数学-2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编16套之9

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（九）

一、单选题

1.（2324上•长沙•阶段练习）已知函数〃x）=依，xe1,e,g（x）=e，若/（x）,g（x）图像上分别存

在点M,N关于直线y=x对称，则实数上的取值范围为（）

「1]「2c]

A.——,eB.——,2e

LeJe

C.-心D.-|,2e

e

【答案】A

【解析】设“X）的图像上点〃的坐标为（X,y）,

y=kx

其关于直线y=X的对称点N的坐标为（y,x），点N在g（X）图像上.所以有

x-oTy

且-,e,消去y可得一履=lnx,所以一左=电匹.令=g,xe-,e,

_eJxxLe_

则〃（x）=上誓，当时，h\x）＞0,所以函数万（力单调递增，

且〃=-e,〃（e）=J,所以网力的值域为-e,1,所以实数上的取值范围为-e,1.

故选:A.

2.（2324上•长沙•阶段练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，"=45=4,侧棱

上4,底面ABCD,T是8的中点，。是△PAC内的动点，TQLBP,则。的轨迹长为（）

A.72B.73C.2&D.

【答案】B

【解析】先找到一个平面总是保持与3尸垂直，取BP,CP的中点E,F,连接AE,EF,DF.

因为ABCD是正方形，所以因为PA_L底面ABCD.所以B4_LAD.又PAAB=A,所以AD_L平面

MB.所以AD_LPB.

因为在人/归中，AP=AB,E为BP的中点，所以AE_LPB.又AEcAD=A,所以3P_L平面AE7Z）.

进一步.取BE,CF,A3的中点M,N,S,连接MS,MN,AT,ST,易证平面MN7S//平面

AEFD.

故BPJ_平面

记STAC=O,又。是△P4C内的动点，

根据平面的基本性质得：点Q的轨迹为平面MNTS与平面PAC的交线段NO,

在aNOC中，NC=6CO=2V2-cos/NCO=手，

由余弦定理得:NC>2=8+3-2X2A/IX君X亚=3.故NO=6.

3

故选:B.

3.（23・24上•湖北•期中）已知ejo，T），^La+—-—,sin2a=cos7+0.1,2sin—=siny,贝！J

I2J222

()

A.a</3<yB.(3<a<y

C.y<a</3D.[3<Y<a

【答案】D

【解析】因为a/，7Jog]

,。RB(cn\71

由O7可知.>1；

由2sin，=sin/可知sinp=sin/cosy<sin/,

所以/<7;

贝E1万1si•ny=si•n看P=s.m乃1万一aJ=cosa,

匚匚I、I.22sin2/11-cos2/八1

所以sma=\-cosa=l------=l----------=cosy+O.l,

44

得(cos7—2)2=1.4,/,

所以cosY=2-y/lA>0.8>,

JI

则/<-<a,所以

4

故选：D.

4.(2324上•湖北,期中)在四边形ABCD中，AB=BC=2,AD=3,ZA^ZCBD=90°,将ABCD沿

3D折起，使点C到达点C'的位置，且平面C'BO,平面4步.若三棱锥C'-A5£>的各顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为()

A.17TIB.23兀C.257tD.29兀

【答案】A

【解析】如图，设3D,CD的中点分别为。一02,

则OfiJ/C'B,

因为平面C'3£>_L平面ABD,CB±BD,

平面CBDc平面ABD=BD,C'Bu平面C'BD,

所以C'B_L平面ABD,故。02，平面ABD，

因为BRADu平面ABD,所以C5,8r),C'B，A£>,

故09=0出=。4

因为A。_LA5,ABcCB=B,AB,C'Bu平面ABC',

所以AD_L平面A8U,

又AC'u平面A8C,所以AC」AD,

故O2A=O2B=O2D,

所以ac=O2A=O2B=O,D,

故o2为三棱锥C-ABD的外接球球心，

OlO2=-C'B=-CB=\,O8,B£)=]AB2+3=叵，

221222

2

所以球半径R=O2B=SQ；+O\B=粤,

故球的表面积为4%店=17兀.

故选：A.

