

错误；B选项，利用垂直得到方程，求出正切值；C选项，计算出两向量的模长，得到

7T1111

9=3+kn、kwZ,C错误；利用向量的数量积列出=cosd+J^sin。=—,平方后

得到tai?。-2夜tan0+2=0,求出正切值.

【详解】对于选项A：若£/%,则0=sinOcos。，即sin26=20>l，

所以不存在这样的8,故A错误；

对于选项B：若£_1_3，ROcosG+-s/2sin0=0»即cosO=-0sinO,得

tan^=-—，故B正确；

2

对于选项C：1Z|=Jl12+COS?6，当|£|=|万I时，cos2^=-l,

此时0=—+kn,kwZ,故C错误；

对于选项D：a-b=cos4-V2sin=->/3，两边同时平方得

cos20+2sin20+2>/2cos-sin=3cos26+3sin20，化简得

2cos20+sin20-2V2sin0cos0=0»等式两边同除以cos26得

tan20-2V2tan0+2=0»

即（tan。一收了=0,所以tan。=血，故D正确.

故选：BD.

10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次，记

事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说

法正确的是（）

A.尸（A）=gB.事件A和事件B互为对立事件

C.尸；D.事件A和事件B相互独立

【答案】ACD

【解析】

【分析】求得尸（A）的值判断选项A；举反例否定选项B；求得P（B|A）的值判断选项

C；利用公式P（A）P（B）=P（AB）是否成立判断选项D.

C181

【详解】选项A：P（A）=/身=7=；.判断正确；

C4c4162

选项B：事件8：第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，

则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；

选项C：P（AB）=^-=—=-,则P（同4）=^^=:二;.判断正确;

'）C；C；164V17P（A）

2

/、C'C'+C^C'81,、1P（AB）=%

选项D：P（B）===又尸伊）=,

C4c4lo22

则有P（A）P（B）=P（AB）成立，则事件A和事件8相互独立.判断正确.

故选：ACD

11.在正方体4?。。一44。1。|中，点尸满足3户=43心+〃3妹，其中/LG[（）5,

"€[0,1],则（）

A当X=〃时，4P〃平面AC。

B.当〃=1时，三棱锥尸-a/。的体积为定值

C.当之=1时，的面积为定值

7171

D.当4+〃=1时，直线A。与RP所成角的范围为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A选项，确定尸点在面对角线BC上，通过证明面面平行，得线面平行;

对于B选项，确定P点在棱qG上，由等体积法，说明三棱锥P-4BC的体积为定值；

对于C选项，确定产点在棱CG上，△P8D的底6。不变，高P£随点尸的变化而变

化；

对于D选项，通过平移直线4。，找到异面直线与RP所成的角，在正△qgc

中，确定其范围.

【详解】对于A选项，如下图，当;1=〃时，P点面对角线上运动，

又Pc平面AC8,所以42u平面4GB,

在正方体ABC。—4片G"中，•.•43〃。14且45=。10,则四边形为平行四

边形，

所以，AD、HBC\,•••A。平面4BQ,BQu平面48G，,A£>"平面ABQ,

同理可证AC〃平面A8C；,

•：AD.C\AC=A,所以，平面AGB〃平面AC",

•••A/u平面4BG，所以，4P〃平面AC。，A正确；

对于B选项，当〃=1时，如下图，P点在棱B,G上运动，

三棱锥P-ABC的体积VP_^BC=V^PBC=1为定值，B正确;

对于C选项，当2=1时，如图，P点在棱CG上运动，过P作于E点,

则其大小随着PE的变化而变化，C错误；

对于D选项，如图所示，当彳+〃=1时，P,C,用三点共线，

因为4B//CO且AM=CD,所以四边形A^CD为平行四边形，所以AD//BC,

所以NQP片或其补角是直线耳。与。尸所成角，

7171

在正△44。中，4的取值范围为,D正确.

故选：ABD.

