2022年高考试题：数学(新高考II卷)【含答案及解析】

2022年普通高等学校招生全国统一考试

(新高考全国n卷)数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={-1,1,2,4},3=卜卜—1区1},则AI5=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖

面图，。2，。。1，3男,44是举，。2，。。］，(百，网是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为黑=0.5,5与=配萼=修,善=左3,若如左2,%是公差为的等差数列，且直线

OL)XDC】CJDJDA1

的斜率为0.725,则&=()

iiy

4.已知。=（3,4）,》=（1,0）,。=。+仍，若<a,c〉=<A,c〉，则/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排

列方式有多少种（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

6,角名。满足sin（a+万）+cos（a+口）=2也以与a+—sin^,则（）

IJ

Atan（a+0=1B.tan（a+「）=-l

C.tan（a~/3）=lD.tan（（z-yS）=-1

7.正三棱台高为1,上下底边长分别为3仆和46，所有顶点在同一球面上，则球的表面

积是()

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

22

8.若函数的定义域为R,且f(x+y)+/(x一y)=/(x)/(y),/(l)=1,则£f(k)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.函数/(x)=sin(2x+夕)(0<8〈兀)的图象以—,0中心对称，则()

I3)

(5兀、

A.在0,—单调递减

12

IJ

(711171A,,..

〃在一二,K有个极值点

B.y=x)〔1212)2

7兀

C.直线x=L是一条对称轴

6

D.直线)=里—x是一条切线

2

10.已知。为坐标原点,过抛物线C：V=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,2两点,

点A在第一象限，点M(p,0),^\AF\=\AM\,则。

A.直线A3的斜率为2八B.IOB|=|OF\

C.|AB|>4|OF|D.ZOAM+ZOBM<180°

11.如图，四边形ABC。为正方形，EDmABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E—AC。，F-ABC,尸—ACE的体积分别为匕乂,匕，则()

%

/:\F\

:/'-—\

/Z-/_*--二凯

kB

A.匕=2匕B.匕=2匕

C.匕=耳+匕D,2匕=3四

12对任意x,y,X1+y2-xy=\,则()

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N(2,(y2),且P(2<X42.5)=0.36,则

P(X>2.5)=.

14.写出曲线y=山|x|过坐标原点的切线方程：,.

15.已知点A(—2,3),8(0,。)，若直线A8关于>的对称直线与圆

(X+3)2+('+2)2=1存在公共点，则实数。的取值范围为.

22

16.已知椭圆5+J=直线/与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴，y轴分别交于

63

M,N两点，且|M4|=|NB|,|2W|=2jL则直线/的方程为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.已知｛4｝为等差数列，｛2｝是公比为2的等比数列，且

(1)证明：q=4；

(2)求集合｛弛=4+%」4加1500｝中元素个数.

18.记V4BC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,6,c为边长

的三个正三角形的面积依次为S1,S,,§3,已知sS,+邑=Y3,sinB='.

(1)求VABC的面积；

72

(2)sinAsinC=——，求瓦

3

19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数

据频率分布直方图.

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区

总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50),求此人患该种疾病的

概率.(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001)

20.如图，P。是三棱锥P—ABC的高，PA=PB,ABLAC,E是的中点.

(1)求证：OE//平面B4C；

(2)若NABO=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—8的正弦值.

22

21.设双曲线C:5-3=1（。>0）>0）的右焦点为歹（2,0）,渐近线方程为y=±6x.

ab

（I）求C的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,2两点，点尸（石，乂）,。（无2,%）在C上，

且X]>%>0,%>0.过P且斜率为的直线与过。且斜率为6的直线交于点加，请

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在A8上；©PQ//AB.③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22.已知函数/（无）=xe——eZ

（1）当a=l时,讨论AM的单调性；

（2）当元〉0时，/（%）<-1,求〃的取值范围;

,1+,1+L+,1>ln(n+l)

（3）设〃wN*,证明:

22

Vl+1A/2+2J川+n

答案及解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合人={—1,1,2,4},3={%卜—1区1},则AI3=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合8后可求AIB.

【详解】B={x|0<x<2},故AI5={1,2},

故选：B.

2.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【详解】(2+2i)(l—2i)=2+4—4i+2i=6—2i,

故选：D.

3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖

面图，是举，。与。。1，底1，网是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为第=05能=尢,髻=&，第=&，若如片，&是公差为0.1的等差数列，且直线

OL)XDC】CzjjnAj

0A的斜率为0.725,则匕=()

1

D.0.9

【答案】D

【解析】

【分析】设=DCi=CB[=BAl=l,则可得关于内的方程，求出其解后可得正确的选

项.