C'

5.(2324上•成都,期中)把边长为0的正方形ABCD对角线3。折起，使得平面与平面C3D所成二

面角的大小为120。，则异面直线AD与8C所成角的余弦值为()

1133

A.-B.----C.----D.—

4444

【答案】D

【解析】取中点。，连接A。，CO,以OC,分别为x,y轴，垂直面BOC的直线为z轴，建立空

间直角坐标系。一醐z,如图所示，

因为A3CD是边长为0的正方形，所以。4=QB=OC=1,

则8(0,1,0),C(l,0,0),D(0,-l,0),

又易知，OA^BD,OCYBD,所以—AOC为二面角A—a)—C的平面角，

由题知，ZAOC=120°,所以NA0Z=30。,

所以，1),BC=(l,-l,0),

3

1+1

、"eADM_+i

________2_____1=2

KM、二Lg24

\44

3

所以,异面直线皿与3c所成角的余弦值为r

故选：D.

6.(2324上•广安•阶段练习)已知函数g(x)=叱+3-工在(l,e?)上存在极值，则实数〃的取值范围为

XXXx7

A.(1,"B.[o,(JC.(0,1)D.(O,e)

【答案】B

/x1na1，/、1-lrix2a1(2-lwc}x-2a

【斛析】g(x)=——+—，；.g(x)=—\-----r+—=------i------，

XXXXXXX

函数g(x)=—+£-J在(1,e?)上存在极值，.•.g'(x)=(27n在该区间有变号零点.

即(2-lnx)x-2a=0,2a=(2-lnx)x,

，(元)=(2-lnx)x,/(x)=2-lnx-l=l-lnx/(x)单调递减，设，'(不)=0,%=e,

xe(l,e)/(%)>0/(九)单调递增;

%£(e,e?)/(%)<0/(%)单调递减；

《X)1mx=*e)=e(2-l)=e/⑴=lx(2-o)=2,r(e2)=e2(2-2)=。

f(x)e(O,e],

故选:B.

7.（2324上•烟台•期中）斐波那契数列｛%｝以如下递归的方法定义：

%=%=1,an=%+an_2｛n>3,neN*）,若斐波那契数列｛4｝对任意〃eN*,存在常数。，4,使得

。”，。。"+2，以+4成等差数列，则PF的值为()

13

A.1B.3C.-D.-

22

【答案】C

(解析]由q=%=1,%=%_]+an_2>3,"eN")

%=2,%—3,ct5=5,4=8,

若对任意〃wN*,an,pan+2,qan+4成等差数列,

则4,p%,qa5成等差数列，且生，夕4,沁成等差数列，

则有q+qa5=2pa3,a2+qa6=2pa4,

3

l1++5二q=4。p解得

所以r

q=i

由an+an+4=an+an+2+an+3=an+an+2+an+2+an+i=3an+2可知，

p=-3

当2时，对任意“eN*,有%,彳氏+2,%+4成等差数列，满足题意.

4=1-

贝1Jp-q=g,

故选：c.

8.(2324上•烟台•期中)定义在R上的函数加)的导函数为广⑺，满足〃x)+l—e2，(l+〃r))=0,

/(l)=e2-l,且当无e(0,+8)时，f\x)-f(x)>\,则不等式〃x—l)>e-1的解集为()

A.。2)B.(-1/)C.(―℃>,0)I,(2,+co)D.(YO,—1)u(l,+co)

【答案】C

【解析】由〃》)+1-62*(1+/(-尤))=。得"士1=三?±1,xeR,

令g(x)="2+1，则g(-x)=g(x),即g(x)是R上的偶函数，

求导得gU)J(x)；尖)T,因为当xw(O,+s)0寸，r(x)-/(x)>l,

BPr(x)-/(x)-l>0,则g，(x)>0,则g(x)在(0,+8)上单调递增,

g⑴=3上^=e,/(x-l)>eY-l,gp/(x-l)+l>e\

e

"(1)+1>1,即/(;?+l>e,即g(x—l)>g⑴，即g(|x-l|)>g⑴，

所以解得尤>2或无<0,则解集为(-8,0)(2,+8).

故选：C.

