2022-2023学年山东省日照市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省日照市高一(下)期中数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若sin(]—a)=-[,则COS(TT—a)的值为()

A.-|B.C.|D.|

2.已知展角的终边过点(sin3,-sin、)，则sbia的值为()

OO

A.B.|C.一殍D.号

3.函数/'(x)=xcosx的部分图象大致为()

4.如图，在△(MB中，P为线段上的一点，且瓦？=4两.B

2

C.x=

ry3

3

D.x.y=z

5.将函数/(x)的图像上所有的点向左平移吊个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原

来的2倍(纵坐标不变)，得到函数丫=sin6+招)的图像，则/(x)=()

A.sin(2x-B.sin(x+.)C.sin(2x+D.sin(x-^)

6.已知函数f(%)=sin%+cos%+|sinx-cosx|,下列结论正确的是()

A.函数图像关于x=:对称

B.函数在[-9名上单调递增

C.若|/(/)|+|/(x2)|=4,则与+&=3+2kMlcGZ)

D.函数/(x)的最小值为-2

7_.如图等腰直角三角形04B,OB=1,以4B为直径作一半圆，点P为&、

B.V2og

c.C

D.^±1

2

8.已知函数/(X)=\p3sin2x+QCOS2X的图像关于直线》=号对称，若f(%i)"(%2)=-12,

则初与一无21的最小值为()

A.7B.nC.vD.37r

4Z

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列函数中，既为偶函数又在(-90)上单调递减的是()

A.y=sin|x|B.y=|sinx|C.y=cos(x—D.y=tanx-cosx

10.函数”乃=以讥(5：+9)(4>0,3>0,|0|<今的部分图像如j

图所示，若函数g(x)的图像由/(x)图像向左平移3个单位得到，则关/\

于函数g(x)的描述正确的是()\°U―2k]

n\j_，，2

A.g(x)=2sin(2x--)。I

B.g(x)=2sin(2x+

C.函数g(x)的图像关于“冷对称

D.函数g(x)的图像关于(一段,0)中心对称

11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边

形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图,已知正八边形ABCDEFGH的边长

A.后与方能构成一组基底

B.OA+OC=y/~10B

C.南在荏向量上的投影向量的模为好

D.PA■丽的最大值为3+2>J~2

12.由倍角公式cos2x=2cos2%-1可知，cos2x可以表示为cosx的二次多项式.一■般地，存

n

在一个n(nGN*)次多项式4(t)=ant+册_1严-1H----1-a0(a0,ax,...,an&R),使得cosnx=

Pn(cosx),这些多项式2(t)称为切比雪夫(P.LTsc/iebyscheff)多项式,运用探究切比雪夫多

项式的方法可得()

342

A.P3(t)=-4t+3tB.P4(t)=8t-8t+1

C.sin54°=b+1D.cos54°=^-3+1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若sin/一4)=：,贝iJcos(x+^)=.

14.已知向量乙=(2,3),b=(-3,1).且k,-3与万一2G垂直，则々=.

15.函数/(x)=3cos(23x+今3>0)在［冶片］上是减函数，且在［0,2用上恰好取得一次

最小值-3,则3的取值范围是.

16.已知非零向量五，E，对任意实数t£R，|五+高|出五一小恒成立，则年的取值范围是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量方={sina,cosa—3sina~),b=(1,4).

(1)若五〃3，求tana的值；

(2)若|五+1|=|五一司,求cos2a的值.

18.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2sinx-sin(--%)+y/~^sinx-cosx+cos2x.

(1)求函数〃x)的最小正周期，最大值及取最大值时相应的X值；

(2)如果。<x<p求/(x)的取值范围.

19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=sin(3X+s)(3>0,附》的图像关于(一20)中心对称，且图像上相邻两个

对称轴的距离为奈

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设/，%2e(一睛)，且X］丰x2,若/Q1)=/(%2)>求/'Q1+尤2)的值.

20.(本小题12.0分)

设P1P2…22024是半径为1的圆0内接正2024边形，”是圆。上的动点.

(1)求I耳弓+窃+石耳+…+P2023P202；一耳瓦|的取值范围;

(2)试探究|丽『+|丽『+...+|喇嬴|2是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是

定值，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

如图，角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点4(久1，yj,将射线04绕点。按

逆时针方向旋转号后与单位圆相交于点3。2，丫2)，设/(a)=+y2.