【详解】设02=。。1=。吕=34=1,则0。]=尢，531=攵2，相=左3,

且即+4+典+9=o.725

依题意，有&_0.2=《,a_0.1=%2,

2

所以05+3&-0.3=0.725,故自=。§,

4

故选：D

4.已知a=（3,4）,Z>=（l,0）,c=a+仍，若<a,c〉=<Z>,c〉，则/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

r,、11i9+3/+163+Z

【详解】解：c=（3+f,4）,cosa,c=cosb,c,即^rj—=-^~,解得f=5,

故选：C

5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排

列方式有多少种。

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，

有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个

位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5

名同学共有：3X2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

6,角满足sin（a+Q）+cos（a+尸）=20COSa+—sinP,则（）

I4,

A.tan（a+尸）=1B.tan（a+尸）=-l

C.tan(a-^0)=1D.tan(a—。)=—1

【答案】D

【解析】

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解一

3

【详解】由已知得：

sinacos+cosasin/3+cosacosfi-sinasin/3=2(cosa-sina)sin/3,

即：sinacos0-cosasinj3+cosacos尸+sinasin0=0,

即：sin(a-/)+cos(a-/)=0,

所以tan(a-/)=-l,

故选：D

7.正三棱台高为1,上下底边长分别为3g和46，所有顶点在同一球面上，则球的表面

积是()

A.1007tB.12871C.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径。马，再根据球心距，圆面半

径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径彳,弓，所以24=史1—,26=1-,即

一1sin60°sin60°

彳=3,弓=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4，球的半径为R，所以4=jR2—9,

4=JR2_]6,故同_蜀=1或4+&=1，即YR。-97R2T6=1或

JR2—9+JR2—16=1，解得甯=25符合题意，所以球的表面积为5=4冰2=1007r.

故选：A.

22

8.若函数/a)的定义域为R,且/(%+y)+/(x-y)=/(%)/(y),/(l)=1,则£f(k)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

4

/(1),，(2),L,/(6)的值，即可解出.

【详解】因为F(x+y)+F(x—y)=/(九)〃y)，令无=i,y=o可得,

2/(l)=/(l)/(O),所以7(0)=2,令x=0可得，〃y)+〃-y)=2〃y),即

〃y)=〃—y)，所以函数〃x)为偶函数，令y=i得，

〃x+l)+〃xT)=/(x)〃l)=/(x),即有/1(尤+2)+/1(尤)=/(尤+1),从而可知

/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=/(x—4),即

/(x)=/(x+6),所以函数〃x)的一个周期为6.

因为〃2)=〃1)—40)=1—2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的〃l)+〃2)+L+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以£〃4)=〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=1一1—2-1=—3.

k=\

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(271、

9.函数/'(x)=sin(2x+夕)(0<0<兀)的图象以—,0中心对称，则()

(5兀、

A.y=/a)在o,——单调递减

J兀11兀、一J

B.丁二/(幻在一不，而有2个极值点

(1212J

7兀

C.直线X=7"是一条对称轴

D.直线y=—%是一条切线

2

【答案】AD

【解析】

5

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出.

、=si优+夕、471

【详解】由题意得：fy0,所以+夕=ku,keZ,

77

4兀

即0=------Fkji,kwZ,

3

2兀2兀

又。＜夕＜兀，所以左=2时,(p=一,故/(x)=sin2x+——.

3337

(5兀、2x+三(2兀3兀\

对A,当xe0,一时,—-，由正弦函数y=sin〃图象知y=/(x)在

3I32)

(5兀、

0,—上是单调递减;

兀11兀)।八2兀兀5兀、

对B,当xw——,——时，2x+——G，由正弦函数y=sin"图象知y=/(x)只

1212J322)

271

有1个极值点，由2%+——==，解得％即为函数的唯一极值点;

321212

7兀2兀7兀7兀

对C,当％=——时,2%+——=3兀，/(一)=0,直线1不是对称轴;

6366

2兀\2兀\

对D,由y=2cos2x-\---二-1得：cos2xd-------

、32

3JI37

2224兀

解得2%+——=----b2左兀或2%+——=----卜2kit,ksZ,

3333

兀

从而得：%=析或%=1+左兀,左EZ,

(也、

所以函数y=/(x)在点0,—处的切线斜率为左=y'1=2cos—=-1,

>=°3

\7

切线方程为：y———(%—0)BPj-x-

故选：AD.

