高中数学概念总结

高中数学概念总结

一、函数

1、若集合A中有n(〃eN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为

T_,所有非空真子集的个数是子-2。

二次函数y=♦+bx+c的图象的对称轴方程是犬=-最，顶点坐

标是_二，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解

(2Q4a)

析式的设法有三种形式，即f(x)=ax2+bx+c(一般式)，

/(x)=a(x-xj-(x-x2)(零点式)和/(x)=a(x-m)2+n

(顶点式)。

m

2、基函数y,当n为正奇数，m为正偶数，m<n时，其大致图象

是

3、函数y=,2-5x+6(的大致图象是

由图象知，函数的值域是［0,+8),单调递增区间是

［2,2.5］和［3,+8),单调递减区间是(-8,2］和［2.5,3］。

二、三角函数

1、以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角

a的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为

.yxyxrr

r,则nilsincr=—,cosa=—,tga=—,ctga二一,seca=—,esca--。

rrxyxy

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sii?a+cos2a=1,

\+tg2a=sec2a,\+ctg2a=esc2a；

倒数关系是：tga-etga=1,sina・csc6r=1,cosa・seca=l；

cosa

相除关系是：=些,ct2a=-------

cosasina

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：

・力乃、Z15TF、z_.

sin(万一a)=-cosa,c/g(———a)=tga,tg(^7i-a)=-tgao

4、函数y=Asin(奴+0)+8(其中A>0,G>0)的最大值是

A+B,最小值是3—A,周期是丁=2工，频率是/=&,相位

co2乃

是GT+0,初相是0；其图象的对称轴是直线

TT

5+9=k7T+—(k&Z),凡是该图象与直线y=B的交点都是该

图象的对称中心。

5、三角函数的单调区间：

jrTC

y=sinx的递增区间是2%乃一5,2匕r+](ksZ),递减区间是

yr37r

IkTi—,2k7T+—(kGZ)；y=cosx的递增区间是

\2k7r-乃,2匕r](A£Z),递减区间是[2Z»,2攵万+〃](k£Z),y=fgx的

递增区间是(匕r-5，攵〃+1)(攵EZ),y=agx的递减区间是

(左乃,ki+乃)(％£Z)。

6^sin(a±P)=sincrcos^±coscrsin(3

cos@±/?)=cos(7cos/?4:sincrsinP

tga土区。

tg(a±f3)=

\+tga-tg(3

7^二倍角公式是：sin2a=2sina・cosa

cos2cr=cos2a-sin2a=2cos2cif-l=l-2sin2a

2tga

tg2a

1—g%

8、三倍角公式是：sin3cr=3sin«-4sin3acos3a=4cos3a—3cosc

„小而八TE,.a1-cosaa./1+cosa

9、半角公式是：sin—=±------------cos——=±------------

2V22V2

a./I-costz1-cosasina

tg—=±J----------=-----------=-----------

2Vl+cosasina1+cosa

oc

10、升嘉公式是：1+cosa=2C0S0?—1-cosa=g2si•n2—a

22

11降基公式导•sin?a-1-c°s2a2_l+cos2<z

11、P£r你'ZA工人1匕•S111(JC—cos-a-—a

22

-aaa

2tg0?2%

12^万能公式：sina=-----------cosa—_2[get—

t2aat2a

1+吆5f+吆2~2一次2

13、特殊角的三角函数值：

兀71717C31

a071

~67J~2T

V2

sina0V310-1

22V

V3J2

cosa10-10

~T~T2

不存不存

tga0县10

在在

不存旦不存

etger百100

在V在

14、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）:

Clbc

=2R

sinAsinBsinC

15、由余弦定理第一形式，h2=a2+c2-2accosB

a22-b2

由余弦定理第二形式，cosB=^---+c------

2ac

16^AABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表

示，半周长用p表示则：

①S=工a•h”=…;②S=—bcsinA=…；

22

③S=2R2sinAsin3sinC；@S=—；

4R

⑤S=1p(p-a)(p-b)(p-c)；⑥S=pr

17、三角学中的射影定理：在AABC中，Z?=a-cosC+c-cosA,-

18、在4ABC中，A<3osinA<sinB,…

19、在4ABC中：

sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BCA+B,CA+BC

sin-----=cos—cos-----=sin—tg-----=cts—

222222

tgA.+tgB+tgC=tgA-tgB-tgC

三、不等式

1、若n为正奇数，由。<人可推出a"<b"吗？(能)

若n为正偶数呢？(仅当〃、。均为非负数时才能)

2、同向不等式能相减，相除吗(不能)

能相加吗？(能)

能相乘吗？(能，但有条件)

3、两个正数的均值不等式是：竺2NJ茄

2

三个正数的均值不等式是：a+b+C>^bc

3

n个正数的均值不等式是：幺+幺+…+%>皿？…a.

