河北省2023届高三学业水平选择性模拟考试数学试卷（含答案）

河北省2023届高三学业水平选择性模拟考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知集合A=8={x|xW—1或xN2},则A(43)=()

A.0B.{1}C.{0,l}D.{0,l,2}

2、已知复数z满足z2+2z+2=O,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一、二象限B.第三、四象限

C.第一、四象限D.第二、三象限

3、已知公比不为1的等比数列{a,,}满足4+2=4。,1一3%,4=1贝”5=（）

A.40B.81C.121D.156

4、已知，£（0,兀）,满足cos2，+cos9=0,则夕=（）

A.-B.-C.—D.—

4334

5、（V-x+y）'的展开式中的系数为（）

A.-10B.10C.-30D.30

6、在△ABC中,8E='EC,BF='（84+5C）点P为AE与8尸的交

22

点,=+则；1-〃=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

22

7、已知双曲线=1（。＞0力＞0）,。为原点工,8分别为该双曲线的左、右顶

点,”，鸟分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点P在双曲线的渐近线上,0户为

NAP居的平分线,且线段|OP|的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.百C.2D.2V3

8,已知直线丁="+人与曲线y=e，+2和曲线y=ln（e2”均相切，则实数人的解的个数

为（）

A.0B.lC.2D.无数

二、多项选择题

9、某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随

机调查了90名本校高一高二的学生，其中40名学生来自高一年级,50名学生来自高二年

级.经调查,高一年级被调查的这40名学生中有20人认可，有20人不认可;高二年级被调

查的这50名学生中有40人认可，有10人不认可，用样本估计总体,则下列说法正确的是

()

(参考数

n(ad-be)2

据:/n=a+b+c+d,p[2>6.635)=0.010,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)X

2

P(Z>10.828)=0.001)

A.高一高二大约有66.7%的学生认可这句话

B.高一高二大约有99%的学生认可这句话

C.依据a=0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关

D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关

10、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线/与该抛物线交于MN两点,

且的最小值为4,。为坐标原点，则()

A.〃二2

B.存在直线/,使得的面积为1

C.对于任意的直线/,都有OM.ON=-3

D.当|WN|=8时，直线/的倾斜角为色或“

66

II、如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC-AMG和一个四棱锥。-ACGA组

成,AB=BC=AC=A4)=2,则下列说法正确的是()

A.若AD14C,则AD1AC

B.若平面4G。与平面ACD的交线为/,则ACHI

c.三棱柱ABC-A4G的外接球的表面积为千

D.当该几何体有外接球时，点。到平面ACG4的最大距离为旧;6

12、已知定义域为R的函数/(x)满足/(-x-1)=-/(x+l),/(x)的部分解析式为

2x2-x+l,O<x<l,

/(%)=((7、।则下列说法正确的是()

A.函数/(幻在-上单调递减

_44_

B.若函数/(x)在(0,〃)内满足/(x)<1恒成立，则ns(0,；

C.存在实数匕使得y=fix')的图象与直线y="有7个交点

D.已知方程f(x)=m(m>0)的解为占，%,马，x&则玉+/+£+%>-;

三、填空题

13、若函数/(x)=cos(2x+/e](0>O)为奇函数，则Q的最小值为.

14、在四棱锥P-ABCD中，平面;VLD，平面ABCD,又APAD为等边三角形,E为PO的

中点,Q为平面A3CO内的动点，则直线AE与直线BQ所成角的正切值最小为

15、在某一天的幼儿园活动中,5名小朋友每人制作了一个小礼物，每人随机拿一个礼物,

则这5名小朋友都没有拿到自己制作的礼物的概率为.

16、阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成

果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是

“如果动点M与两定点A,B的距离之比为2(2>0,2^1)，那么点M的轨迹就是阿波罗

尼斯圆”.下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P为圆0:/+尸=4上的动

点,M(-4,0),N(3,l)，则|AW|+21/W|的最小值为.

四、解答题

17、已知△ABC的内角48c所对的边分别为a,"c,且acosC+(2b+c)cosA=0,角A的

平分线与边3c交于点D

⑴求角A;

⑵若AD=2,求8+4c的最小值.

18、已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“,满足a,=2后—1.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

⑵若bn=ancos，求数列也｝的前3〃+1项和a+i.

19、“绿水青山就是金山银山”的口号已经深人民心，人们对环境的保护意识日益增强,

质检检测部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理.本次

排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染

点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.