10.已知0为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与C交于A,2两点,

点A在第一象限，点M(，0),若|AF|=|AM|,则()

6

A.直线AB的斜率为2八B.\OB|=|OF|

C.|AB|>4|0F|D.AOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【解析】

【分析】,再由斜率公式即可判断A选项;

表示出直线A8的方程，联立抛物线求得3（孑,_-），即可求出回判断B选项；由抛

II25DULIUUL1UUUUUUL1

物线的定义求出|Aa=7声即可判断C选项；由。403<0，求得NAOB,

ZAMB为钝角即可判断D选项.

对于A,易得R§,0）,由|A尸|=|可得点A在歹M的垂直平分线上，则A点横坐标

y.—+pO

为2"_3。,

2―彳

代入抛物线可得y2=2p-?=gp2,则4学,学），则直线A3的斜率为

&>p

#—=2灰，A正确；

3£_£

42

1P

对于B,由斜率为2八可得直线A8的方程为x=5而y+万,联立抛物线方程得

7

>2一七py一/=0,

设Be%,%),则逅则%=一血，代入抛物线得

=2p,

263

则侬=3"=^~^\0F\=^，B错误；

对于C,由抛物线定义知：|4同=¥+(+?=%>22=川。川，C正确；

*>p\3P2

Y-=__j<0,则

ZAOB为钝角,

又

umrumr

MA-MB£

4

则ZAMB为钝角,

又NAOB+NAMB+NO4M+NO3M=360°，则NOAM+N05M<180°，D正确.

故选：ACD.

11.如图，四边形ABC。为正方形，EDmABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E-AC。，F-ABC,b—ACE的体积分别为匕,乂,匕，则()

A.匕=2匕B.%=2匕

8

C.%=K+KD.2匕=3K

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由体积公式计算匕,％,连接3。交AC于点连接EM,引0,由

匕=VA-EFM+VJEFM计算出匕，依次判断选项即可・

设AB=ED=2FB=2a,因为切，平面ABC。，FBPED,则

K=gSVACO=g,2ag（2a）2，

%=g.p3.SvABc=；,。,；，（2。）一,连接5D交AC于点M,连接,易

得B"AC,

又即，平面ABC。，ACu平面ABC。，则EDLAC,又EDIBD=D,ED,BDu

平面5DER,则AC,平面3DER,

又BM=DM=LBD=G,过/作PGLDE于G,易得四边形BOGF为矩形，则

2

FG=BD=2V^Q,EG=a,

iQzy

2222

EM+FM=EF^则尸M，SNEFM=-EMFM=^-a,AC=2区,

1々

则匕=K.MM+%.L=]ACSV.M=2/,则2匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故

A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

12.对任意x,y,x2+y2-xy=1,则（）

9

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为土吆]«±±匕(a,blR),由V+V一盯=1可变形为,

I2J2

z\2

(x+y/—1=3孙W3叶上，解得_2〈x+y<2,当且仅当x=y=—l时，

k2)

x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由V+y2—孙=1可变形为,+/)_]=盯(土/二解得%2+/42,当且仅当

x=y=±l时取等号，所以C正确;

(A,YQ

因为V+V—1变形可得x_2+2/=i,设％一2=cos6,——y=sin0所以

■24'22

《sin6,y

%=cos6+=—^sin0,因此

J3V3

22

x2+.y2=cos0+—sin6+^=sin6cos6=1+-\=sin20--cos20+-

3V3V333

42(兀、「2"1AA^.、

=—+—sin20——G—,2,所以当％=—y=-----时满足等式，但是+不

33(6J13」33

成立，所以D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量X服从正态分布N(2,(y2),且P(2<XV2.5)=0.36,则

P(X>2.5)=

7

【答案】0.14##—.

50

1

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为X:N(2,CJ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案为:0.14.

14.写出曲线y=In|x|过坐标原点的切线方程：,.

【答案】①.y=-x②.y=--x

ee

【解析】

【分析】分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(％,In%),求出函数的导函数，

即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出为,即可求出切线

方程，当x<0时同理可得；

【详解】解：因为y=ln|x|,

当x>0时y=lnx,设切点为(Xo/n%)，由y'=L所以'’1=而=',所以切线方程为

x/

y-lnx0=—(x-x0),

%

又切线过坐标原点，所以-In5=—(-%),解得％=e,所以切线方程为

y-l=-(x-e),BPy=-x；

ee

当x<0时y=ln(—x),设切点为(Xi，ln(—xj),由y'=L所以>'|*/=工，所以切线

X再

方程为y—ln(—X])=，(x—%),

石

又切线过坐标原点，所以-In(-%)=，(-%),解得石=-e,所以切线方程为

石

y-1=—(x+e),即y=--x；

-ee

1

故答案为：y=-x-y=--x

ee

15.已知点A（—2,3）,6（0,a）,若直线AB关于>的对称直线与圆

（x+3）2+（y+2『=1存在公共点，则实数a的取值范围为.

