数列与概率统计结合题型汇总（原卷版）-2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题30数列与概率统计结合题型汇总

anil

题型1求数列通项公式型.............................................................1

题型2证明等比数列型...............................................................5

题型3求和型........................................................................9

题型4数列的综合问题..............................................................12

draniii

题型1求数列通项公式型

【例题1】(2023秋•山东•高三校考阶段练习)某品牌女装专卖店设计摸球

抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾

客第一次摸球抽中奖品的概率为；；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中

的概率为|,若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为［,记该顾客第n次摸球抽中奖品的概

率为4.

Q)求P2的值，并探究数列｛4｝的通项公式；

(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程.

【变式1-1］1.(2023秋•浙江•高三校联考阶段练习)杭州亚运会定于2023年9月23日

至10月8日举行.在此期间，参加亚运会的运动员可以在亚运村免费食宿.亚运村的某餐

厅从第一天起到最后一天，晚餐只推出“中式套餐"和"西式套警”.已知某运动员每天晚

餐会在该食堂提供的这两种套餐中选择.已知他第一晚选择“中式套餐"的概率为］而前

一晚选择了“中式套餐"，后一晚继续选择“中式套餐”的概率为；，前一晚选择"西式套

餐"，后一晚继续选择“西式套餐"的概率为［如此往复.

⑴求该运动员第二晚"中式套餐”套餐的概率；

(2)记该运动员第n(n=1,2,…,16)晚选择“中式套餐”的概率为4

(i)求匕；

(ii)求该运动员在这16晚中选择"中式套餐”的概率大于“西式套餐”概率的晚数.

【变式1-1]2.(2023秋•江苏常州•高三常州高级中学校考开学考试)某校为了增强学生

的安全意识,组织学生参加安全知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法

如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答

题得分的两倍，答错得1分.学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为|,且每次答题

结果互不影响.

(1)求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率;

(2)设学生甲第，次答题所得分数Xj(ieN*)的数学期望为E(XJ.

(i)求E(XD,E(X2),E(X3)；

(ii)直接写出E(Xj)与22)满足的等量关系式(不必证明)；

(iii)根据(ii)的等量关系求E(&)表达式，并求满足E(XD>10的i的最小值.

【变式1-1]3.(2023・全国•高三专题练习)2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我

国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.若某种型号的枪支弹巢

中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有小(小>1)发为实弹，其余均为空包弹，现规定：

每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机,

在进行n(neN)次射击后,记弹巢中空包弹的发数为Xn,

Q)当keN”时，请直接写出数学期望E(XQ与E(Xn-D的关系；

(2)求出E(Xn)关于ri的表达式.

【变式1-U4(2023秋•安徽合肥•高三合肥一中校联考开学考试)为庆祝中国共产党成立

102周年，学校某班组织开展了“学党史，忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分

成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有

一道是送分题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答

题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同

学每次答题之间相互独立.求：

(1)若第一次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；

(2)若第一次由甲组答题，记第n次由甲组答题的概率为匕,求匕.

【变式1-1]5.(2023秋湖南湘潭•高三湘钢一中校考开学考试)新宁良山景区是世界自然

遗产、国家5A级景区，其中"八角寨"景区和"天下第一巷"景区是新宁良山景区的两张

名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨"景区且尚未游览"天下第一巷"景区

的游客进行随机调查，若不游览"天下第一巷"景区记2分，若继续游览"天下第一巷"

景区记4分，假设每位游客选择游览"天下第一巷"景区的概率均为]游客之间选择意愿

相互独立.

(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量X,求X的数学期望；

(2)(i)记GN*)表示"从游客中随机抽取k人，总分恰为2k分”的概率，求出｝的前4

项和；

(ii)在对游客进行随机问卷调查中，记即仇eN*)表示"已调查过的累计得分恰为2n分"

的概率，探求即与即-式兀＞2)的关系，并求数列｛即｝的通项公式.

【变式1-1]6.(2023•全国•高三专题练习)如图，作一个白色的正三角形，第一次操作为：

挖去正三角形的"中心三角形"(即以原三角形各边中点为顶点的三角形)，这样就得到了

三个更小的白色三角形；第二次操作为：挖去第一次操作后得到的所有白色三角形的"中心

三角形"；以此类推，第n+l(neN*)次操作为：挖去第九次操作后得到的所有白色三角形

的“中心三角形"，得到一系列更小的白色三角形.这些白色三角形构成的图案在"分形几

何学"中被称为"谢宾斯基三角形"，记第n次操作后，"谢宾斯基三角形"所包含的白色

小三角形的数目为a”，"谢宾斯基三角形"的面积（所有白色小三角形的面积和）为右,

周长（所有白色小三角形的周长和）为的.

