湘豫名校联考2024届高三年级上册一轮复习诊断12月考试数学试题

姓名____________

准考证号____________

绝密★启用前

湘豫名校联考

2023年12月高三一轮复习诊断考试（三）

数学

注意事项：

1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证

号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然

后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案

写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.集合乂={无£2|无（1-2）=8},卜乂={1,0},则MUN=

A.{1,0}B.{-2,4}C,{-2,0,1,4}D.无法确定

9

2.设复数z的共辗复数为5，若1+药=2z+3i,则:=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.已知是两条不同的直线,a4是两个不同的平面，若则WB

是a_L6的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知椭圆C=+4=1（。>6>0）的离心率为］，若经过椭圆C的上顶点和

abZ

右顶点的直线2经过点（4,一"）,则椭圆。的短轴长为

A.#B.2C.273D.4

数学试题第1页（共6页）

5.已知向量a,b满足|a|=|b|=3,且2a+b=（3,4），则cos〈a,b〉=

A.gB.yC.-yD-

6.已知菱形ABCD的边长为2,NBCD=60°,若该菱形以AB为轴旋转一周,

则所形成的几何体的体积为

A.4乃nB.6兀C77rD.87r

7.已知函数/（公为定义在R上的奇函数，当0<1&1时,/（2）=5；当x>l

时，2）=H（z—2）,则猾）=

A.-24B.-12C—1QD.-fQ

10O

:=

8.已知数列｛〃〃｝满足：“1：牝：。3=4：32,且牝=若V9pdn-qa〃-i

2（夕，qGR）恒成立，则a6+ag+aio=

9

A.-24B.-6C.D.-4

Lt

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.已知角a终边上一点P（花，点），则下列结论正确的是

A._710口（,7r^710-375'

A.sina----B.cos=-------

bI3J10

C.若tan2a+而a=0,则a=2D.2a属于第二象限角

10.双曲线C捺一方=1（4°/>°）的一条渐近线方程为广一2处半焦距为

c,则下列论述错误的是

A.双曲线C的离心率为3

B.顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为西

C.直线y=z+l与双曲线C有两个不同的交点

D.过点（c,乃6）有两条直线与双曲线。相切

数学试题第2页（共6页）

11.黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并

"甘」…、口」九=2,0，461^*,2为既约真分数，,、、

提出，其基本定义是：R（K）=qqq（汪：

.0,2=0,1或（0,1）上的无理数

分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是

AR图T

B.黎曼函数的定义域为[0,1]

C.黎曼函数的最大值为得

LJ

D.若了（1）是奇函数，且/（I—幻=/（幻，当1£[0,□时，/（G=K（i）,则

/|^yj+/（732+6）=y

12.已知三棱锥S—ABC,则下列论述正确的是

A.若点S在平面ABC内的射影点为△ABC的外心，则SA=^SB=SC

B.若点S在平面ABC内的射影点为A,则平面SBC与平面ABC所成角

的余弦值为言跑

C.若NBAC=90°,点S在平面ABC内的射影点为BC的中点H,则S,A,

B,C四点一定在以H为球心的球面上

D.若NBAC=90°,S,A,B,C四点在以BC的中点H为球心的球面上，且

S在平面ABC内的射影点的轨迹为线段BC（不包含B,C两点），则点S

在球H的球面上的轨迹为圆

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若aC（0,2）,6G（l,4）,且a+6=4,则（a+2）（6—1）的最大值为.

J2

14.已知圆G：/十丁一2a^+46»+4=0,则直线ax—2by+2=0与圆C2：:+

y=i的位置关系是.

15.若函数/（6=25由（3+内（”>0）在2=期处取得最大值，且/（幻的图象

乙

在（0,/）上有4个对称中心，则3的取值范围为.

16.若函数/（比）=sinicos2久，2G-，则函数/（比）的极小值

为.

数学试题第3页（共6页）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(本小题满分10分)

一建筑物CE垂直耸立于△ABC所在的水平面，如图，在观测点B处测得

顶点E的仰角(视线与水平线的夹角)为60°,在观测点。处测得顶点E的

仰角为30°,AD1平面ABC.

(1)若AD=100,NDBE=NBE)E,求建筑物CE的高；

(2)若AD=警,NABD=45°,求cos/ACB的值.

18.(本小题满分12分)

如图甲，在直角梯形ABCD中，CD/AB,AD，AB,2CD=2AD=AB,

△ABE是等边三角形.现将梯形ABCD沿AB折起至梯形AEC'D)使平

面ABCD'与平面ABE所成二面角为直二面角，如图乙所示.