'13一

【答案】

[32]

【解析】

【分析】首先求出点A关于>对称点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直

线的距离小丁等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：A（—2,3）关于>对称的点的坐标为A'（—2,2。—3）,3（0,a）在直线>=。

上，

所以A'B所在直线即为直线/,所以直线/为y=——x+a,即（a—3）x+2y-2a=0；

—2

圆C:（x+3『+（y+2『=1,圆心C（一3,—2）,半径r=1,

卜3—3）—4—26/1

依题意圆心到直线/的距离d=J­/1

J（。-3：）2+22<,

13「13一

即（5—5〃）9<（〃—3）9+22,解得§<〃<§,即awj,-；

13'

故答案为：—

132」

22

16.已知椭圆上+4=1,直线/与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴，y轴分别交于

M,N两点，且|M4|=|NB|,|2W|=2jL则直线/的方程为.

【答案】x+42y-2s/2=Q

【解析】

【分析】令A8的中点为E,设A（x，yJ,B（X2,J2）,利用点差法得到上班•以B=一3，

设直线AB：y=^+，w,k<Q,m>Q,求出M、N的坐标，再根据|“V|求出左、m,

即可得解；

【详解】解：令A3的中点为E,因为|MA|=|NB|,所以|ME|=|NE|,

1

2222

设A（XQJ,B（x2,y2）,则工+里=1,辽+二=i,

6363

所以日.立+比一应=0,即）（再+々）+（%+%）（必-％）=o

663363

（%+%）（%—%）1n,,1、八古在.i］门n

所以7--------C7--------------r=--,即左0底左钻=—一，设直线A5：y=丘+根，攵<0,m>0,

（再一元2）（再+%2）22

令％=0得丁=〃7,令＞=0得％=——,即M--,0,N（0,m）,所以E

kyk）12k2

m

即左义一--=——,解得女=—或左=1^（舍去），

m222

~2k

又|MN|=2G,Bp^MN\=Jm2+^V2mj=2A/3＞解得m=2或机=一2（舍去），

B

所以直线AB:y=———x+2,即％+后＞—20=0；

故答案为：x+岳-2正=0

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

17.已知｛4｝为等差数列，｛〃｝是公比为2的等比数列，且%一4=%—4="-2.

1

（1）证明：q=bl；

（2）求集合阳4=%“+4，1Wm<500｝中元素个数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）9.

【解析】

【分析】（1）设数列｛%,｝的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；

（2）根据题意化简可得m=2"2,即可解出.

【小问1详解】

设数列｛叫的公差为d,所以，]4%+d/—224b、==跖a1+-2（％d—+43Z?4.）'即可解得’i”

所以原命题得证.

【小问2详解】

由（1）知，b[=%=g,所以4=a,"+4=Z?]X2/T=4+（加-1）4+4,即2k~x=2m，

亦即加=2b2e[1,500],解得24人<10,所以满足等式的解左=2,3,4,L,10,故集合

我|4=。„7+。1，1〈加4500｝中的元素个数为10-2+1=9.

18.记V4BC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长

Ri

的三个正三角形的面积依次为S],S2,§3,已知S]-S?+S3=券,sin3=g.

（1）求VABC的面积；

72

（2）若sinAsinC=——，求儿

3

拒

【答案】（1）—

8

⑵I

【解析】

【分析】（1）先表示出S],S2，S3,再由S1—S2+S3=¥求得/+02一/=2,结合余弦

1

定理及平方关系求得w,再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得—^=—吧—,即可求解.

sin25sinAsinC

【小问1详解】

由题意得1=--a2--=—a2,S=—b2,S.=—c2,则

12242434

S—S2+S3

4442

2,2_72

222

BPa+c-b=2,由余弦定理得cosB=°,整理得accosB=1,则cos8>0,

lac

又sin3=',

3

则cosB=迪13V2

ac=------，则SvABC-acsinB^—

\⑴3cos3~T~28

【小问2详解】

hnc

由正弦定理得：则

sinBsinAsinC

3V2

b1acac49b3,3.„1

-------=-------•-------=-------------=————=_ijii____—h—sinD———

sin2BsinAsinCsinAsinCV24''sin_B2'22

19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数

据频率分布直方图.

