高一数学上学期第一次月考测试卷（人教A版2019测试范围：第一章、第二章）解析版

2023-2024学年高一上学期第一次月考（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章（人教A版2019）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}【答案】D【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝{1，3}，故选：D．2．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0 B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0 C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0 D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0【答案】A【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0．故选：A．3．设a，b，c是实数，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：由“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，反之不成立，例如c＝0时．“a＞b”是“ac2＞bc2必要不充分条件．故选：B．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞4}，B＝{x|﹣2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}【答案】D【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁UA）．则∁UA＝{x|﹣1≤x≤4}，则B∩（∁UA）＝{x|﹣1≤x≤3}，故选：D．5．已知集合A＝{x|x∈N，，则集合A的真子集个数为（）A．32 B．4 C．5 D．31【答案】D【解答】解：已知集合A＝{x|x∈N，∈N}＝{0，2，3，4，5}，则集合A真子集的个数为25﹣1＝31个，故选：D．6．已知使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：解不等式3x﹣1≤0，得x≤，解集为（﹣∞，]．由不等式x2+（a+1）x+a≤0，得（x+1）（x+a）≤0，因为使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，若a＝1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，满足{﹣1}⊆（﹣∞，]，符合题意．若a＜1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣1，﹣a]，则[﹣1，﹣a]⊆（﹣∞，]，所以﹣a≤，解得﹣≤a＜1．若a＞1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣a，﹣1]，则[﹣a，﹣1]⊆（﹣∞，]，所以a＞1．综上知，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．故选：B．7．若x＞0，y＞0，且+＝1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8【答案】A【解答】解：根据题意，x＞0，y＞0，且＝1，则x+2y＝（x+2y）（）＝4+≥4+2＝8，当且仅当x＝2y＝4时等号成立，即x+2y的最小值为8，若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．即m的取值范围为（﹣8，1）．故选：A．8．设x＞0，y＞0，且不等式（ax+y）（+）≥9恒成立，则正实数a的取值范围是（）A．0＜a≤4 B．0＜a≤2 C．a≥4 D．a≥2【答案】C【解答】解：∵x＞0，y＞0，a＞0，∴（ax+y）（+）＝a+1++≥a+1+2＝（+1）2（当且仅当＝时取“＝“），又∵（ax+y）（+）≥9恒成立，∴（+1）2≥9，解得：a≥4，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．使ab＞0成立的充分不必要条件可以是（）A．a＞0，b＞0 B．a+b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＞1，b＞1【答案】ACD【解答】解：使ab＞0成立的充分必要条件为a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故选项ACD符合题意，故选：ACD．（多选）10．由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）A．﹣1 B．﹣2 C．6 D．2【答案】AC【解答】解：由题意知a2≠4且2﹣a≠4且a2≠2﹣a，解得a≠±2且a≠1，结合选项知A、C正确，故选：AC．（多选）11．设A＝{x|x2﹣8x+12＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以是（）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【解答】解：集合A＝{x|x2﹣8x+12＝0}＝{2，6}，B＝{x|ax﹣1＝0}，又A∩B＝B，所以B⊆A，当a＝0时，B＝∅，符合题意；当a≠0时，则，所以或，解得或．综上所述，a＝0或或．故选：ABC．（多选）12．下列命题为真命题的是（）A．若x＞，则函数y＝x+﹣1的最小值为2 B．若m＞0，n＞0，mn+m+n＝3，则m+n的最小值为2 C．函数y＝的最小值为2 D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为2【答案】BC【解答】解：对于A，当x＞时，函数y＝x+﹣1＝x﹣++≥2+＝，当且仅当x＝时，最小值为，所以A错误；对于B，m＞0，n＞0，mn+m+n＝3≤+m+n，令m+n＝t（t＞0），可得3≤+t，解得t≥2，即m+n的最小值为2，所以B正确；对于C，y＝＝+≥2，当且仅当时，即x＝0时取得最小值，可知C正确；对于D，a＞0，b＞0，a+b＝1，可得+＝+＝++1≥2+1＝3，当且仅当a＝b时取得最小值3，可知D错误；故选：BC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|＜0}，则M∩N＝{x|2＜x＜3}．【答案】{x|2＜x＜3}．【解答】解：∵集合M＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，N＝{x|＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．14．命题“∃x∈R，x2+3x+2＜0”否定是∀x∈R，使x2+3x+2≥0．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵命题“∃x∈R使x2+3x+2＜0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，使x2+3x+2≥0故答案为：∀x∈R，使x2+3x+2≥0．15．已知1＜a＜4，2＜b＜8，则a﹣2b的取值范围为（﹣15，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：若1＜a＜4，2＜b＜8，则﹣16＜﹣2b＜﹣4，∴﹣15＜a﹣2b＜0，故答案为：（﹣15，0）．16．若正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝1∴x+1+y＝2，+＝•（+）＝（1+4++）≥（5+2）＝，（当接仅当x＝，y＝时取“＝”）故答案为：．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}，求A∪B，A∩B，（∁RA）∩B．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A＝{x|2≤x＜4}＝[2，4），B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}＝[3，+∞），∴A∪B＝[2，+∞），A∩B＝[3，4），∵全集为R，∴∁RA＝（﹣∞，2）∪[4，+∞），则（∁RA）∩B＝[4，+∞）．18．（12分）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时Δ＝9﹣8a＜0即a＞2）若A中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时Δ＝9﹣8a＝0，解得：a＝∴a＝0或a＝若a＝0，则有A＝{}；若a＝，则有A＝{}；3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a＝0或a≥19．（12分）已知a∈R，集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝{x|x2+5x﹣6≤0}．（1）当a＝﹣1时，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求a的取值范围．【答案】（1）{x|﹣2≤x≤1}；（2）{a|a＞3或﹣3≤a≤﹣2}．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，A＝{x|﹣2≤x≤2}B＝{x|x2+5x﹣6≤0}＝{x|﹣6≤x≤1}，所以A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}；（2）由A∪B＝B，知A⊆B，当A＝∅时，2a＞a+3，解得a＞3；当A≠∅时，，解得﹣3≤a≤﹣2．综上所述，a的取值范围为{a|a＞3或﹣3≤a≤﹣2}．20．（12分）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．【答案】（1）草坪宽的最大值为16米；（2）整个绿化面积的最小值为平方米．【解答】解：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，因为块绿草坪的面积均为400平方米，所以，因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则≥x+9，即x2+9x﹣400≤0，解得0＜x≤16，所以草坪宽的最大值为16米；（2）设整个绿化面积为S平方米，由题意可得，＝＝，当且仅当时取等号，所以整个绿化面积的最小值为平方米．21．（12分）已知正实数x，y满足x+y＝4．（1）是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．（2）求证：，并说明等号成立的条件．【答案】（1）不存在，理由详见解析．（2）证明详见解析．【解答】解：（1）因为，所以xy≤4，故不存在正实数x，y，使得xy＝5．（2）证明：∵（x+1）+（y+2）＝7，∴，当且仅当即时，等号成立，即得证．22．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0．（1）当a∈R时，解关于x的不等式；（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，当a＜0时，不等式的解集为{x|x≤或x≥1}，0＜a＜时，不等式的解集为{x|1≤x≤}，a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}，a＞时，不等式的解集为{x|≤x≤1}．（2）a的取值范围是（﹣∞，]．【解答】解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0，当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1，当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≥0，解得x≤，或x≥1；当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣）≤0；①0＜a＜时，＞1，解不等式得1≤x≤，②a＝时，＝1，解不等