(1)求//)的值；

(2)若函数g(x)=f(2x-金，求g(x)的单调递增区间；

⑶在(2)的条件下，函数h(x)=g(x)+(A-l)/(x-力的最小值为一2，至求实数4的值.

►

x

22.(本小题12.0分)

某小区地下车库出入n通道转弯处是直角拐弯双车道，平面设计如图所示，每条车道宽为3米

.现有一辆汽车，车体的水平截面图近似为矩形ABC。，它的宽4。为2米，车体里侧CD所在直

线与双车道的分界线相交于E、F,记NAME=0.

(1)若汽车在转弯的某一刻,48都在双车道的分界线上，直线CD恰好过路口边界0,且。=也

求此汽车的车长AB；

(2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线，求汽车车长4B的最

大值；

(3)某研究性学习小组记录了里侧车道的平均道路通行密度(辆〃加)，统计如下：

时间7：007：157：307：458：00

里侧车道通行密度11013011090110

现给出两种函数模型：

①/"(X)=Asina>x+B(A>0,co>0,B>0)；

②g(x)=a\x-b|+c(a,b,ceR),

请你根据上表中的数据，从①②中选择最合适的函数模型来描述里侧车道早七点至八点的平

均道路通行密度(单位：辆/km)与时间x(单位：分)的关系(其中x为7：00至8：00所经过的时

间，例如7：30即x=30分)，并根据表中数据求出相应函数的解析式.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为sin（T-a）=-g=cosa,

则cos（兀—a）=­cosa=1.

故选：D.

由己知结合诱导公式进行化简即可求解.

本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：因为a角的终边过点⑸吟一si琮），即

…_zLn

则sma=了右=一〒.

J4+4

故选：C.

由已知结合三角函数的定义即可求解.

本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：根据题意，函数/（X）=XCOSX,其定义域为R,有/'（-X）=-xcos（-久）=-xcosx=

一/⑴，

函数f。）为奇函数，排除8,

在区间（（）,1）上，cosx>0,/（x）=xcosx>0,

在区间弓,兀）上，cosx<0,/（x）=xcosx<0,排除力D,

故选：C.

根据题意，用排除法分析：分析函数的奇偶性排除B,分析函数值的符号排除AD,即可得答案.

本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值的符号，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由瓦？=4万可得前=，瓦?，

所以而=赤+前=赤+1瓦5

4

=OB+^（OA-OB）=^OA+^OB,

4'44

31

•••%=R4/y=74-

故选：力.

由已知，点P是线段B4的一个四等分点，得出前与瓦?的关系，再由向量的线性运算即可求得％,y

的值.

本题考查平面向量基本定理，属基础题.

5.【答案】B

【解析】解：因为函数〃X）的图像上所有的点向左平移/个单位长度，

再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin6+瑞）的图像，

所以将y=sin《+驾）图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，

得y=sin（x+瑞），再向右平移左个单位长度可得/（x）=sin（x-3+汾=sin（x+弓）的图象.

故选：B.

由题意将、=5也（|+居）图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移今个单

位长度可得f（x）的的图象，从而可求出y=/（%）的解析式.

本题主要考查函数y=4s讥（3X+R）的图象变换，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】A

，板土二▼赳一、1.I.(2sinx,sinx>cosx

【解析】解：f(x)=sinx+cosx4-\sinx-cosx\।=],

八/11\2ncosx,sinx<cosx

2sinx,xG[2kn—^-,2kn+§,AEZ

2cosx,xE[2kn+^,2kn+吊,々EZ

/(%)的图像如图所示.

f(x)=lin(x)Acosfx+simx)-cos(x)2

X//\z/\z

\/\\/

/\/\/\/

-3n\/・2冗In271

多玉?11\/7n7nv

VV-1VV

-2

对于A,因为/(2彳-工)=/(%),所以4对：

对于8,根据图像知8错；

对于C,当打=0,x2=2n,|/(xi)|+|/(x2)|=4,但％+小=2兀羊5+2上兀，keZ,所以C错;

对于。，根据/(x)图像知。错.

故选：A.

4根据对称条件判断；B根据图像判断；C举反例判断；。根据图像判断.

本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本性质，属于中档题.

7.【答案】D

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则8(1,0),

点P在圆(X-}2+(y_1)2=：的左上半圆上运动,

设P(m,n),

fm>0

则

即0Wm33+?'

则而"OB=mxl+nxO=m<，+1，

即前•丽的最大值是二羿.

故选：D.

由圆的方程，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可.