(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；

(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4,其他20个企业造成污染点的方差为

44.7,求这30个企业造成污染点的总体方差.

20、如图，在斜三棱柱ABC-43G中,,4耳AC,AB1的中点为O,BC的中点

为。.

⑴证明：。0〃平面ACGA；

⑵若ZACS=90°,AB]=BC，AC=23。=4求平面ACC,A与平面ABC所成角的大小.

22

21、已知椭圆。言+/=1(.＞匕＞0)过点A(2向)),点8与A关于原点对称，椭圆C上

的点“满足直线HA与直线HB的斜率之积为

4

⑴求椭圆。的方程.

⑵直线/:y=gX+1与椭圆C相交于MN两点,已知点P(-2,1),点。与M关于原点对称,

讨论:直线PQ的斜率与直线PN的斜率之和是否为定值?如果是，求出此定值;如果不是,

请说明理由.

22、已知函数/(方=吗』.

X

(1)求函数/(X)的极值点个数；

(2)若不等式(x+1)2/*+1)＞加-网-1在(1,+00)上恒成立，求m可取的最大整数值.

X

参考答案

1、答案：B

解析:集合A={l,2}，03={x|-l<x<2}所以A他B)={1},故选B.

2、答案：D

解析:设2=。+历，所以z2+2z+2=0=>a2—Z?2+2ab\+2a+2bi+2=0,

匕广,、।ci_h~+2a+2—0,解得r=±L

所以，或<所以z=-l±i，故选D.

2ab+2Z?=0,a——1,一[a无解,

3,答案：C

解析:a*=4a“+i-3a“=a„q2=4a“q-3a“^>q2-4q+3=0^>q=3,

所以a“=3”T,所以S5=121，故选C.

4、答案：B

解析:cos2e+cos6=0=2cos20+cos-1=0=>(2cos^-l)(cos(9+l)=0,

1:jr

所以cos6=—，或cos6=-l,因为，e(0,兀)，所以。=工故选B.

23

5,答案：C

解析:(x2_x+y)5的展开式中》5y2的系数为c；卜2)2xc；(ryxc3=-30dy2,故选c.

6、答案：B

解析:8,PF三点共线，可得AP=kAB+(1-k)AF=kAB+-(l-幻ACA,P,E三点共线，可

2

^AP=mAE=m\-AC+-AB\=-mAC+-mAB,

(33)33

k=—m,

所以3

1,、13

—(l-K)--mm=—,

234

,1I

可得AP

24

贝U九一〃='•，

故选B.

7、答案：C

解析:因为OP为乙4P名的平分线，所以NAPO=NKPO,又因为|。。|=|0国=*所以

NOF,P=NF,PO,点、P在渐近线y=-2x上,|OP|=c,所以点P的坐标为(-a,b)，所以

a

■JTTT

ZPAF,=—，所以NPAF,+3ZAPO=兀=ZAPO=-,

-26

所以APOA=3所以-2=tan=—V3=>—=#t，可得e=J1+二~=2,

3。3aVa2

故选C.

8、答案：C

解析:根据题意可知，直线丁=履+〃与曲线丁=/+2和曲线丁=皿卜2,都相切，所以对于

曲线y=e'+2,y'=e"=火,x=In%切点A(ln%,攵+2),

，元=，切点8(!，ln?+2)(火>0),

对于曲线y=In

k\kkJ

左一In—j।j

因为公切线过A乃两点，所以％=止也=k_K+lnK

=

X77~~r77~~r

A一/8InK——Ink——

kk

进而可得左lnZ-lnZ-Z-l=O,

令g(左)=AJn左一lnZ-A:-l(左>0),g'(Z)=In左一工(女>0).

k

因为g'(依单调递增，旦g'⑴=-1<0,g[e)=1-->0

e

所以存在即使得ln%-L=0,即1"0=」，

院自

所以g(口在(0人)上单调递减，在化,”)上单调递增,k°e(1,e),

故g/)min=g(%)=%In%-In%-%-1.

又因为In%。=；，8(%焉=自一/-1=_；一a〈0

kok°k0自

当女=e?时,g(&)=g(e?)=e?Ine?-Ine?-e?-1=e?-3>0,

因为％c(l,e),g(%)g(e2)<0所以在%,e2)内存在占，使得g(幻=0.

