高一上学期期中复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】八大题型归纳（基础篇）（解析版）

高一上学期期中复习第二章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型题型1不等关系的建立1．（2023·全国·高一专题练习）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（A．a+b+c<130且abcC．a+b+c≤130且abc【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为x0.5人在此时间内跑的路程为4×x0.5米，由题意可得故选：B．3．（2023秋·高一课时练习）（1）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？【解题思路】由不等式的表示方法解决.【解答过程】（1）由题意，直接用不等式表示可得v≤40（2）由题意，直接用不等式表示可得f≥2.54．（2023·全国·高一专题练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【解题思路】（1）由边长表示出面积，再由边长与面积的范围求解即可；（2）由长与宽的范围都不超过11m，求解即可【解答过程】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m所以0<x≤18，这时菜园的另一边长为30-x所以菜园的面积S=x15-x故该题中的不等关系可用不等式组表示为0<（2）因为矩形的另一边长15-x2又0<x≤18，且x≤11题型题型2利用不等式的性质判断正误1．（2023秋·上海浦东新·高三校考开学考试）已知a>b>A．a+d>C．ad>bc D【解题思路】对于选项ACD，通过取特殊值即可排除，对选项B，利用不等式的性质可判断出选项是正确的，从而得出结果.【解答过程】对于选项A，因为a=3,b=2,c=1,d=-10对于选项B，因为a>b,c>对于选项C，因为a=3,b=2,c=1,d=-10对于选项D，因为a=3,b=2,c=1,d=0故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）下列结论不正确的有（