(1)证明：AB_LC'E；

(2)求平面BC'E与平面AD'E'夹角的余弦值.

甲乙

数学试题第4页(共6页)

19.(本小题满分12分)

设数列｛九而｝的前n项和为S,,，数列｛S,J是递增的等比数列，且&+S8=

10,S3,Su=16.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

⑵求数列出的前〃项和入

20.(本小题满分12分)

已知函数/(i)=alnx~x2.

(1)若/(1)在(8,+8)上单调递减，求实数Q的取值范围；

升__七12X4X6X•・・义2口/过《2(+1)uiv

(2)右■a=2,求证：InI><3X5X…X(2附一1)<2，九*'

教学试题第5,页《共:6；页)

21.(本小题满分12分)

已知直线Zi"z相交于点一晋)，且分别与抛物线。：X2=22八力＞0)

相切于A3,g),B(亚,北)两点,AD±BD.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点F的直线Z3,4分别与抛物线C相交于点P,Q，M,

N,直线石儿的斜率分别为q，跖,，且也十岛=0,若四边形PMQN的

面积为2,求直线Z3,/4夹角的大小.

22.(本小题满分12分)

已知函数2aln2,aGR.

(1)若a=e,求/(2)的最小值;

(2)若aG(0,3e2],且关于a的方程/(a)=Aa有实数根，6的最小值为S,

证明：SG(4—21n2,5—21n2).

数学试题第6页(共6页)

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2023年12月高三一轮复习诊断考试（三）

数学参考答案

题号123456789101112

答案CAACDBDCBCDABDBCAB

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1c【命题意图】本题考查集合的并集、补集运算，解方程，考查数学运算的核心素养.

【解析】由题易得”={-2,4},又CNM={1,0},所以MUN,N={-2,0,1,4}.所以M|JN=N.故选C.

2.A【命题意图】本题考查复数的除法运算、复数相等，考查数学运算的核心素养.

【解析】设2=。+/（a,6CR）,则z~a—bi.因为l+w=2z+3i,所以1+a—6i=2a+（26+3）i.易得

u+1==2a,(a==1922(l+i)

解得所以z=l-i.所以上■=l+i.故选A.

-6=26+3,16=-1,%(l-i)(l+i)

3.A【命题意图】本题考查线面位置关系，充分、必要条件，考查逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】若a//£,a〃a,6j_£,则反之，若aj_6,a〃a,b_\_/3,则a〃0或aPl0.所以a〃0是a的充分不必

要条件.故选A.

4.C【命题意图】本题考查椭圆的方程及相关概念、直线的方程，考查了数学运算、直观想象的核心素养.

【解析】因为e=攵■，所以=26.由题意知直线I的方程为——+-7-=1,即bx+ay—=0,所以

ab

用久事23一展a=0.因为直线I经过点（4,一JT）,所以声X4+2XC—，^）—JTa=0,解得a=2.所以声义2=

24所以6=，？，所以椭圆C的短轴长为26=273.故选C.

5.D【命题意图】本题考查向量的模、数量积运算，考查数学运算的核心素养.

【解析】因为|2a+"='32+42=5,等式两边平方得4|a|2+|t|z+4|a|•防|85〈。，6〉=25,又|。|=出|=

3,所以4X9+9+4X3X3cos〈a,6〉=25,解得cos<a,fe>=-y.故选D.

6.B【命题意图】本题考查旋转几何体、圆柱的体积，考查直观想象、数学运算的核心素养.

【解析】如图，过点B作CD的垂线，交CD于点E,将直角△BCE剪去，并补到点

A处，使BC与AD重合，则组成边长分别为2,伤的矩形.旋转所得几何体为圆

柱，其底面圆的半径为高为2,所以该几何体的体积为TTX（V3）2X2=6TT.故

选B.

7.D【命题意图】本题考查函数的求值、周期性，考查数学运算、数学建模的核心

素养.

【解析】/（¥）=曲（1―2）=和（号-2）=—2）=—Xf（一'）.因为八丁）为奇函数，所以

/（_十）=_八上）=_3,所以/支）=+*（_3）=_卷.故选口.

8.C【命题意图】本题考查恒成立问题、等差数列的通项公式及性质，考查数学抽象、数学运算的核心素养.