n

4、两个正数a、8的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之

间的关系是

1,12V2

ab

6、双向不等式是:M一网业土耳业1+打

左边在ab<0(>0)时取得等号，右边在ab>0(<0)时取得等号。

四、数列

1、等差数列的通项公式是%=4+(“-1)4,前n项和公式是：

〃(％+%)1

Sn=----------nax+—n｛n-V)d。

2、等比数列的通项公式是%=a.q"-',

nat(<7=1)

前n项和公式是：S“=Ia«—q"),八

-5--------(<7*1)

I"q

3、当等比数列｛a“｝的公比q满足时，HmS“=S=-^—。一般地，

'1一夕

如果无穷数列｛《,｝的前n项和的极限limS“存在，就把这个极限称为这

/I—X»

个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limS”。

n^x>

4^若m、n、p、q£N,且机+力=p+q,那么：当数列｛%｝是等差数

列时，有%,+4=%+露；当数列｛%｝是等比数列时，有

a”,・4=%%。

5、等差数列｛a“｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3n=%；

6、等比数列｛4｝中，若Sn=10,S2n=30,则S3n=2Q；

五、复数

1、i"怎样计算？（先求n被4除所得的余数，/—=广）

1iFJ

2、=--+—i.0=—上—是1的两个虚立方根，并且:

2222

3312211

69]=%=10=6920）2=--=60）---=幼

0）｝~（02

电=3?CO2=（Oxq+叱=—1

2

3、z-z=|z|o

六、排列组合、二项式定理

1、加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

V）I

2、排列数公式是：片"=〃（〃一1）一・（“一〃2+1）=—=--；

（〃-m）l

排列数与组合数的关系是：P："

组合数公式是：/=.“5一1）二（仁-+'=——-——；

1x2x•••xm加!•（〃一机）!

组合数性质：c：=c;;-mC：+C：T=c;;,

is；=2"簿；=仁二；

r=0

。;+/+。二+--+禺=。::：

3、二项式定理：

(a+b)"=C°a"+C\an-'b+Clan-2b2+•••+C；a""〃+…+C»"

二项展开式的通项公式：=C；a"-7/(r=0,1,2…，n)

七、解析几何

1、沙尔公式：|人自=/一X其

2、数轴上两点间距离公式：|4目=|4—xj

3、直角坐标平面内的两点间距离公式：

山舄|=J(X|-々)2+(，-%)2

pP

4、若点P分有向线段而成定比人，贝ljA二一­—

PP?

5、若点片(看,必),P2(x2,y2),P(x,y),点P分有向线段6鸟成定比

X,则：入二忙立二口

々一工力一＞

X]+&2

X-

1+4

y+仪

1+A

若A(X|,y),B(X2,y2),C(x3,y3),则z\ABC的重心G的坐标是

%1+x2+x3必+为+为

33

6、求直线斜率的定义式为1<=火。，两点式为k=一”

/一玉

7、直线方程的几种形式：

点斜式：y-%=女(工一/)，斜截式：y=kx-\rb

两点式：上二$_=三二，截距式：二+2=1

力一y82一司ab

一般式：Ax+By+C=0

经过两条直线kA/+gy+G=0和4：&%+82>+。2=0的

交点的直线系方程是：A/+gy+G+A(A2x+B2y+C2)^0

8、直线Vy=k}x+bi,l2：y=k2x+b2,则从直线/1到直线4的角

。满足：tge=七勺-

1+K,K2

直线L与4的夹角。满足：吆。=

直线4：A,x+Bty+Cl=0,/2：&*+乡丁+。2=0,则从直线4

到直线12的角0满足：tgd=4也-

A}A2+B}B2

直线4与12的夹角0满足：tgd=—二』

A1A，2+B[B]

9、点P(%,yo)到直线/：Ax+3y+C=0的距离:

d_k.+B%+q

A/A2+B~

10>两条平行直线/］：Ar+gy+G=。，七Ax+8y+Q=°距离是

H=」G二c?[

A2+B

11、圆的标准方程是：(x-a)2+(y-0)2=产

圆的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>Q)

(nE

，圆心坐标是|---，-----

I22

思考：方程/+/+陵+4+/=0在。2+£；2-4/7=0和

D2+E2-4F<0时各表示怎样的图形？

XM

12、若A(”),B(x2,y2),则以线段AB为直径的圆的方程是

(X7j(xx2)+(yy)(yy2)=0

经过两个圆

2222

x+y+Dtx+Eiy+F,=0,x+y+D2x+E2y+F2-0

的交点的圆系方程是：

x~+y2+Dj+E]y+Ej++y~+D-,x+E,y+居)=0

经过直线/：AJC+By+C^0与圆/+｝；2+。丫+或+/?=0的

交点的圆系方程是：x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)^0

13、圆1+丁=/的以尸(%,打)为切点的切线方程是

xox+yoy=r

一般地，曲线A^+Cy?一以+或+/=0的以点尸(/，儿)为切点

的切线方程是：Axox+Cyoy-D-^^-+E-^^-+F=Q.例如，抛

y_1_1

物线y2=4x的以点p（L2）为切点的切线方程是：2y=4X±F，即:

y=x+1。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按

照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：A>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于

半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：y2=-2px,

x~-2py,x2=-2py°

16、抛物线V=2px的焦点坐标是：Ao,准线方程是：x=-g.