第1次操作后

第2次操作后第3次操作后

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）若最初的白色正三角形的周长为1,求数列｛品｝和｛S"的通项公式.

【变式1-117.（2023•全国•高三专题练习）某地区2020年底有居民住房面积为a，现在

居民住房划分为三类，其中危旧住房占？，新型住房占：,为加快住房建设，计划用10年的

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时间全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同），自2021年起居民住房只建设新型住房.从

2021年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%,用即表示第n年底（2021

年为第一年）该地区的居民住房总面积.

（1）分别写出内,的计算公式并归纳出即的计算公式（不必证明）.

（2）危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积翻两番？（精确到

年，lg2k0.30,lg3«0.48,lg43®1.63)

【变式1-1]8.（2023秋•上海宝山•高三上海交大附中校考阶段练习）某工厂在2020年的

"减员增效"中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,

从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的|领取工资.该厂根据分流人员的技术

特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b

元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%,如果某人分流前工资

收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为加元.

⑴求5｝的通项公式.

(2)当b=居时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？

(3)当b>蓑时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？

题型2证明等比数列型

【例题2](2023秋•广东佛山•高三校考阶段练习)某商场为促销设计了一项回馈客户的抽

奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一

个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，

每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾

客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn(l<n<6)的数学期望为E(Xn).

(1)求E(XJ及X2的分布列.

(2)写出E(Xn)与E(Xn_i)(n>2)的递推关系式，并证明｛E(X”)+50｝为等比数列；

(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.(考数据：1.26x

2.986)

【变式2-1]1.(2024秋•广东广州•高三统考阶段练习)某商场拟在周末进行促销活动，

为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送礼券”的活动,游戏规则如下：该游戏进行10轮，

若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直

至10轮结束.已知该游戏第一次获胜的概率是!若上一次获胜则下一次获胜的概率也是J

若上一次失败则下一次成功的概率是：.记消费者甲第n次获胜的概率为氏，数列伪"的前八项

和JXiPn=Tn,且7；的实际意义为前几次游戏中平均获胜的次数.

(1)求消费者甲第2次获胜的概率P2；

（2）证明：｛pn-3为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖.

【变式2-1]2.（2023秋•辽宁•高三校联考开学考试）踢耀子在我国流传很广，有着悠久

的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢腿子.犍子

在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为：；当乙接到髭子时，乙传给甲、

丙、丁的概率分别为:，）；当丙接到毯子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为9J；

当丁接到键子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为:，;，去假设键子一直没有掉地上，经过n

次传腿子后，稿子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为册,bnicn,dn,已知的=0.

Q）记丁在前2次传催子中，接到腿子的次数为X,求X的分布列；

⑵证明鼠-；｝为等比数列，并判断经过150次传毯子后甲接到腿子的概率与沏大小.

【变式2-1】3.（2023•全国•高三专题练习）某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提

供人B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：

第一次购买产品的人购买4的概率为|、购买B的概率为]而前一次购买4产品的人下一次来

购买4产品的概率为:、购买B产品的概率为:，前一次购买B产品的人下一次来购买力产品的

概率为会购买B产品的概率也是[,如此往复.记某人第n次来购买4产品的概率为4.

Q）求P2,并证明数列｛4-|｝是等比数列；

（2）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多

次该两款产品，那么公司每天应至少准备人B产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.

【变式2-1]4.（2023•全国•高三专题练习）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药,

希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效

进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得

出后，再安排下一轮试验,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就

停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试3佥，若施

以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得n分；若施以乙药的白鼠

治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得n分；若都治愈或都未治愈则两种药均

得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和B，一轮试验中甲药的得分记为X.

Q)求n的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，=0,1，…,8)表示"甲药的累计得分为i时,

最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则Po=0,P8=1,Pi=api-1+bpi+cpi+i(i=

1,2,•••,7),其中a-P(X——1),b—P(X=0),c=P(X-1).假设a=0.5,/?=0.8.

(i)证明：{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列；

(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

【变式2-1]5.(2023秋•江苏南京•高三南京市第九中学校考阶段练习)足球是一项大众喜

爱的运动.

喜爱足球运动不喜爱足球运动合计

男性6040100

女性2080100

合计80120200

(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得

到下侧2x2列联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱足球运动与性别有关.

P(72>Xo)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

附"飞盛缁黑)…,n=a+b+c+d.

(2)校足球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时,

传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任^可一人，如此不停地传下去，且假定每次传球

都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第几次触球者是甲的概率记为匕，即匕=1.