数学参考答案第1页（共8页）

31IPa2—qaI=2,

：

【解析】因为©：即々3=4：3：2,所以〃2=丁%,a3=-r-a1.因为所以y化简

4乙pa~qa=2,

z2工pa\-彳gm=2,

9919

得力=如且力，q不为0.所以an—an-\=工，所以数列｛a〃｝是等差数列.因为恁二^一77=方一;■，所以田=

PP乙P

4114214

2a3—1—.因为。4=亏，所以-1——+3X—,解得力=—4,即公差d=—3■.所以m=1——-=2.所

p乙乙ppZ一4

以a^=a\+7c/=2+7X（一）——，所以沏+恁+a］o=3々8=3x（一）——故选C..

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.BCD【命题意图】本题考查三角函数的定义，正、余弦的和角公式，正切的倍角公式，考查数学运算的核心

素养.

【解析】由题易知厂=〃（&V+=遂■，所以sina=g=^£,A错误；因为cosa=g=4^,所以

V55A/55

cos（a+—）=cosQCOS——sinasm—=---X———--X—=--------,B正确；因为tana=—=

v3733525210

依2X啰

华，所以tan2a=----尸二=一刃石，所以一2#+同a=0,解得a=2,C正确；因为a属于第一象限角，所以

2后穴＜。＜夕+2后"，A£Z,所以44兀＜2。＜式十4日"GZ,且tan2a——2v份＜0，即2Q属于第二象限角，D正确.

故选BCD.

10.ABD【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质、直线与双曲线的位置关系，考查直观想象、数学运算的核

心素养.

【解析】由题易得《=2,所以e=Jl+（^y=A错误；根据三角形的相似性，知顶点到渐近

线的距离与焦点到渐近线的距离之比为-，&=°=卓，B错误；因为直线、=2①+1与渐近线，=2①平

cce5

行，所以直线y=2z+l与双曲线C的左支仅有1个交点，与右支没有交点.又直线，=丁+1与直线y=

2^+1都过点（0,1）,且直线＞=^+1的倾斜角比直线？=2z十1的倾斜角小，结合图形可知，直线》=Z十1

2072

与双曲线C有两个不同的交点，C正确；因为力一式=5—3=2＞1,所以点（c,①6）位于双曲线C右支的右

侧位置，显然过点（c,Jl6）的直线不可能与双曲线C相切，D错误.故选ABD.

11.BC【命题意图】本题考查新概念、数学文化、函数的性质，考查逻辑推理、数学运算、数学抽象的核心素养.

【解析】R（/）=R（卷）=:,A错误.因为“gGN*,且是既约真分数，H=看，0,1或（0,1）上的无理数，

所以黎曼函数的定义域为［0,l］，B正确.又p,qCN*,且为既约真分数，所以上的最大值为4，C正确.因

q＜72

为/（1一"u/Xx）,所以/（—1）=/（Z+1）,所以/（一1—1）=/（1+2）.因为f（%）是奇函数，所以/（一1一1）=

一/（无+1）=—/（-2）=/（①），所以/（2）=/殳+2）,即/（①）是以2为周期的周期函数"（三）=/（18一4）=

数学参考答案第2页（共8页）

/（一春）=_/（9）=一卷，/■（@+6）="4回=_6）=_/（6_4®=0,所以/'修）+

/（V/32+6）=一卷,D错误.故选BC.

12.AB【命题意图】本题考查立体几何中的线面位置关系、二面角、轨迹问题、球体，考查直观想象、逻辑推理、

数学运算的核心素养.

【解析】设△ABC的外心为点O,则0A=OB=OC,所以RtZ\SOA9RtZ\SOB9RtZSSOC,所以SA=SB=

SC,A正确；过点A作BC的垂线AT,交BC于点T,连接ST,则STJ_BC,所以/ATS是平面SBC与平面

AT4-AT.BC

ABC所成角的平面角，则cosZATS=f4=3---------=衿些，B正确；因为ZBAC=90°,H是BC的中

yST-BCSasbc

点，所以HC=HB=HA,但HS=HA不一定成立，C错误；依题知点S的轨迹是以零为半径的圆，且不包

括B,C两点，D错误.故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.Y【命题意图】本题考查基本不等式，考查数学运算的核心素养.

［解析］析+2）«―1）4.+2）”（6—1）［2=\+:+1）2=苧，当且仅当0=1_"=孑时等号成立.

J乙」'乙，4乙乙

14.相交【命题意图】本题考查圆与直线的方程、直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.

【解析】因为（丁一“）2+（，+26）2=/+462—4表示圆C,的方程，所以.2+4〃一4>0,即a2+462>4.因为

-/L==,__?=所以直线a_r—2〃y+2=0与圆C2：J:2+>2=1相交.