12.已知函数/(x)=(Gc+lnx)(x-lnx)-/恰有三个零点玉,吃,毛(占<三)，则下列

结论中正确的是()

,,1,,1

A.1<a<1+-TB.1<a<Id--z

e-ee-e

C.%+工2>3—aD.x2+x3>2e

【答案】BCD

【解析】

【分析】令，=&•转化为为『+3-1)/+1-。=0(*)在一8,—上有两不等实根

xIe_

InX

44储<幻从而得出参数。的范围，设函数〃(幻=—在X=1处的切线/：丁=%-1,记

X

]nT

切线/与y=G，y=f2的交点的横坐标分别为玉,工；,又由——<x-1可得

X

6=x；_1=吧<芯―1,从而可判断选项C;由对数均值不等式可判断选项D.

X

1x—1

【详解】由y=x-lnx,则y'=l-一=-——

xx

可得0cx<1时，y<o,当x>i时，y<0

所以y=x—Inx在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.所以x—lnx21>0

令7=见二，则产=上乎，当0<x<e时，f'>0；当]>e时，f<0

Inxx

由题意即方程(ax+Inx)(x-lnx)=x2有三个实数根，即a+—=-------有三个实数根

xx-lnx

所以""三有两个实数根，即转化为入伍-"+一=°⑴必有一个实根

判别式△=（。-1）2-4（1一“）>0,有a<—3或。>1,两根情况讨论如下:

①当Ae（0,1）,72=L时，从而将,2=1代入（*）式，得4=1+一一，又

eeee-e

秘2=1—。=一一一，有4=一一一<o不符合题意，故舍去

e-ee-e

②当4W0,，2£（°，一）时，令gQ）=厂+（a—1），+1—。

e

i）当4=0时，有1—a=0,得a=l,此时（*）式为产=0,不符合题意

g（0）=l-Q<0

ii）当。<0时，则有|rn1z.1八，解得

g—=—y+（Q—1）--F1—>0

ee

e2-e+1

\<a<—------

e-e

综上知〃的取值范围为（l,e~；e+l）,故A错误，B正确.

e-e

11卜知/1一。-A/Q~+2a—3（1—Q+J〃~+2a—3

~L2，2―2~

InxInX

考虑函数//(©=—在X=1处的切线/：丁=X-1,易证：——<x-\

XX

记切线/与y=九y=L的交点的横坐标分别为工；,芯，则X=1一"一'『+2史+1，

2

,1—a+Ja~+2a—3,

%,=-----------------1-1

-2

,,Inx.,,

又4=X]-1=---<玉一1,则玉<々

X]

同理乂<%2，故％+工2>x：+x；=3-。，故选项C正确

Inx,=x.-x.1X-.+X-,2

对于选项D,一一一，则有■;~—=-<--,即/+£>—>2e,故

ln

InX3=，2%3工2-In尤3t22t2

选项D正确

故选：BCD

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数零点问题，考查复合方程的根的问题.解

InY

得本题的关键是先令1=—，先研究出其性质大致图像，然后将问题转化为

X

r+(a-l)/+l-a=O(*)在(-8,0]和上各有一个实根，|内(4<L)，从而使得问

题得以解决，属于难题.

三、填空题

13.(%2+2)6的展开式中常数项是(用数字作答).

X

【答案】240

【解析】

【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】•••(x2+^[

IX)

其二项式展开通项：

…,(打I]'

=Q(2),--xl2-3f

当12-3r=0,解得/'=4

.•.卜+4的展开式中常数项是：C；"=cri6=15xl6=240.

故答案为：240.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握

(a+b)”的展开通项公式(+1=C，"-'7/,考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

14.某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫

要求，任意两人之间需间隔1米以上(两个空位)，则不同的就坐方法有种.

【答案】840

【解析】

【分析】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2

个空位，

此时空位一共还剩3个，再将这三个分成一组、两组、三组讨论，利用分类计数原理计算可

得答案.

【详解】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2

个空位，

此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放

法；

若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有A；种放

法；

若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有C；种放法，

故不同的就坐方法为A：x（5+A"C；）=840种.