当Z=4■时,8(4)=84]=二111二-111±--V-l=-W+l>0，

e~le*-/eeeee

因为自w(l,e),g化,)g(\)<0

所以在（5名）内存在女2,使得g（&）=0・

2

综上所述，存在两条斜率分别为勺,k2的直线与曲线y=e*+2和曲线y=In（ex）都相切,

故选C.

9、答案：AC

解析:随机调查了90名学生，其中一共有60名学生认可，所以认可率大约为66.7%,故A

n(ad-be)290x(20x10—40x20)2

正确,B错误;/==9,又因为

(a+b)(c+d\a+c)(b+J)40x50x60x30

6.635<9<10.828,故C正确、D错误，故选AC.

10、答案：AC

解析:|MN|为该抛物线的焦点弦,|MN|22p=4np=2,故A正确;设直线/的倾斜角为

0，则S<wv=A^N2,故B错误;对于选项C,设Ma，yJ,N（x2，%）由于|MN|为该抛

物线的焦点弦，所以玉々=§=1,%%=~P2=-4

则OMON=XYX2+y必=一3,故C正确;由于|MN|为该抛物线的焦点弦，

所以|MN1=37=8=511。=也=。=巴或6=红，故D错误，

sin-0244

故选AC.

11、答案：BD

解析:对于选项A,若AD±AC,又因为AA±平面A8C,但是D不一定在平面ABC上，所

以A不正确;对于选项B,因为4G〃AC,所以AC〃平面4G，平面4G。平面ACO=/,

所以AC//1，所以B正确;对于选项C,取△A3C的中心O,△4gG的中心O,,00｝的中点

=4,所以外接球的表

为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径火=

面积为4兀&=（兀，所以C不正确;对于选项D,该几何体的外接球即为三棱柱

ABC-44G的外接球的中点为该外接球的球心,该球心到平面ACG4的距离为

¥，点D到平面ACC,A的最大距离为R-¥=叵声，所以D正确，

故选BD.

12、答案:BCD

解析:因为/(-X-1)=-/。+1),所以函数/(X)为奇函数，函数/(X)的图象如图所示，对于

选项A,函数在上不单调，故A错误;对于选项B,T，结合图象可知

L44j

，故B正确;对于选项C,分析可得，当2友-1<%<2时,y=/(x)的图象与直线

y=区有7个交点，故C正确;对于选项D,当方程f(x)=m(m>0)的解为4个

7,.1

时，一<相<1，不妨设X,<x<X<X，根据对称性可得/+七=一.

82342

分析图象可知，当机=1时，方程/(x)=m的解为3个,x；=--

8

,1,9，,j一

£=5，x；=§又因为％>x；，z>石所以X+%+X3+Z故D正确,

故选BCD.

解析:/(0)=cos|四+°]=0=>区+夕=巴+而,攵£2=9=殳+E，％£2,又°>0,所以。

\6J623

的最小值为四.

3

14、答案：走

3

解析:因为。为平面ABC。内的动点，所以直线8。为平面A8CD上的任意直线，根据线

面角的定义可得，平面的一条斜线与平面上任意直线所成的角中，平面的一条斜线与它在

平面上的投影所成的角为最小角，所以本题可转化为求直线AE与平面A8CO所成的角，

因为平面24。，平面ABCD,所以直线$人£$在平面ABC。上的投影为A。,分析可得，直

线AE与AO所成角为30。,所以直线AE与直线BQ所成角的正切值最小为丑.

15、答案：—

30

解析：5人分配5个礼物，基本事件总数〃=A；=120,都没有拿到自己制作的礼物所包含

的基本事件总数加=C\(C\C\C\+C\C\C\)=44,所以概率P='=上=U.

16、答案：2后

解析:假设存在这样的点Q(，,0),使得圜=2,

则|PM『=4|尸Of,设点P(x,y),

贝!」(x+4)2+y2=4[(xT)2+y2],

EPx2+y2+8%+i6=4(x2+/-2/x+r)=>3x2+3y2-(8r+8)x+4r-16=0,

该圆对照V+V=4,所以f=-I,所以点Q(_1,0),

所以|PM|+2|PN|=2|P0|+2|PN|=2(|P0||+1PN|)22|0N|=2旧.