4^+支2

15.（3,5］【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查直观想象、数学运算的核心素养.

【解析】依题知2sm（竿+a）=2,所以等+3=受+2版小CZ,解得火=—%+£+2日#CZ,所以于⑺=

'乙/乙乙乙乙

2sin（ozr—器+9+2氏n）=2cos3（1—.因为3>0,所以当文£（0,冗）时，侬（1—）G（一塔，岬）.依

题知与〈詈〈浮解得3VS&5.

16.一当【命题意图】本题考查三角恒等变换、导函数、极值，考查数学运算、数学抽象的核心素养.

【解析】f（z）=sinx（.1—2sin2j：）=-2sin3sin无，设Z=sinx,因为zC［企，$］,所以—1,1］令

g（r）=-2z3+t,tG］—1,□，所以g'Q）=­6/+1.令g'（t）=0,则t=呼或一恪.因为在

（―1,—g）上g'G）<。，在（一上g'C）>0,在（g,l）上g'GXO,所以gC）在（一1,—g）上单

调递减，在（一恪,勺）上单调递增，在上单调递减，所以gG）的极小值为g（—g）=-2X

（—络）,—胃=器—g=一洛'即八支）的极小值为一手.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算、数学建模的核心素养.

数学参考答案第3页（共8页）

Xx273

【解析】（1）设CE=x,则BE=sinZEBC=sin60°==①'

o-AO

但索"(iO).2分

因为NDEE=NBDE,所以DE=BE.

所以哈尤=2（丁一100）,

解得z=15O+5O#,即CE=150+5(\/3.5分

rpCF

(2)由(1)设CE=z，因为AD=受，NABD=45°,所以AD=AB=费.

x

因为BC=x,AC=8分

tan/EBCtan60°32tan30o=T'r,

所以由余弦定理得

32I1212

AC2+BC2~AB2工厂+至”—工厂5

cosZACB=示7~—.....=-------------------------=-T-.10分

2ACBC

-9VV3VV36

乙0

18.【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系、平面与平面的夹角问题，考查直观想象、逻辑推理、数学

运算的核心素养.

【解析】（D取AB的中点O,连接C'O,OE.

因为C'D'〃AB,2C'D'=BA,所以C'D'=OA,

所以四边形AOC'D'是平行四边形.

所以C'O〃D'A.

因为ADf±AO,

所以C'O^AO,即C'OLAB............................................................................................

因为△ABE是等边三角形，所以OEJ_AB.

因为c/onoE=o,

所以AB_L平面C'OE.

所以ABJ_C'E...............................................................................................................................................................6分

(2)以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz,

不妨设C'D'=1,则ADr=OB=OA=1,OE=43.

所以A(-l,0,0),B(l,0,0),C，(0,0,l),D/(-l,0,l),E(0，V3,0).

所以於=(一1,0,1),或=(-1,西，0),48=(0,0,1),4方=(1,，1,0).

设平面BC'E的法向量为鼠=(Z1,?1,Z1),

(n,BC*=0,f—■无1+,=0,

则f即V广

n,BE=0,l—zi+V^\yi=0.

令©=声，则Zi=翼=1,

所以平面BC'E的一个法向量为“=（用,1,.8分

设平面AD'E的法向量为m={xz,y2,zz),

Im-AE=0,(j：+73=O,

则__4即<2>2

\m•AD=0,［七=0.

数学参考答案第4页（共8页）

令”=-1,则了2,Z?=0,

所以平面AD'E的一个法向量为m—(43,—1,0).10分

设平面BC'E与平面AD'E的夹角为九则

_\n'm\_|V3XV3+1X(-1)+V3X0|_#

cos0Q-~\p-jr~~~„.

\n\\m\77X27

故平面BC'E与平面AD'E夹角的余弦值为，...................................................12分

19.【命题意图】本题考查数列的前”项和与通项公式的关系、等比数列的定义、数列累乘求通项，考查数学运

算、数学建模的核心素养.

【解析】(D因为数列｛S,,｝是等比数列,

所以S3•S”=S6•Sg=16.

因为S6+S8=10,S6•S8=16,

所以S69S8是方程/—io①+16=0的两个实数根，

(Se—2,[Sg—8»

所以(或

IS&=8,〔$8=2.

($6=2,

因为｛S〃｝是递增的等比数列，所以

IS&=8.