①求。3（直接写出结果即可）；

②证明：数列｛4-目为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小.

【变式2-1]6.（2023秋•湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）甲、乙两人进

行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，

双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可

知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.

（1）第一局比赛后,甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望；

（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；

（3）若=0,1,…,6）表示"在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率"，则P。=0,P6=1.

证明：｛R+i-4｝。=0,12…,5）为等比数列.

【变式2-1】7.（2023•全国•高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10%,20%

的某种溶液500ml,同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅

匀，这称为一次调和.记的=10%,为=20%,经5-1）次调和后，甲、乙两个容器的溶

液浓度分别为时,bn.

（1）试用。我-1,bn-1表,bn.

⑵证明：数歹！1｛册一%｝是等比数歹II,并求出册,垢的通项.

【变式2-1】8.（2023•全国•高三专题练习）一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、

第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第九站的概率为匕,一枚棋子开始在第

0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次.若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶

数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰

子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1、2、3、4、

5、6).

(1)求P。、B、P2,并根据棋子跳到第n站的情况，试用4-2和匕-1表示匕；

(2)求证：｛4-Pn_J(n=1,2,…,99)为等比数列；

(3)求玩该游戏获胜的概率.

【变式2-1]9.(2023•全国•高三专题练习)数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性

代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界.目前某区域市场中

5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持据市场调研预测,5G商用初期，

该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比劭=55%及无=45%，假

设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B

公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公

司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占

比分别为即及%，不考虑其它因素的影响.

Q)用%表示%+i，并求实数4，使｛%-乃是等比数列；

(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%

以上？若能，至少需要经过几次技术更新;若不能，说明理由?(参考数据坨2«0.301,lg3x

0.477)

题型3求和型

【例题3](2023•全国•高三专题练习)银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利

息一次，结算后将利息并入本金这种计算利息的方法叫做复利现在某企业进行技术改造，

有两种方案：

甲方案:一次性贷款10万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；

乙方案：每年货款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元.

两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息10%的复利计

算，试问该企业采用哪种方案获得利润更多？（参考数据：1.110=2.594,1.310=13.796,

计算结果精确到千元.）

【变式3-1]1.（2023秋•吉林长春•高三校考阶段练习）习近平说：“绿水青山就是金山银

山”.某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，20

18年投入1000万元，以后每年投入将比上一年减少]本年度当地旅游业收入估计为50

0万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加:

⑴设n年内（2018年为第一年）总投入为&万元，旅游业总收入为7；万元，写出右,7；的

表达式；

（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入？

（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg5=0.6990）

【变式3-1]2.（2023・全国•高三专题练习）小明参加一项答题活动，需进行两轮答题，每

轮均有n（n6N*）道题.第一轮每道题都要作答；第二轮按次序作答，每答对一题继续答下

一题，一旦答错或题目答完则结束答题.第一轮每道题答对得5分，否则得0分；第二轮

每道题答对得20分，否则得0分.无论之前答题情况如何，小明第一轮每题答对的概率均

为]第二轮每题答对的概率均为|,设小明第一轮答题的总得分为X,第二轮答题的总得分

为Y.

Q）若n=30,求E（X）；

（2）证明：当n>24时,E（X）>E（Y）.

【变式3-1]3.（2023秋•江西•高三校联考阶段练习）甲同学现参加一项答题活动，其每

轮答题答对的概率均为]且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分,

记第i轮答题后甲同学的总得分为Xi,其中i=1,2,…,71.

⑴求E区9)；

(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为]并选择另一种答题方式答题：

从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终

止答题，记乙同学的总得分为K证明：当i>24时，E(XJ>E(Y).

【变式3-1]4.(2023•全国•高三专题练习)某闯关游戏由两道关卡组成，现有n名选手依

次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为3,两道关卡能否过关相互独立，每

位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：

①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.

②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第i(i=123,…,n-1)位选手在10

分钟内未闯过第一关，则认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战.

③若第2=123,…m-1)位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该

选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第i轮闯关失败，由第i+1位选手继续挑战.

④闯关进行到第n轮，则不管第2立选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变

量X"表示几名挑战者在第Xn(Xn=1,2,3,…,n)轮结束闯关.

Q)求随机变量X4的分布列；

(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过

第一关,以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量。表示n名挑战

者在第匕(匕=123,…，死)轮结束闯关.

(i)求随机变量%。e/V*,n>2)的分布列

(ii)证明E(力)<E(V3)<E(匕)<E(Y5)<•••<E(Yn)<•••<3.