9.(23・24上・福建•期中)设数列｛%｝满足％=1,a2=4,an+an+2=2an+I+2,若[x)表示大于x的最小整

数，^[2)=3,[-2.1)=-2,记年=△_2,则数列也｝的前2022项之和为()

Lan)

A.4044B.4045C.4046D.4047

【答案】B

【解析】因为凡+%+2=2%+i+2,所以(4+2-%+1)-(4,+1一%)=2,又%一%=3,

所以数列｛以「•“｝是以3为首项，2为公差的等差数列,

所以4+1-4=3+2(77-1)=277+1

所以“■=(%一a..l)+(an-l~%-2)++(%-。1)+%

=(2〃-1)+(2"一3)+.+3+]="(1+jT)=/(心2),

当〃=1时也符合上式，故。，=",

则数列｛"｝的通项公式"="7"[=1+J,

则数列也｝的前2022项之和为

bt+b2+b3++b2022=[1+1)+l+gj+1+；)++

=3+2+2+.+2=3+2x2021=4045.

故答案为：4045.

10.(2324上•福州•期中)函数/(x)=asinx+cosx(a<0)的图象向右平移夕个单位长度后，所得的函数为

偶函数，则2sin2。-。-工的最小值为()

a

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】/(x)=«sinx+cosx=+lsin(x+6z),其中tana='，

函数的图象向右平移夕个单位长度后，得到函数y="7isin(x+a-0为偶函数，

贝!］当％=0时，a-（p=^+kji,kGZ,

兀

即夕=。_e_配，贝U2夕=2仪_兀_2也，kwZ,

2tan。

sin20=sin（2a—兀-2E）=-sin2a=一一

sina+cosa1+tan2a

2

二a二2〃

一丁E'

a

即2sin2（p-a-—^一一岁——"”,

aa+1a

因为。＜0,所以-学-＞0,-心整＞0,

a+1a

当;^=口,即。=_i时，等号成立,

(1+1d

所以2sin2。-。-'的最小值为4.

a

故选：B

11.（2324上•福州•期中）（3x+y）2023+%2023+4x+y=0,贝!|4x+y=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】iBf（x）=x2023+x,xeR,

因为f（t）=（一尤广3+（-%）=-（X2023+尤）=_〃尤），

所以“X）为奇函数，

又y=x2023和y=x在R上都为增函数，所以/（X）在R上为增函数.

由（3x+j）2023+x2023+4x+y=0得（3x+y）2023+3x+y=-（x2023+x）,

即/（3x+y）=-/（%）=/（-%）,

所以3尤+y=—%,即4x+y=0.

故选：A

12.（2223下•新疆•二模）己知平面向量d,b，c,满足同=2,|1£|=2括，若对于任意实数x,都有

M-无成立，且则的最大值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】设a=OA，b=OB,c=OC，xa=OM，b,c则如图所示，

gp|MB|>|AB|,所以WQ4,

因为同=2,@_,=26，所以NAOB=60。，忖=4,

由卜-441,可得点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界）,

过圆周上一点C作。3的垂线，垂足为。，且DC与A相切，

延长DC交0A于N,则6-c=忖一同8$,，#<卜||。4=4„,

此时回"OV'根据相似知识可得詈=黑="

r)Ai

所以OD=C4——+C4=cos60°OA+C4=—x2+l=2,

AN2

所以的最大值为4口4=4义2=8,

故选：D.

|e-1e

13.(23・24上・泰州•期中)已知〃=tan—,b=—,c=ln--,其中e为自然对数的底数，则q,b,。的

eere-1

大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】B

e

记/(%)=-In(l-x)-tanx=-ln(l-x)-"^X,

cosx

贝If(x)=Y~-------~2~=T~------i一~~2~，

1—xcosx1—x1—smx

令g(x)=x—sinx,贝［］^r(x)=l-cosx>0,g(x)单调递增,

所以，当％>0时，g(x)=JV—sinx>g(O)=O,BPx>sinx,

又0<x<1时，0<sinx<1,所以sinx>sin?x,故工>sin?x,

所以「一>_,12，故当0<x<g时，/^x)>0,单调递增,

1—x1—sinx2

所以/［：］>/(0)=0,Wc-a>0,即C>a.

t己/2(%)=tan贝［J//(1)=-+2x-l,

COSX

BPmix)=——\——i-2x—1,则加(x)=2si：%+2,

COSXCOSX

当0<%<三时，（x）=S1^X+2>0,根（x）单调递增，

2cosx

又加⑼=一^-1=0,所以根（尤）>皿0）=0,即”（九）>0,妆工）单调递增,

又0（0）=tan0=0,所以=tan，+4>/z（0）=0，即a>b.

keyeee

综上，b<a<c.