若点P（x0,y0）是抛物线=2Px上一点，则该点到抛物线的焦点

的距离（称为焦半径）是：匹）+"，过该抛物线的焦点且垂直于抛

2

物线对称轴的弦（称为通径）的长是：2°。

2222

17、椭圆标准方程的两种形式是：=+二=1和二+==1

ab-ab-

（«>/?>0）o

18、椭圆靛+京（a>>>0）的焦点坐标是（土c,0）准线方程是

〃2c2b2

x=±—9离心率是6=上，通径的长是工。其中*=。2-62。

caa--------------

22

19、若点尸（%,打）是椭圆0+4=1（。＞匕＞0）上一点，片、F2是

ah~

其左、右焦点，则点P的焦半径的长是户用=。+00和

|P7s|=ci—ex0o

2222

20、双曲线标准方程的两种形式是：0—2=1和5-0=1

abab~

（q＞0,h＞0）o

222

21、双曲线与一4=1的焦点坐标是（±c,0）,准线方程是x=±M,

ab"------------c

2

（、2/JX2v2

离心率是e=2,通径的长是'L,渐近线方程是。-==0。

aaa~h

其中°?=/+82。

22

22、与双曲线雪-'=1共渐近线的双曲线系方程是

ab

X2y2x2y2

=与双曲线三一彳=1共焦点的双曲线系方

abab

23＞若直线y=Zx+b与圆锥曲线交于两点A（xi，yi）,B（X2，y2），则弦

长为\A^=J（l+公）（一一叱）2；

若直线x=+/与圆锥曲线交于两点A（xi，y）B（X2,y2），则弦

长为.且=,（1+疗）（必一%）2。

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和

双曲线都有：p=L

c

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点O'在原坐标系下的坐标是（h,k）,

若点P在原坐标系下的坐标是（x,y）,在新坐标系下的坐标是

（%'»）,则x'=x-.,yr=y-ka

八、极坐标、参数方程

1、经过点外（工0，打）的直线参数方程的一般形式是：

心+1”是参数）。

2、若直线/经过点凡（与,%）,倾斜角为a,则直线参数方程的标准形

Y—Y~+tCOSCK

式是：1°。是参数）。其中点P对应的参数t的几何

y=y0+，sina

意义是:有向线段存的数量。

若点Pl、P2、P是直线/上的点，它们在上述参数方程中对应的参数

分别是小J和/，则：|片乙』1—2||；当点P分有向线段

而成定比％时，//+也;当点P是线段P|P2的中点时，

f_八+，2

I-a

2

3、圆心在点C（a,b）,半径为r的圆的参数方程是：

/=，/+rcosag是参数）。

y=b+rsina

3、若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点

P的极坐标为（夕,。），直角坐标为（x,y）,则x=pcos0,

y=psmO,p-J—+J,吆。=）。

x

4、经过极点，倾斜角为a的直线的极坐标方程是：或6=乃+2，

经过点（。,0）,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：pcss®=a,

jr

经过点（a,彳）且平行于极轴的直线的极坐标方程是：psin6>=a,

经过点So，%）且倾斜角为a的直线的极坐标方程是：

psin（/9-a）=/?（）sin©-a）。

5、圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是夕=广；

圆心在点（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程是°=2acos6；

■7T

圆心在点（小万），半径为口的圆的极坐标方程是p=2asin6；

圆心在点（「。，为），半径为厂的圆的极坐标方程是

P2+Po-2ppocos（6-%）=产。

6、若点M（p[,用）、NO2，久），则

\MN\=Jp；+0；-2p\0cos（4一%）。

九、立体几何

q，

1、求二面角的射影公式是cos。=',其中各个符号的含义是：S是二

S

面角的一个面内图形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的

射影，。是二面角的大小。

2、若直线/在平面a内的射影是直线直线m是平面a内经过/的斜

足的一条直线，/与/'所成的角为仇，/'与m所成的角为名,/与m

所成的角为。，则这三个角之间的关系是cos6=cosd-cos%。

3、体积公式：

柱体：V^S-h,圆柱体：V=兀於•h。

斜棱柱体积：V=S'•/(其中，S'是直截面面积，/是侧棱长)；

锥体：V^-S-h,圆锥体：V^-7rr2h.

33

7,

台体：V=1./7(S+VFS+S),

3

圆台体：V=：#?(R2+火〃+产)

4：

球体：V=-7tr。

3

4、侧面积：

直棱柱侧面积：S=ch,斜棱柱侧面积：S=c'-h

正棱锥侧面积：S=-ch',正棱台侧面积：S=-(c+c')h'；

22

圆柱侧面积：S=c-h-27irh