设｛S“｝的公比为q,

则Q2=I1=4,

解得＜7=2,或q=-2(舍去)........................................................................3分

所以S”=2X2"i=2"-5.

因为+2ci2+3。3+…~\~na„=2°-5,

所以(21+2。2+3。3+…+(〃—1)a„-1=2"~s(〃)2),

两式相减得na„=2"-5-2"-6=2"-e,

6

所以a„=---,刀＞2.

n

当n=l时，«i=Si=2-4,

r1_

Y7,〃=1,

16

所以Q"='.........................................................................6分

O/J—6

---,刀)2.

In

1%

(2)因为上=5

234n

所以当时，7“=16+/7+舟+六+-+券，

所以9T,=8+3+弱+看+…+戏........................................................9分

两式相减得;T,,=8+言+上+志+…+/一号

乙乙乙乙乙乙

数学参考答案第5页(共8页)

=56-券.

所以T„=112-|±^.

当7?=1时，满足上式，

故T”=U2一部.12分

20.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、从函数角度来证明不等式，考查数学运算、数学抽象、直

观想象、逻辑推理的核心素养.

【解析】（1）由题易知函数/（力）的定义域为（0,+8）"'（］）=2—21=伫产

当a<0时，/'（z）CO,所以/（丁）在（8,+8）上单调递减.

当a>0时，令f（①）=0,得

因为/（了）在（8,+8）上单调递减，所以4^&8.

所以a<128.

所以实数a的取值范围为0Va&128.

综上所述，实数Q的取值范围为（一8,12816分

9—2

（2）方法一：因为a=2,所以/（^）=-

X

因为在(1,+8)上/(GVO,所以/(其)在[1,+8)上单调递减...8分

所以/(2)</(1),/(4)</(3),/(6)</(5),/(2??)</(2n-l),

即2In2-22<21n1~12,21n4-42<21n3~32,21n6-62<21n5-52,-,21n(2n)-(2»)2<21n(2«-1)-

(2n-l)2,〃CN*

21n2<2+b21n462w

所以TX+3,21n1<6+5,...,21n舟<2〃+2I,

2X4X6X・・・X2〃2〃(2"+1)

所以]<l+2+3+4H-----1-2»=«(2n+l),

LlX3X5X-X(2n-l)2

2X4X6X…X2、〃⑵+1)

所以n1X3X5X…X(2〃-l)<T~12分

方法二：当a=2时，/(1)=21nJC-X2

2-2/

所以/'(H)

x,

因为在（1,+8）上/（GVO,所以/（了）在［1,+8）上单调递减，

所以当了>1Bt,/(^X/(1)=-1,

即工>1时，21nx<Zx2—1.................8分

2Tl277

令H=产入，〃6?4*,则21n#4V2n24n—171

Ln—1Ln—1277-1

/462〃

所以2(ln2+lnq+ln号+…+ln而=1<3+7+lH-----F4n-1,

.2X4X6X-X2/?%(2/?+1)

Fn1X3X5X・・・X(27L1)<212分

21.【命题意图】本题考查抛物线的方程与性质、利用导数研究切线问题、几何的对称性，考查直观想象、逻辑推

理、数学运算的核心素养.

数学参考答案第6页（共8页）

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【解析】（1）由/=2"，得）=二，所以V=丁.

2PP

设切点的坐标为伍，整；）,则切线方程为？一茎=亭（无一①））.....................................2分

\2p）2Pp

因为点。（1,一白）在切线上，所以y=玄（1一%），

化简得2曷-4工0—/>=0,所以为♦泾=—

因为ADJ_B。，所以以•巡=一1,即方程的两根©•亚=一"，

PP

所以一加=一£.

因为户>0,所以/，=y.

所以抛物线C的方程为工？=»...................................................................4分

（2）抛物线C的焦点为尸（0,卷），设经过焦点F的直线方程为y=kx+^.

yJZJCI.,

联立14得4/一4髭r—1=0.

设P（13，）3），Q（m,»4），

（上+7=3

贝|J<]....................6分

13•XA=——.

因为际3+M=°，所以直线k，4关于y轴对称.

不妨令P,M关于）轴对称，N,Q关于V轴对称.

设M（力5，»5）,N（力6,）6），

因为々=一15，所以々1%・

所以|24—%I=｛（久4+23）2-474•13=，公+1,

I）4—»3I=1^4—与I=1^4一了3II%+131=1^1+1,

四边形PMQN的面积S=+x2g—z311yl1=1■（公+1）.

不妨设4>0