故选：B

14.（2324上倜口•开学考试）若函数〃x）=e*+sinx+cosx在（0,+动单调递增，则”的最小值为（）

兀

A.一兀B.c.-1D.0

【答案】B

【解析】尸(x)=e»+cosx-sinx20对任意的尤>0恒成立，即小。Zsinx-cos无，可得e心吧三军

sinx-cosx,八e,/、(cosx+sinx)-fsinx-cosx)2cos%

令g(x)=其中x>0,贝=l------------------------L

当2航<尤<、+2既(ZeN)时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增，

当5+2E<x<3+2M(%eN)时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减，

所以g(x)在xJ+2E(keN)取得极大值，g+航=W(%eN),

2v7e2

所以当％=0时，七乂丘附取得最大值，(%)=ei,

-2匕V/max

a

所以,Q>e_2，故Q2一

故选：B

22

15.(2223下•深圳•期末)己知椭圆C:=+2=l(a>6>0)的右焦点为P,过原点的直线/与C交于A,B

ab

两点，若AF_LB尸,>|AF|=3|BF|,则C的离心率为()

A.叵B.巫C.工D,1

4553

【答案】A

【解析】如图，设椭圆的左焦点为4，

由椭圆的对称性可得|A耳|=忸曰忸用=|/回，

所以四边形AFBFt为平行四边形，

又AFLBF,所以四边形AEB月为矩形，所以A4_LAP,

由|A刊=3忸4，得|AF|=3|M|,

X\AF}\+\AF\=2a,所以|A周与网号,

在Rt&亚中，由|A耳「+3刊2=］鹏.，

得《+叱=4°2,即江=公2,所以£=典，

442a4

即C的离心率为巫.

4

故选：A.

c=\一叵,则(

2

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

【答案】C

c?=1—A/2H———\/2<Q?,回c<〃.

22

在B,C中选，比较a,b大小，

令g(x)=lnx-«+

2\[x—x—\

杰2在

令f(x)=2\[x-x-l,/(可=+-1<。在(1,+00)上恒成立，

所以〃力在+s)上单调递减，所以〃力<〃1)=0,所以g'(x)<0,

所以g(x)在(1,+s)上单调递减，所以g(x)<g(l)=O,

所以x>l时,lnx<«-耳，贝U1n<25一2=，即人<°，故a>>>c.

故选：C.

17.(2223•湛江•二模)如图，将一个圆柱2〃(〃eN*)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的

几何体，〃越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增

加了10,则圆柱的侧面积为()

A.10nB.20兀C.lOraiD.18TI

【答案】A

【解析】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，

设圆柱的底面半径为「，高为贝IJ2法=10,

所以圆柱的侧面积为2兀4=10兀.

故选：A.

18.(2324上•镇江•期中)设函数y=cos2x(x»0)和函数y=sin5x(x20)的图象的公共点的横坐标从小到

若tan(%2+a)=sinx5,贝ijcos[2a+m]=()

大依次为石,%2,…,五，

3432

A.-B.-C.—D.—

5543

【答案】A

兀

【解析】y=sin5x=cos(5x--)(x>0)

1I

令cos(5x--)=cos2x,贝5x—万=2x+2kli(k£N)或5无一,+2尤=2〃兀(九GN),

9TV27r

解得了=—fai+—(%£?4)或兀=—〃兀+——(nGN),

36714

71715719TI5兀

所以x=—,一,—,—,—,..

14614146

因为两函数图象的公共点的横坐标从小到大依次为玉，％2,…,Z

TT5兀

所以犬2=不，毛

6

,5兀1

所以tan®+。)=sin%5即tan《+a=sin——=—

62

2/兀、.2/兀、1，2/兀、

/\cos(«+-)-sin(6Z+—)I-tan(cr+—)&

cos2a+'=------------------------------=-----------------=-

\3/2z兀、.7z兀、1,2z兀、5

cos(a+—)+sin{ex,+—)I+tan(6Z+—)

故选：A

19.(2324上•无锡•期中)记函数〃x)=sin(Ox+0)(。＞0,)的最小正周期为T,且

〃T)=@.将y=/(x)的图象向右平移9个单位，所得图象关于y轴对称，则。的最小值为()

2o

A.1B.2C.3D.5

【答案】D

【解析】由于7所以/(T)=sinf^—+^=sin^=—,.

co\CD)2

I.十兀兀兀

由于一7<夕<7，:,①二不，

223

f^-^=sin^x-^+|=$山[8+三一/无)为偶函数，

，三—三0)=三+kK,keZ,

362

所以刃二一1一6左，由于刃>0,所以取上=一1时，Gmin=5.