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间［20,70）的概率；

（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区

1

总人口的16%,从该地区任选一人，若此人年龄位于区间［40,50),求此人患该种疾病的

概率.(样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到

0.0001)

【答案】(1)44.65岁；

(2)0.89；

(3)0.0014.

【解析】

【分析】(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设4=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)｝,根据对立事件的概率公式

P(A)=1—P(Z)即可解出；

(3)根据条件概率公式即可求出.

【小问1详解】

平均年龄了=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.012+75x0.006+85x0.002)xl0=44.65(岁).

【小问2详解】

设4=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)｝,所以

尸(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

【小问3详解】

设3=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种疾病｝,

则由条件概率公式可得

P(C|B)=*=0.000.23=00014375=0.0014

P(B)16%0.16

20.如图，P。是三棱锥P—ABC的高，PA=PB,ABVAC,E是的中点.

1

c

£

"'、'B

(1)求证：OE//平面Z4C；

(2)若NAB。=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—B的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵—

13

【解析】

【分析】(1)连接80并延长交AC于点。，连接。4、，根据三角形全等得到OA=OB,

再根据直角三角形的性质得到A。=。。，即可得到。为5。的中点从而得到0E〃尸。，即

可得证；

(2)过点A作Az〃。/5,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值,

再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【小问1详解】

证明：连接80并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为尸。是三棱锥P—ABC的高，所以尸。,平面ABC,A0,30u平面ABC,

所以POLA。、P01BO,

又PA=PB,所以上但三△POB,即。4=。3,所以NQ43=NOB4,

又A3,AC,即NA4C=90°,所以NQAB+NO4D=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以N0ZM=NO4D

所以A0=。。，即AO=DO=OB,所以。为5。的中点，又E为尸8的中点，所以

OE//PD,

又0EO平面PAC,POu平面丛C,

所以OE〃平面24c

1

【小问2详解】

解：过点A作4〃。尸，如图建立平面直角坐标系，

因为尸。=3,AP=5,所以04=，/尸2_。。2=4,

又NOBA=NOBC=30°,所以20A=8,则AD=4,AB=4右,

所以AC=12,所以O（2G,2,0）,B（4V3,0,0）,P（2V3,2,3）,C（0,12,0）,所以

E373,1,-,

2

uuur（j-3、uum

则AE=3V3,1,-,AB=（46,0,0）,AC=（0,12,0）,

27

VUUW厂3

n•AE=3y/3x+y+—z=0

设平面AEB的法向量为〃=(x,y,z),则＜2，令z=2,则

VUU理r

n-AB=4y/3x=0

丁=-3,x=0,所以〃=（0,-3,2）；

1

VUUW厂3

m•AE=3y/3a+b+—c=0

设平面AEC的法向量为加二（q,b,c）,则VUULV2令a=下）,则

mAC=12b=0

c=-6,b=0,所以机二（百,0,-6）；

,rir,n-m-12

所以cos（凡机

V13xV3913

设二面角C—A石一6为e,由图可知二面角。一A石—5为钝二面角,

所以cos6二——-,所以sin8=J1-cos?3=一

1313

故二面角C-AE-B的正弦值为一；

13

22

21.设双曲线C:j-占=1（。>01>0）的右焦点为歹（2,0）,渐近线方程为>=±百%.

ab

（1）求。的方程；

（2）过尸的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点，点P（石,乂）,。（9，%）在C上,

且项>%>0,%>0.过P且斜率为的直线与过。且斜率为6的直线交于点加，请

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在48上；@PQ//AB.③121Ml=|MB

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2

【答案】（1）X2-^=1

3

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得。力的关系，进而利用见仇c

的平方关系求得a力的值，得到双曲线的方程；

（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M（x0,y0），由

③=等价分析得到％；由直线PM和的斜率得到直线方程,

k—3

1

结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率加=7,由②PQ//A3等价转

%

化为机=3/，由①M在直线AB上等价于机=/（%—2），然后选择两个作为已知条

件一个作为结论，进行证明即可.

【小问1详解】

右焦点为口（2,0）,；.。=2,.；渐近线方程为丫=±6》，；.2=石，；./,=6。，

a

c2=a2+b2=4a2=4，a=1,b=V3•

2

；.c的方程为：x2--=l；

3

【小问2详解】

由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，

若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线A8的斜率存在且不为零；

若选①③推②，则M为线段A3的中点，假若直线A8的斜率不存在，则由双曲线的对称

性可知M在x轴上，即为焦点厂，此时由对称性可知尸、Q关于X轴对称，与从而西=々，

已知不符；

总之，直线A8的斜率存在且不为零.

设直线AB的斜率为左，直线方程为y=左（％—2）,

2

则条