本题考查了圆的方程，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题.

8.【答案】C

【解析】解：因为/(%)=\/~3sin2x+acos2x=V34-a2sin(2x+8)(。为辅助角)的图像关于直线

%对称，

所以土、4+3=sing+acos^

oo

解得a=3,

所以fO)=2/3sin(2x+*,T=n,

若/Qi)，f(%2)=-12，则Q|%I-x2l=3%一冷1的最小值为3xJ=y.

故选：C.

由已知利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性先求出a,再由正弦函数的周期性可

求.

本题主要考查了正弦函数的对称性，周期性及最值取得条件的应用，属于中档题.

9.【答案】AB

【解析】解：对于4,函数y=sin|x|为偶函数，又%>0时，函数y=s讥%在(0,今上单调递增，

・,.函数y=sin|x|在(一?0)上单调递减，故4符合题意；

对于丁|sin(一%)|=\sinx\,且函数y=定义域为R,

・,・函数y=|sE%|为偶函数，当工£(一，0)时，y=\sinx\=-sinx,

且函数y=-s讥%在(一，0)上单调递减，

，函数y=|s讥制在(一a0)上单调递减，故8符合题意；

对于C,y=cos(x—])=sinx,

，函数y=cos(%-今在(一90)上单调递增，故C不符合题意；

对于D,i己y=/(x)=tanx—cosx,

则/(一%)=tan(—%)—cos(—x)=—tanx—cosx,••・/(—%)W/(%),

・,・函数y=tanx-cos》不是偶函数，故。不符合题意.

故选：AB.

逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于中档题.

10.【答案】BCD

【解析】解:由图象知A=2,则/(%)=2sm(3%+口),

•••f(°)=-1，・••/(0)=2sin(p=-1,彳导sincp=—

IwlV*二9=_*

则/(%)=2sin(a)x-3),

由五点对应法得答3—打兀，

1Zo

得碧3=不得3=2，

则/0)=2sin(2x-^),

将/(©图像向左平移着个单位得到g(x)，

则g(x)=2sin[2Q+F)Y]=2sin(2x+F),故A错误，B正确,

当％=冷时，一★2+冷一宏此时g(x)=—2,则函数g(x)的图像关于久=*对称，故C正

确，

当％=-工时，一居X2+*=F,此时g(x)=0,则函数g(x)的图像关于(一居,0)中心对称，故

。正确，

故选：BCD.

根据图象求出函数/(x)解析式，根据图象变换得到g(x)的解析式，根据函数的对称性进行判断即

可.

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求函数f(x)和g(x)的解析式，利用三角函数的对

称性进行求解是解决本题的关键，是中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：连接4F,

1QAO—4S0

•・・乙AOB=45°,/.Z.OAB=2=67.5°,

•・・Z,AOF=3x45°=135°,/.^OAF===22.5°,

・・•乙BAF=67.5°+22.5°=90°,

以4B所在直线为%轴，4F所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则4（0,0）,8（1,0）,H（一好手），尸（0,「+1）,C（1+好,行），

■■■AH=（一亨,苧），而=（-1-苧*+1），

S,6「、<7,、―、1V2,<7,1八

"X（T+1）~~X（-1--）=-2-T+—+2=0,

・••科与不平行，不能构成一组基底，.以错误；

;0电子）一,•雨=（->亨>屈=（1+祟争一©,?）=（等,+），第=

“c、/E1、，1厂2+1、

（1）0）-（-,^-）=（--一-—）-

.-.OA+OC=CY，-^-y^）=<7oe..'B正确；

•••G（-?,?+l），布=（-?,?+1），同=（1,0），

南在而向量上的投影向量的模长为国幽=应离也=C,.•（正确；

\AB\12

取4B的中点M,则同+丽=2而，港一丽=瓦？=2而，

-->-->o-->2--»--»o-->2

/.（PA+PB）2=4PM，（P4-PB）2=4MA，

两式相减得：PA-PB=PM2-~MA=PM2-

二当点P与点E或F重合时，丽2最大，

最大值为4M2+AF2=；+（「+1）2=¥+24，

4、/4

PA■丽的最大值为苧+2<7-9=3+2，五，二。正确.

44

故选：BCD.

A选项，作出辅助线，证明出4B4F=90。，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到而与

而平行，故4错误；

B选项，求出而，雨,而得到8正确；

C选项，求出怒，AB,利用投影向量的计算公式求出答案；

0选项，取48的中点M,得到福・丽=丽2_瓦7=丽2_；,求出由2的最大值，从而得到正.