故选：D

20.(2324上•无锡•期中)设函数/(x)=x+ln%,g(x)=xlnx-1,用⑴=1_4+2+'在(0,+a)上的零点

x23

分别为a,6,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】因为〃x)=x+lnx,/'(x)=l+->0,所以/*)在(0,+8)上单调递增，

X

又因为/[)=；Tn20,“l)=10,所以存在aegj使得〃a)=0,

所以

因为g(犬)=xlnx—l,gr(x)=lnx+l=0,解得：x=1,

g[x)<0,则g(x)在(0,「上单调递减,

当时,

当xe1；,+s卜寸，g'(x)>0,则g(x)在[。,口上单调递增,

又因为g(l)=T<0,g(2)=21n2—l>0,."e(l,2),

/z\x)=—2x+-1+41>0,h(x)在(0,+8)上单调递增,

32%

入出他力⑴"，所以存在使得力(。)=0,所以b最大,

51111

———————“—“

因为881.67^56金，

5

51--

所以In—>In—===lne2

8Je2f

5

=ln-+->-0.5+->0,

888

25

:.a<c<b

故选：B.

二、多选题

21.（2324上•长沙•阶段练习）如图，等边三角形ABC的边长为4,E为边A3的中点，EDLAC于。.将

VADE沿。E翻折至△AOE的位置，连接AC.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（）

A.DE1AC

B.四棱锥A-BCDE的体积的最大值是拽

6

C.存在某个位置，使AEL8E

D.在线段4c上，存在点/满足使8M为定值

【答案】ABD

【解析】A：因为EDJ_AC,即。E^CD,DEl^D,

因为CD\D=D,8,4。<=面48,则OE2平面AC。，

因为ACu平面4。，所以正确；

B：当平面平面3CDE时，四棱锥4-8COE的体积最大.

由A易知ZADC为二面角\-DE-C的平面角,止匕时A\DC=90°.

即AD_L£>C,%D工DE,DEcDC=D,DE,OCu面BCDE,

此时，平面BCDE,即4。为四棱锥底面BCDE上的高，

I（/?1）7Q

四棱锥A-BCDE的体积的最大值为：--x4—xlx百xl=4-,正确;

7

A.

C：假设存在某个位置，使得连接CE,由正三角形性质得CE,BE,

因为AEcCE=E,面ACE,所以比_|_平面4。石，

由4Cu平面4CE,所以BELA。，由A知DE^AC,

因为DEcBEnE,DE,BEu面BCDE,所以4c_L平面j?CZ)E,

由CDu平面3CDE,所以ACLC。，则4£>>CD,与题设矛盾，假设不成立，错误；

D：由题设，点M在线段AC上，且CM=2MA，

取AC的中点N,连接N3,则NBJ.AC,NBIIDE,

22

由底面三角形ABC的边长为4,则BN=2有，\D=AD=l,MN=-\D=^,

因为DE上平面ACO,所以3N_L面AC。，MNu面AC。，所以3N_LMN,

所以sBMN为直角三角形，豆BN=2乖),MN=^,故=JBN。+MN。=为定值,正确.

故选：ABD.

22.(2324上•南昌,开学考试)已知双曲线C：d-y2=2,点/为双曲线右支上的一个动点，过点加分

别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,5两点，则下列说法正确的是()

A.双曲线的离心率为0

B.存在点M,使得四边形。4M3为正方形

C.直线A3,的斜率之积为2

D.存在点拉，使得|A例+”第=6

【答案】AB

【解析】对于A,由双曲线C：x2-y2=2,^a=42,b=y/2,:.c=y/2+2=2,

故e='=拒,A正确;

a

对于B,双曲线C：/-产=2的渐近线为1=±x,

则四边形。AMS为矩形,

又双曲线右顶点为到直线的距离均为72

(72,0),(72,0)y=+x亚=1,

故矩形0AMs为正方形,

即存在点即M为双曲线右顶点时，使得四边形。为正方形，B正确;