）个①若ac<bc，则②若a2<b③若a>b，c<0④若a<bA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】依据不等式的性质结合特值验证法，依次判断即可.【解答过程】.①当c<0时，在不等式ac<bc两边同除以c,得a②令a=3，b=-4，满足a2<b③若a>b，不等式两边同乘以负数c，不等号方向改变，ac<④由0≤a<b，则a<b，故故选：C.3．（2023·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c-a>(2)若ab>c，b>0(3)若ac>bc，则(4)若a>b，c>【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.【解答过程】(1)∵c∴-a∴a故成立.(2)∵ab>c∴ab即a>(3)取a=1,b=2,c=-1时，满足(4)取a=1,b=0,c=3,d=-1，满足4．（2023秋·高一单元测试）下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a<8，-4<b<2，所以-2<a-b<6.乙：因为2<b<3，所以13<1b<又因为-6<a<8，所以-2<ab丙：因为2<a-b<4，所以-4<b-a<-2.又因为-2<a+b<2，所以0<a<3，-3<b<0，所以-3<a+b<3.【解题思路】根据不等式的性质逐一分析即可.【解答过程】甲同学做的不对.因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.乙同学做的不对.因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道-6<a<8.不明确a值的正负.故不能将13<1b<12与-6<a丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b<4与-2<a+b<2两边相加得0<a<3，又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两边相加得出-3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出-3<a+b<3，多次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大.题型题型3由基本不等式比较大小1．（2023·全国·高一专题练习）已知a、b为正实数，A=a+A．G≤H≤C．G≤A≤【解题思路】利用基本不等式计算出H≤【解答过程】因为a、b为正实数，所以A=a+2H=1a+综上：H≤故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为V1，在逆水中的速度为V2V1≠V2A．V<V1C．V>V1【解题思路】求出平均速度V，进而结合基本不等式求得答案.【解答过程】易知V1>0,V则游船顺流而下的时间为1V1，逆流而上的时间为则平均速度V=由基本不等式可得V≤221V1⋅而根据题意V1≠V故选：A.3．（2023·高一课时练习）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b【解题思路】首先利用综合法，结合基本不等式，证得2a2+b2+c2⩾2ab【解答过程】∵a2+b2⩾∴a2+b2①式两边分别加上a2+b2+c②式两边分别加上2ab3(ab+bc+综上，a2+b4．（2023秋·广东广州·高一校考期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油．(1)分别用m，(2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明．【解题思路】（1）根据题意即得；（2）利用基本不等式即得.【解答过程】（1）由题可得第一种方案的均价为30m第二种方案的均价为400200（2）因为m>0,n>0所以m+n2所以m+n2即第二种加油方案比较经济划算.题型题型4利用基本不等式求最值（无条件）1．（2023秋·福建莆田·高三校考阶段练习）若x>-3，则2x+A．22+6 B．22-6 C【解题思路】利用基本不等式即可得解.【解答过程】由x>-3，可得x2x当且仅当2(x+3)=1所以2x+1故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）已知0<x<2，则y=2A．2 B．4 C．5 D．6【解题思路】利用基本不等式进行求解即可.【解答过程】因为0<x所以y=2当且仅当x2=4-x2时取等号，因为故选：B.3．（2023秋·高一单元测试）（1）若x>0，求x+4（2）若0<x<3【解题思路】（1）利用基本不等式可直接求得答案；（2）将4x(3-2x)【解答过程】（1）当x>0时，x当且仅当x=4x∴x+4xx（2）∵0<x<32∴4x当且仅当2x=3-2x∵34∴4x3-2x4．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知x>0，求函数f(（2）已知x<54，求函数【解题思路】（1）化简函数解析式，利用基本不等式求其最大值；（2）换元，利用基本不等式求其最大值.【解答过程】（1）f(x)=由基本不等式可得，x+4x所以f(x)=所以当x=2时，函数f(x（2）设4x-5=因为x<54所以y=所以y=当且仅当t=-1所以当x=1时，函数y=16题型题型5利用基本不等式求最值（有条件）1．（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知x>y>0且4x+3A．10 B．9 C．8 D．7【解题思路】令a=2x-y,b=x【解答过程】由题意x>y>0令a=2x-由4x+3y故1≥5+22当且仅当2ba=2a也即2x-y故12x-故选：B.2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+bA．ab的最大值为8B．1a-C．a+bD．a2-【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥2当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8对于B选项，原式化为a-1b-2=2,b所以1a-1+2对于C选项，原式化为2b+1当且仅当a=2+1,对于D选项，a2当且仅当a=1+2,b=2+故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0,b>0(1)求ab的最大值；(2)求3a【解题思路】（1）利用不等式xy≤x+y22即可得解；（2）根据【解答过程】（1）我们首先来证明一个不等式xy≤x+y2所以不等式xy≤x+由题意a>0,b>0，且3所以ab的最大值为2521，当且仅当3a=7b（2）因为3a+7b=10，所以根据“乘3a所以3a+7b的最小值为104．（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）已知a>0，b（1）若a+b=4，求12a（2）若2a2+b2=4a（3）若a2+3b2+4ab-6=0【解题思路】（1）根据12（2）利用1a（3）由已知等式得a+3ba+【解答过程】（1）∵a+b=4，∴12a+2b=12∴当a=43，b=8（2）∵2a∴1a+1b=a∴当a=1+2，b=2+2（3）∵a2+3∴5a+9b=2a+3b∴当a=32，b=1题型题型6一元二次不等式的解法1．（2023秋·高一课时练习）不等式ax2-A．2B．1C．-D．(-【解题思路】由一元二次不等式的解法求解．【解答过程】原不等式可化为a(x-2ay=故原不等式的解集为-故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式ax2+bx+1>0的解集为{A．{x|xC．{x|-2≤x【解题思路】首先根据根与系数的关系利用韦达定理求解系数a,【解答过程】由不等式ax2+知-13,由根与系数的关系，得-13+所以不等式x2-bx+a≥0可化为故不等式x2-bx故选：D.3．（2023·全国·高一专题练习）解不等式：(1)-x(2)x2(3)x+1【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法求解；（2）根据一元二次不等式的解法求解；（3）根据分式不等式的解法求解.【解答过程】（1）-x2+4x+5>0可化为x∴原不等式的解集为x∣-1<（2）x2∴原不等式的解集为x∣（3）x⇔∴原不等式的解集为x54．（2023秋·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式ax(1)若不等式的解集为x-2≤x≤-1，求(2)若a<0，解不等式ax【解题思路】（1）分析可知-2、-1是方程ax2+（2）将所求不等式变形为x-2ax+1≤0【解答过程】（1）解：原不等式可化为ax由题知，-2、-1是方程由根与系数的关系得a<0-a（2）解：当a<0时，所以原不等式化为x-当2a>-1时，即a<-2当2a=-1时，即a=-2时，原不等式即为x+1当2a<-1时，即-2<a综上所述，当-2<a<0当a=-2时，不等式的解集为-当a<-2时，不等式的解集为x题型题型7一元二次不等式的实际应用1．（2023·全国·高一专题练习）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,45【解题思路】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.【解答过程】由题意，得y=xP-令y≥1300，得-2x∴x-20故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m）的取值范围是（

A．x15≤x≤20C．x10≤x≤30【解题思路】根据题意，由相似三角形将AF,FH表示出来，从而表示出S【解答过程】如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于易知DEBC=AF则AF=x，FH=40-解得10≤x故选:C．3．（2023秋·高一课时练习）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400km，该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，求出热带风暴中心B随时间变化的坐标，再列出一元二次不等式求解作答.【解答过程】如图，以A市为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，显然|AB|=400,∠BAx=30°，热带风暴中心则xh后热带风暴中心B到达点P(200依题意，当A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350，即整理得16x2-160x所以在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h.4．（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系:m=92x-14，n=-(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机?(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少?【解题思路】（1）通过解不等式m-（2）通过（1）可知当0<x<4时企业亏损，通过配方可知亏损额【解答过程】（1）解：依题意，m-n≥0整理得x2-2x-8≥0，解得∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；（2）解：由（1）可知当0<x亏损额n-∴当x=1时，n-m此时m=即当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为9题型题型8三个“二次”关系的应用1．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数y=ax2+A．-2,1 B．-∞,-2∪1,+∞C．-2,1【解题思路】本题可根据图像得出结果.【解答过程】结合图像易知，不等式ax2+故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2A．x|x>3或x<-2 B．C．x-2<x【解题思路】根据a>