丽的最大值.

本题考查平面向量的坐标运算，向量的共线定理，投影向量的定义，函数思想，化归转化思想,

属中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,cos3x=4COS3X—3cosx,则P3")=4/-3t,故A错误；

对于B,cos4x=2cos22x-1=2(2cos2x—l)2-1=8cos4x—8cos2x+1,则P^t)=8t4—

8t2+1,故B正确；

对于C,由于cos54°=sin36°,BP4cos318°—3cosl8°=2sinl80cosl8°)变形可得4cos218°-3;

2sinl8°,即1-4sm218=2s讥18°,

解可得：sinl8°=话匚或T(舍),则有cos36°=1-2sin218°=话里，即s讥54。=空口

4「叮444

C正确；

对于D,由C的结论，sin54。=二口，则cos54°=V1—sir>254°=11。-力错误.

44

故选：BC.

根据题意，结合切比雪夫多项式的方法依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查合情推理的应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题.

13.【答案】|

［解析］解：cos(x+g)=sing-(x+今］=sin(^-x)=

故答案为：

利用诱导公式cosa=sin©—a),即可得出答案.

本题考查了诱导公式的应用，考查转化思想，属于基础题.

14.【答案】

【解析】解：根据题意,向量五=(2,3),&=(-3,1).

且k五一B=(2k+3,3k-l)，a-2b=(8,1).

若k五一至与五一28垂直，则(k五一石)•伍一2石)=8(2k+3)+(3k-l)=0,

解可得：fc=-g,

故答案为：~

根据题意，求出k五-方与丘-2方的坐标，由数量积的计算公式可得关于k的方程，解方程可得答

案.

本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

15.【答案】。|］

【解析】解：由题意可得。2，兀+9可得『之:兀，

因为3>0,所以7=算之（兀，

233

解得3<|；

因为［0,2初上恰好取得一次最小值-3,

则23%+6,4a）n+刍,

所以TTW43兀+3V3元,解得上3<|,

JO5

又因为％G［―^,普］上是减函数，则2tOXG［―,7T3+百3713+自，

则一|兀3>0且|兀3+^<7T,

解得34且34|,即3式|,

因为注］

综上所述：3的取值范围为：［；,刍.

故答案为：弓

由在［-9景上是减函数，可得3的范围，再由在［0,2扪上恰好取得一次最小值-3,可得3的范围，

进而求出®的范围.

本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题.

16.【答案】［1,+8）

【解析】解：,对任意实数t6R,|方+之|五一石|恒成立，

.-.a2+2ta-b+t2b2>a2-2a-b+片对任意实数tGR恒成立,

.-.b2t2+2a-bt+2a-b-b2>0对任意实数teR恒成立，

40,

4=4(a-b)2—4fo2(2a-K—fa2)<0，

^(a-b)2-2a-b-b+(bZy<0>

即.3-b2)2<O,

a'b—b=0'•-b'(a—b')=0>

当五一3=6,即五=1时,等式成立，此时招=i；

网

当方一石丁6时，b±(a-by令m=五,而=石,

此时△。48是以04为斜边的直角三角形，

•••间>|司,此时楼>1,

综上，号的取值范围为［1,+8).

故答案为：［1,+8).

将条件式两边同时平方转化为关于t的一元二次不等式的恒成立问题，再求解即可.

本题考查向量和一元二次不等式恒成立的综合应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1),向量五=(sina,cosa—3sina),1=(1,4),a//K，

:.4sina—(cosa—3sina)=0,:.7sina=cosa,

,Asina1

,:cosaW0N,：,tana=---=

cosa7

(2)v|a+b|=|a-K|>>•.(a+K)2=(a-K)2>：.a2+2a-b+bZ=a2-2a-b+bZ'

a-b=0»

，sina+4(COSQ-3s讥a)=0,：・llsina=4cosa,

vsin2a+cos2a=sin2a+号sin2a=1,・•・sin2a=慕，

16137

cos2a=1—2sin2a=1-

【解析】(1)由向量共线的坐标表示列方程，结合同角三角函数基本关系即可求解；

(2)将已知条件两边同时平方，可得方.3=0，由向量垂直的坐标表示可得7sina=4COSQ,结合

sin2a+cos2a=l,求出sin2a的值，再由余弦的二倍角公式即可求解.