对于C,设M（尤不妨设/在第一象限，2在第四象限，

由于M4J_Q4,故可得M4的方程为了-%=-（x-x（））,

联立y=不可得彳=七及，则

同理MB_LO3,可得MB的方程为%=x-%,

联立，=一十，可得天=也丁，则2（">,一三为），

222

"%

故无AB=----------/—=—,而电M=&,

X。一%%+%为x0

22

故^AB'k（）M=1，C错误；

对于D,由以上分析可知|MA|=|%%|,

同理IMB|=生五=丁丁丁匕7=1I/+%],

故+=?（|七-%|+1%+%|），

根据双曲线的对称性，不妨假设“在第一象限，则无。>%,

故1MAi+|A/B|=yf2x0,令J]%=y/3,x0=,

将％=亚代入Y-y2=2,即有y2=_J,显然不可能，

即双曲线上不存在点〃，使得1MAl+|"同=6,D错误，

故选：AB

23.（2324上•湖北•期中）抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反

射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合.已知抛物线C：尸=2必5>0）的焦点为厂，过X轴上厂右

侧一点的直线交C于4,8两点，C在/,8处的切线交于点尸，直线AP,3P交y轴分别于点。，E,则

A.ZAFB=1ZAPBB.ZAPS+ZDFE=180°

AF|DF|2

C.2\PF\=\AF\+\BF\

【答案】ABD

【解析】设直线E4，q在C上的反射线分别为AM,BN,则Z1M//3N//无轴,

设G,X分别为线段24,依延长线上的点，

结合光的反射定律可知NPAF=ZGAM=a,ZPBF=ZHBN=/?,

由几何关系可知加3B=a+尸，设A8交x轴于Af,

则ZAFB=ZAFM+NMM=2e+2£,所以NAFB=2NAPB,故A正确;

设A(为，X),其中％>0,C在/处的切线的斜率为％=

\2再

故C在/处的切线方程为y=无一xj+,2/»1,

则y=jl质，gpDk^^l，故直线。产的斜率为%=

令兀=0,

2I2J

所以勺?%2-1,故AD_LZ)F,同理可知BEJ_EF,

因为四边形PD?力的内角和为360。，所以NAP3+/OFE=180。，故B正确;

设3(/,%),其中%<0,

同上可知抛物线C在B处的切线方程为y

求得尸卜斥,

所,所以|尸耳2…+G

且由抛物线的几何性质可知|AF|=^+1,忸同=%+多

所以归歼=|AF|-|BF|,2\PF\=2^\AF\-\BF\<\AF\+|BF|,

当且仅当|/用=忸同时等号成，故c错误；

设。为坐标原点，由△AFDS^DFO,则=2史L,同理忸刊=2好L,

pP

所以需=普，故D正确•

IDb||Er|

故选：ABD.

H

24.（2324上•河南•模拟预测）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-尸，且该八面体

的各棱长均相等，则（）

A.异面直线/£与3c所成的角为60。B.BDX.CE

C.平面ABP〃平面CDED.直线/£与平面区组所成的角为60。

【答案】ABC

【解析】因为所以NE4D（或其补角）即为异面直线NE与3c所成的角,

y.AD=DE=AE,所以/E4£>=60。，

即异面直线/E与2c所成的角为60。，A正确；

连接/C交5D于点O,则点。为正方形48CD的中心，连接ER

根据正棱锥的性质可知£尸必过点O,且平面4SC。，

所以OE_LfiD,又3O_LAC,OEr>AC=O,OE,ACu平面

所以RD1平面/CE,又CEu平面/CE,所以3OLCE,B正确；

由对称性可知OE=O尸，OA=OC,所以四边形AFCE为平行四边形，

所以A尸〃CE,又AFa平面CDE,。£匚平面。。£,所以AF〃平面CDE,

同理防〃平面CDE,又AF「BF=F,AF,AFu平面48F，

所以平面〃平面CDE,C正确；

由AE=AF,OE=OF,得AO_LEF,在正方形/8CD中，AOLBD,

又BDcEF=O,所以AO_L平面BEDE

所以NAEO即为直线AE与平面BDE所成的角，

设该八面体的棱长为2,则===

所以EO=JA£2_A°2=忘=4°,所以/4£。=45。，D错误.