【变式3-1】5.(2023秋•湖南长沙•高三长沙市南雅中学校考开学考试)航天事业是国家综

合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展.某市为了激发学生对航天科技

的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000

名学生作为样本，研究其竞赛成绩.经统计分析该市高中生竞赛成绩X近似地服从正态分布

NR,/),其中4近似为样本平均数元，/近似为样本方差s2,并已求得元=73和s2=37.5.

Q)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数；

(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，

如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取

的总次数不超过n.如果抽取次数的期望值不超过6,求n的最大值.

(附：V3Z5a6.1,0.975s«0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817,

若X〜NO，/),则一<r<X<〃+b)=0.68,P(〃-2。<X<〃+2o)=0.95)

题型4数列的综合问题

【例题4】(2023秋•江苏南通•高三江苏省如皋中学校考阶段练习)现代排球赛为5局3胜

制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分

时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，

赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙

两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为|；当

乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为今

Q)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的

概率；

(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有

发球权的概率为4.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并

判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

【变式4-1]1.(2023•全国•高三专题练习)学校的"智慧"书屋每学年初向高一新生招募

30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人.现有两个

方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，

用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机

抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者.

(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件力和事件B,求事件4和事件B发生的

概率；

(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为X,求X的数学期望；

(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人.若采用方案二，记两次都

被抽取到的人数为y,则丫的可取值是哪些？其中丫取到哪一个值的可能性最大？

【变式4-1】2.(2023秋•安徽•高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)教育储

蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，

是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄,储蓄存款享受免征利息税的政策.

若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日

当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年

利率为10%.

⑴在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？(参考数据：1.17〜1.95)

(2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提

供了三种付酬方案：

第一种，每天支付38元；

第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；

第三种，第1天付04元，以后每一天比前一天翻一番(即增加1倍).

你会选择哪种方式领取报酬？

【变式4-1］3.（2023秋•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）新高考数学试卷中有多

项选择题，每道多项选择题有A,B,C,D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正

确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测

试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题

专项训练中，共有eN*）道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为:，

并且规定若第迫=12…,k-1）题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为［；

若第=1,2,…北-1）题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为

（1）求第n题正确选项为两个的概率；

（2）请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项,更能获得较高分.

【变式4-1J4.（2023秋•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考开学考试）甲、乙两人轮流投篮,

约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球n次时投篮结束，其中n为给定

正整数.设甲每次投中的概率为］乙每次投中的概率为［且各次投篮互不影响.

（1）当n=3时，求甲获胜的概率；

（2）设投篮结束时甲恰好投篮f次，求f的数学期望E（f）.（答案用含n的最简式子表示）.

【变式4-1］5.（2023•全国•高三专题练习）某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，

准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）.为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游

局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），

并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其

旅游消费支出服从正态分布N（〃,M）.现依次抽取几个游客，假设每个游客的旅游消费支出

相互独立，记事件力表示“连续3人的旅游消费支出超出.若匕表示J的概率，Pn=

aPn_i+\Pn-2+bP/nN3,a,b为常数），且=p1=p?=1.

(1)求P3,4及a,b；

(2)判断并证明数列｛2｝从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义.

【变式4-1】6.(2023秋•辽宁•高三东北育才学校校联考开学考试)某单位有12000名职工，

通过抽验筛查一种疾病的患者.假设患疾病的人在当地人群中的比例为p(0<p<1).专家建

议随机地按k(k>1且为12000的正因数)人一组分组，然后将各组k个人的血样混合再化

验.如果混管血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有

一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.设该种方法需要化验的总次数为X.

(1)当E(X)>12000时,求p的取值范围并解释其实际意义；

(2)现对混管血样逐一化验,至化验出阳性样本时停止,最多化验R次.记W为混管的化验次

数，当R足够大时，证明：E")<—；

(3)根据经验预测本次检测时个人患病的概率Po,当k=6时，按照Po计算得混管数量y的期

望E(y)=400；某次检验中％=440,试判断个人患病的概率为Po是否合理.(如果

2P(yN%)<0.05,则说明假设不合理).

附：若X〜N(〃,CT2),则P(|X-屈<b)B0.6827,P(|X-〃|<2(r)20.9545,P(|X-<

3。)«0.9973.

1.(2023•浙江•模拟预测)立德中学有甲、乙两家餐厅，如果赵同学上一天去甲餐厅用午餐，

那么下一天去甲餐厅的概率为0.6,如果上一天去乙餐厅用午餐，那么下一天去甲餐厅的概

率为0.8,已知赵同学第一天去甲餐厅用午餐的概率为0.5.