故答案为：840.

15.已知5x2y2+/=l（x,yeR）,则x2+y2的最小值是.

【答案】|4

【解析】

【分析】根据题设条件可得£=舁，可得/+丫2=舁+尸=3+与，利用基本不

5y5y5y5

等式即可求解.

【详解】+

4

1—v

且

2仔Fg当且仅当步昔，即小

X2+/

时取等号.

•••f+）,2的最小值为*.

4

故答案为：—.

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确

理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，

其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号

能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用》或《时等号能否

同时成立）.

16.在三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影为。，点。到侧面％8,侧面

PAC,侧面PBC的距离均为d,若PO=2d,AB=2.CA+CB=4,且44BC是锐

角三角形，则三棱锥尸-ABC体积的取值范围为

【解析】

【分析】根据点。到三个侧面的距离相等，从而得出点。到底面三条边的距离相等，从而

得到，三棱锥的体积关于4的表达式，再通过底面三角形为锐角三角形，得到d的范围，

即可得出三棱锥体积的范围.

【详解】解析：如图，过点。作AC于点。，连接PO.作OELPD于点E,则

有0E=d=L0P,0D=3^d，同理，点。到边AB,AC的距离都为2叵所以

233

由AB=2,C4+CB=4可知，点C轨迹为以4,8为焦点的椭圆，

a=2,c=\=b=6如图，当AABC是锐角三角形时，点C横坐标取值范围为

(-1,1),则凤所以,诋=2岛egg

_4A/3,2(GVT

所以彩一人品二三-de7-'石

(上行

故答案为：——-

43

四、解答题

17.在AABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c,已知a=3,c=J^,8=45。.

（I）求sinC的值；

4

（2）在边BC上取一点。，使得cosNAOC=—g,求tanNZMC的值.

【答案】（1）sinC=——;（2）tanADAC——.

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【解析】

【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得力，利用正弦定理求得sinC.

（2）方法一：根据cosNADC的值，求得sinNADC的值，由（1）求得cosC的值，从

而求得sinZDAC,cosZDAC的值，进而求得tanADAC的值.

【详解】（1）［方法一］:正余弦定理综合法

由余弦定理得〃=a2+c2-2accos8=9+2-2x3x夜xJ=5，所以b=下.

2

由正弦定理得一^="一nsinC=/曳四=虫.

sinCsinBb5

［方法二］【最优解】：几何法

过点A作AE_L3C,垂足为E.在RtAABE中，由c=0,8=45?,可得

AE=BE=1,又。=3,所以EC=2.

在Rt^ACE中，AC=>JAE2+EC2=>/5'因此sinC=[=-^

（2）［方法一］:两角和的正弦公式法

由于cosZADC=-g,7），所以sinNADC=J1—cos?NADC=|.

由于乃）,所以Ce|。,.所以cosC=Vl-sin2C=~~~

所以sin/D4C=sin(不一ND4C)=sin(ZAZX7+ZC)

Q9/54垂)2石

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=-x------1-x----=------

55525

由于ND4Ce(0,5),所以cos/D4c=yjI-sin2ZDAC

25

,小4〃sinADAC2

c所ri以tanADAC=-------------=一

cosZDAC11

［方法二］【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

4

在（1）的方法二的图中，由cosNAOC=—g,可得

4

cosZADE=cos(l-ZADC)=一cosZADC=—,从而

4sinZDAE4

sinZDAE=cosZADE=—,tan/DAE-

5cosZDAE3

EC

又由(1)可得tanNE4C=——=2,所以

AE

/ls、tanZEAC-tanZEAD2

tanADAC=tan(ZE4C-ZEAD)=------------------------------二—

I+tanZEAC-tanZEAD11

［方法三］:几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=J^.

AEr-4

在RtZkADE中，AD---------------=6ED=ADCOSZADE=-

sinZADE------------------------------------3

2

所以CD=C£—=

3

在AACD中，由正弦定理可得sinZDAC=0