17、答案：(1)史

3

⑵18

解:(1)由正弦定理可得

sinAcosC+(2sinB+sinC)cosA=0,

sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosA,

即sin(A+C)=sinB=-2sinBcosA

又B£(0,兀)，sinfiw0,cosA=——,

又Aw(0,7t),A=,

(2)根据角A的平分线与边BC交于点。，所以NBAD=ZCAD=g,

s+]71171127t

^D^ACD=S„A/iC^[l-x2xcxsin-+-x2xbxsin-=-xbxcxsin—f

所以2(。+。)=力c,即,+'=’.

bc2

Z?+4c=2(/?+4c)^+-J=2^5+y+-'j>2x9=18

当且仅当生=2时，即8=6,c=3时，等号成立.

hc

所以8+4c的最小值为18.

18、答案：(1)2«-1

(2)-1

解析：(1)4=2底-1=(%+1>=4s”,(a,i+=4sl两式子作差可得

a；-<i+〃一=4a“=>a；t--2(«„+an_i)=Q=>(an+q-)(。“一％-2)=。又

a

„+a.T*0,所以%—4“-I-2=0=>a“-an_x-2,

可得数列｛4｝为公差为2的等差数列，

当〃=1时，4=2y1^-1=>ax—2^1^+1=0=>-1)=0=>a,=1,

所以数列｛4｝的通项公式为a“-aA+(n-l)d-2n-\.

(2)bn-ancos=(2n-1)cos，

(■+i=4+与+/++AT+%I+A”+%,+i

£“+]=1x(—।+3x|—|+5x1++(6〃-5)x।—]+(6/-3)x।—]+(6〃-1)x

\2)I2/\2.)\2.)

、a(1)^(1+6/2-5)(nn(3+6〃-3)x(1)〃(5+6〃-1)

1Xx1

l+(6〃+l)x(2尸2l2)2"12)2

(6w+l)xf-lj=-l

所以，数列｛为｝的前3〃+l项和&+1

~~2

19、答案：(1)30

(2)188.6

解析：(1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列,30x80%=24,

所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即

空工=30.

2

(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为西，，x20其平均数记为二方差记

为1；把剩下10个数据记为力,%，，X。其平均数记为亍，方差记为S；；把总样本数据

的平均数记为[，方差记为S2.

由题意可知工=3=17,

30

一11

y=—(58+36+36+35+33+32+28+26+24+22)=—x330=33,

则噎=£(510—330)=9,由题知£=44.7,s：=92.4.

S2=\{20[s：+(x-z)2]+10[s；+G-z)2])

代入数据可得S2=\{20x[44.7+(9—17>]+10x[92.4+(33-17)2])=188.6.

所以，这30个企业造成污染点的总体方差为1886

20、答案：(1)见解析

(2)60°

解析：(1)连接AB,因为四边形AB/A为平行四边形，所以。为A乃的中点，

又。为的中点，所以OD//A.C,

又4。u平面ACG4,OD0平面ACG4,所以ODH平面ACC.A,.

⑵因为Ag_LA/,又A81_L4C,所以_L平面A/C,所以Ag，8C,

又AC_LBC,所以BC1平面AgC,可得平面ABCJ•平面AgC,

取AC的中点E,因为AB,=与C,所以与EJ_平面ABC,4七=2上，

建立如图所示空间直角坐标系,A(0,-2,0),C(0,2,0),母(0,0,2百)，8(2,2,0)

由8C=得C,(-2,0,273)，则AC=(0,4,0),CQ=(-2,-2,26)，

n,,AC—0,4y=0,,

设平面ACC/的法向量为〃।=(x,y,z),则，=><r-令X=6r,

/tj-CCj=0-2x-2y+2j3z=0,

所以马=(6,0,1),

因为gE，平面ABC,所以可取平面ABC的法向量为吗=(0,0,1),

设平面ACG4与平面ABC所成角为acosa=2.=—,

|同网|2

故平面ACCX\与平面ABC所成角为60°.

22

21、答案：⑴二+匕=1

82

(2)0

22

解析:⑴因为椭圆C:；■+与=l(a>b>0)过点A(20,0),所以a=20,

ab

22

设“Cw°)满足点+^=i，

又^HA•%=~~=>——厂-----比7=--=>一与=--=>b2=2,

42逝/+2逝4a24

22

所以椭圆C的方程为土+2~=1.

82

(2)直线/:y=[x+/,代入椭圆C：V+4y2=8,可得f+2枕+2*-4=0.

由于直线/交椭圆C于M,N两点，所以4=4产-4(2/一4)>0,整理得-2<f<2.\

设河(％,*)](工2，%)由于点Q与"关于原点对称，所以

于是有%+%=-21,x}x2-2r-4.

必一[।_y_]=(2一内)(4_1)_