故选：ABC.

25.(2324上・河南•阶段练习)已知函数"x)=mlnx+T^在x=l处取得极大值-1,则下列结论正确的

是()参考数据：ln2=0.7.

A.n-2

B.m=—3

C./(元)在X=2处取得极小值

~i~17

D.在区间-,4的最小值为31n2-j

【答案】BCD

【解析】对A,B,f(x)=mliu+x+-,故/⑴=生+1_0=立第口，

XXXX

由题意/(1)=1+〃=_1,r(l)=l2+m-n=0,

解得〃=—2,m=—3,故A错误，B正确；

对C,故/(x)=-31nx+x-2,r(x)-+]+W=(l)!”2),(x>0)

尤XXX

令制犬)>。可得Ovxvl或x>2,令/'(%)<。可得lvx<2,

故/⑺在(0,1)与(2,+8)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故在x=2处取得极小值，故C正确；

对D,由C,〃x)在上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增.

门、11727

又/不=_3hi3+5_4=31n2_5，/(2)--31n2+2--=-31n2+l>31n2--,故D正确.

故选：BCD

26.(2324上•烟台•期中)已知函数的定义域为R,满足/(x-2)=2/(x),且xe[0,2]时，

f(x)=x(2-x),则C)

A.尤以-2,0]时，函数/(x)的最大值为3

B.函数/⑺在区间上单调递减

C.方程/(元)=ln(x+l)有两个实根

D.若/⑺？3,则f的最大值为、7

【答案】BC

【解析】因为〃】-2)=2/(x),所以f(x)=2f(x+2),

2

当xG[-2,0]时,x+2e[0,2],则f(x)=2/(尤+2)=2(尤+2)(2-尤-2)=-2(x+2尤)=-2(尤++2,

2

当xe[T,-2]时，x+4e[0,2],贝!]/(%)=2/(%+2)=4/(x+4)=4(x+4)(2一元一4)=一4(x+3)+4,

当xe[2,4]时，尤—2e[0,2],则/(尤)=万/(x—2)=—(%—2)(2—x+2)=——(x—3)~+—,

作出图像，如图所示，

当x=—1时，/(x)max=2,故A错误；

对于B,当xel-3,-2］时，/(X)=-4(X+3)2+4,

因为二次函数对称轴为直线x=-3,所以xe［-3,-2］时，/⑴单调递减，故B正确；

对于C,方程/(幻=ln(x+1)实数根的个数O函数y=/(x)与y=ln(x+1)交点的个数,

在同一直角坐标系中做出＞=ln(x+l)图像，如图所示，

由图像可得，函数y=/(x)与y=ln(x+l)有2个交点，即方程f(x)=ln(x+l)有两个实根，故C正确;

2

对于D,当xe[T,-2]时，/(%)=-4(X+3)+4,

57

令八%)=3,解得石=—5，%=—万，

所以『。)23,f的最大值为-g,故D错误，

故选：BC.

27.(2324上•烟台•期中)已知数列｛%｝：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4.8.16,,其中第一项是2°，接下来的两项

是2°，2、再接下来的三项是2°，2、22,以此类推.记数列｛4｝的前〃项和为S",则()

A.邑o=12O

B.%o=16

C.若S,>1000,则〃的最小值为45

D.若”>200且存在meN*,使得邑=2叫+1,则一+”的最小值为440

【答案】BCD

【解析】将已知数列分组，使每组第一项均为1,

即：第1组：2。，

第2组：2°，211

第3组：2°，21，22,

第左组：2°，21，22,…，2"i，

根据等比数列前〃项和公式，得2°+T+22++2-=上老=2%-1,

1-2

求得每组的各项之和：2-1，22-1-23-1，…，2*-1，

每组含有项的项数为：L2,3,,k,

故前左组总共的项数为Nk=l+2+3+…+左=代小，

2

前左组的所有项和£=，一1+2?-1+23—1++2*-1

2（1-26）

=-^------L-k=赞+'-2-k，

1-2

选项A,当人=5时，乂=""=2=15,即前5组共15项，

522

故前20项和为前5组的和再加上第6组中的前5项，