本题考查平面向量的运算，考查向量平行、向量垂直、向量的模、向量数量积公式、同角三角函

数关系式、余弦二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：(1)/(%)=2sinx(^-cosx—|sinx)+y/~~3sinxcosx+cos2%

=2y/~3sinxcosx+cos2%—sin2%

=y/~3sin2x+cos2x

=2sin(2x+看)...(6分)

・•・f(x)的最小正周期T=:=〃.

当2%+*=2/CTT+*x=Er+卷(k6z)时，，/(%)取得最大值2....(10分)

⑵由OSx号，得牌2x+髀得，

-"Wsin(2x+^)＜1,

•••f(x)的值域为…(14分)

【解析】(1)利用三角函数的倍角公式与辅助角公式将/(X)转化为f(x)=2sin(2x+看)，即可求得

函数/(%)的最小正周期，最大值及取最大值时相应的久值；

(2)由。＜%＜列求得着＜2x+l＜^,利用正弦函数的性质即可求得f(x)的取值范围.

本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，考查转化与运算能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴：/⑴图像上相邻两个对称轴的距离为看

即T=7T,即4=兀，得3=2,

220)

则/(%)=sin(2x+(p).

V/(X)的图像关于(Y,0)中心对称，

——x2+=kn,kEZ9得R=§+kn,k£Z,

；|<p|<.•.当k=0时，<p=刍

则/O)=sin(2x+^).

(2)当一・<%<£T<2x<名，0<2x+l<n,

o3333

设t=2%+*则函数y=s讥匕贝ij0Vt<兀上的对称轴为t=，，

由2#+三吗得“提

即/。)关于％对称，

"/(X1)=/(%2)>"=^2>

7T

即％1+口2=不，

则/(/+x2)=黑)=sin(2x"今=si吟=?.

【解析】(1)根据对称轴和对称中心，求出3和9的值即可.

(2)求出函数的对称轴，利用函数的对称性求出/+久2然后代入求值即可.

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行

求解是解决本题的关键，是中档题.

20.【答案】解：(1)1初+就+砧+…+P2023P2024—物I=I电嬴-RMI=I西£|

•••PXP2.”2024是半径为1的圆。内接正2024边形，M是圆。上的动点，

-1|M,P2024重合时,|M?20241=0,

当MP2024是直径时，IMP202；I=2,即IMP2024Ie[0,2]，

即I耳耳+瓦瓦+P3P4+…+P2023P2024一瓦瓦|的取值范围是[0,2].

⑵••・PR.”2024是半径为1的圆。内接正2024边形，

**•OP1+0P?+…+。「2024=0，

贝"丽『+|丽|2+…+||2=(两一两)2+(理―OMy+..•+(OP^-两下=

2222

0P\+oK+-+0P2024-2OM-(OK+0K+-+OP2024)+2024OM=2024+2024=

4048,为定值.

【解析】(1)利用向量加法和减法法则进行化简求解即可.

(2)利用向量长度与向量数量积关系进行转化求解即可.

本题主要考查向量数量积的计算，根据向量加法和减法法则进行转化求解是解决本题的关键，是

中档题.

21.【答案】解:(1)由题意知：y-i=sina,y2=sin(a+^)»

黑)=点咤+小弓+个=31=|；

(2)由(1)得：g(x)=f(2x-1)=Osin(2x

令一+2fczr<2x—^<^+2/c7r(/cGZ),

解得：一.+k/r4x4g€Z),

•••g(x)的单调递增区间为［/+k植+时(卜eZ)；

⑶由(2)得：/i(x)=V_3sin(2x-1)+V-3(A-l)sin(x-1)=V-3cos(2x一争+-

l)sin(x-)=-2V-3sin2(x-3+—l)sin(xg)+V-3，

令sin(x-g)=t,则

m(t)=-2/^t2+-l)t+C是开口方向向下，对称轴为土=铝的抛物线，

①当今S0，即;1<1时，=m(l)=-y/~l+V-3(A-1)=-2y/~3,解得：2=0,

②当午>0,即4>1时，=7n(-l)=-V-3--1)=-2yJ~3<解得：入=2,

综上所述：A=0或4=2.

【解析】(1)由三角函数定义可得外，将。=着直接代入即可求得//)；

(2)由(1)可得g(x),根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；

(3)结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将九(乃转化为关于te［-1,1］的二次函数的形式，

讨论对称轴位置即可利用最小值构造方程求得2的值.

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的性质，属于中档题