(1)求赵同学第二天去乙餐厅用午餐的概率；

(2)设赵同学第n(neN')去甲餐厅用午餐的概率为匕,判断P3与的大小，并求

2.(2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测)某学校三年级开学之初增加早自习，

早饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个

餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二

天选择餐厅甲就餐的概率置，择餐厅乙就餐的概率为:，前一天选择餐厅乙就餐第二天蝌

餐厅乙就餐的概率是9,选择餐厅甲就餐的概率也为［如此往复.假设学生第一天选择餐厅

甲就餐的概率是］选择餐厅乙就餐的概率是(，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为以

⑴记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求X的分布列，并求E(X)；

(2)请写出匕(neN*)的通项公式；

3.(2023•山东烟台统考三模)现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质

地完全相同的2个黑球和1个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放袋

子中，重复进行n(neN*)次此操作.记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为乂„.

Q)求X】的分布列和数学期望；

(2)求第71次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率匕.

4.(2023•安徽亳州•蒙城第一中学校联考模拟预测)甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，

第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设

第n(n6N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为M，在丙手中的方法数为始.

⑴求证：数列｛册+1+心｝为等比数列，并求出｛即｝的通项；

(2)求证：当n为偶数时,an>bn.

5.（2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）长江十年禁渔计划全面施行，渔民老

张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了

两种为期60天（视作2个月）的稳健型（不会亏损）理财方案.

方案一：年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金；

方案二：年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金；

已知老张对每期的投资本金固定（都为10万元），且第一次投资时选择了方案一，在每期

结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.

⑴设第i次投资（i=1,2,3,-n）选择方案一的概率为R,求P4；

（2）求一年后老张可获得总利润的期望（精确到1元）.

注：若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资，则该次投资获利3=2.4%x裔x1000=

10元.

6.（2023・湖南永州•统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品4氏C,其

中4B、C能通过行业标准检测的概率分别为：卷,卷，且4B、C是否通过行业标准检测相

互独立.

Q）设新品4B、C通过行业标准检测的品种数为X,求X的分布列；

（2）已知新品4中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025,现从足量的新品A中任

意抽取T牛进行检测若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，

但抽取的总次数不超过n•如果抽取次数的期望值不超过5,求n的最大值.

参考数据：0.9754«0.904,0.975s«0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817

7.（2023・安徽•合肥一中校联考模拟预测）2023年4月23日，是中国海军成立74周年

74年向海图强，74年劈波斩浪.74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发

展，从"101南昌舰"到"108咸阳舰"，8艘055型驱逐舰列阵我国自主研制的075型

两栖攻击舰"31海南舰”"32广西舰”"33安徽舰”也相继正式入列.从小艇到大舰，

从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平.为了庆祝

中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模鳖分别为"31海南舰"、"32

广西舰""33安徽舰”)，并限量发行若该公司每个月发行300件(三款各100件)，一共

持续12个月，采用摇号的方式进行销售.假设每个月都有3000人参与摇号,摇上号的将

等可能获得三款中的一款.小周是个"战舰狂热粉"，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣

喜若狂.

Q)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；

(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号.已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月

的限量发行中成功摇到并获得了模型.设他第X个月(X=1,2,…,12)摇到并获得了模型，求

X的数学期望.

8.(2023•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测)某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有

A,B,&D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗,

号码机有4B,C,0四个号码,每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的

三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的4种疫苗后，再为居民们接

种，记第n位居民(不包含张医生)接种4B,C,D四种疫苗的概率分别为

&⑷同⑻,4(C),4(D).

⑴第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

⑵张医生认为，一段时间后接种4B,C,D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第

10位居民接种A,四种的概率，解释张医生观点的合理性.

参考数据：(J"a5.1x10-5,(1)10«1.7x10-5,(09«2.0x10-3,@)1°»9.8x10-4.

9.(2023•安徽合肥•合肥市第六中学校考模拟预测)在上海举办的第五届中国国际进口博

览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品".体

积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%,重量仅约2克，拥有强大的电

池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能.在起搏器研发后期,

某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智

能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算

机随机等可能生成数字"0"和"1",连续生成4次，把4次的数字相力口，若和小于3,

则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.

(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；

(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设P.5eN*)

表示事件"第天该企业产品检测选择的是智能检测"的概率,若亘成立，认为该企

npn>/

业具有一定的智能化管理水平将给予该企业一定的奖励资金否则将没有该项奖励资金请

问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由.

10.(2023•浙江•模拟预测)全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了

研究杭州市民健身的情况,某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下

数据：

每周健身次数1次2次3次4次5次6次及6次以上

男4653428

女7587617

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

a0.100.050.010.0050.001

ka2.7063.8416.6357.87910.828

（1）如果认为每周健身4次及以上的用户为"喜欢健身"；请完成