人教版数学九年级上册第二十二章《 二次函数》单元检测题（含答案）

/?二次函数?单元检测题一、单项选择题1．假设不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立,那么x的取值范围是A．2≤x≤3B．-1<x<1C．-1≤x≤1D．2<x<32．如图,抛物线y=14〔x+2〕〔x﹣8〕与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径作⊙D．以下结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是〔A．1B．2C．3D．43．二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余局部不变,得到一个新函数〔如下图〕,请你在图中画出这个新图象,当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是〔〕A．﹣254＜m＜3B．﹣254＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．4．抛物线y=ax2+bx+c〔0＜2a≤b〕与x轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；④a+b+cb其中,正确结论的个数为〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个5．一位篮球运发动在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m时,到达最大高度3.5m,然后准确落入篮框内．篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如下图的平面直角坐标系中,以下说法正确的选项是〔〕A．此抛物线的解析式是y=﹣15x2B．篮圈中心的坐标是〔4,3.05〕C．此抛物线的顶点坐标是〔3.5,0〕D．篮球出手时离地面的高度是2m6．如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(1,0)和点A．-1<P<0B．-2<P<0C．-4<7．如图,抛物线y=-23x2+103x+4分别交x轴于A,B两点,与y轴交于点C,动点P从D(0,2)出发,先到达x轴上的某点E,再到达抛物线对称轴上的某点FA．61B．8C．7D．98．二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图,OA=OC,那么由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①4ac-b24a=﹣1；②ac+b+1=0；③abc＞0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是A．4个B．3个C．2个D．1个9．以下对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的选项是〔〕A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧局部是下降的10．假设二次函数yax²bxc的图象与x轴交于A和B两点,顶点为C,且b²4ac4,那么ACB的度数为〔〕A．120°B．90°C．60°D．30°11．二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2<x<-1时,它的图象位于x轴的下方；当6<x<7时,它的A．8B．-10C．-42D．-2412．以下函数表达式中,一定为二次函数的是()A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝2x2－2x＋1D．y＝x2＋1二、填空题13．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．假设点A′的横坐标为1,那么A′C的长为_____．14．二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方,那么实数k的取值范围是_____．15．抛物线y=ax2+bx-1经过点(2,7),那么16．抛物线y=-14x三、解答题17．,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使PA+PC的值最小？如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由；(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标．18．如图,抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),交x轴于A(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标；(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值；(3)假设点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点19．如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A〔﹣1,0〕,B〔4,0〕,C〔0,3〕三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E．〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕如图1,求线段DE长度的最大值；〔3〕如图2,设AB的中点为F,连接CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？假设存在,求点D的横坐标；假设不存在,请说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】把不等式整理成以关于a的一元一次不等式,然后根据一次函数的增减性列出关于x的不等式组,然后求解即可．【详解】解：由ax2+7x-1>2x+5得∵当x=0时,-6>0不成立,∴x≠0,∴关于a的一次函数y=x当a=-1时,y=-x当a=1时,y=x∵不等式对-1≤a≤1恒成立,∴(x-1)(x+6)>0解得2<x<3．应选：D．【点睛】此题考查了二次函数与不等式,一次函数的性质,难度较大,确定从一次函数的增减性考虑求解然后列出关于x的一元二次不等式组是解题的关键．2．B【解析】【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A、B坐标,由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长,得出其半径,由圆的面积公式即可判定；③过点C作CE∥AB,交抛物线于E,如果CE=AD,那么根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．【详解】∵在y=14〔x+2〕〔x﹣8〕中,当y=0时,x=﹣2或x=8∴点A〔﹣2,0〕、B〔8,0〕,∴抛物线的对称轴为x=-2+82=3,∵⊙D的直径为8﹣〔﹣2〕=10,即半径为5,∴⊙D的面积为25π,故②错误；在y=14〔x+2〕〔x﹣8〕=14x2﹣32x﹣4中,当x=0∴点C〔0,﹣4〕,当y=﹣4时,14x2﹣32解得：x1=0、x2=6,所以点E〔6,﹣4〕,那么CE=6,∵AD=3﹣〔﹣2〕=5,∴AD≠CE,∴四边形ACED不是平行四边形,故③错误；∵y=14x2﹣32x﹣4=14〔x﹣3〕2∴点M〔3,﹣254〕∴DM=254如图,连接CD,过点M作MN⊥y轴于点N,那么有N〔0,﹣254〕,MN=3∵C〔0,-4〕,∴CN=94,∴CM2=CN2+MN2=225在Rt△ODC中,∠COD=90°,∴CD2=OC2+OD2=25,∴CM2+CD2=62516∵DM2=(25∴CM2+CD2=DM2,∴∠DCM=90°,即DC⊥CM,∵CD是半径,∴直线CM与⊙D相切,故④正确,应选B．【点睛】此题考查了二次函数与圆的综合题,涉及到抛物线的对称轴、圆的面积、平行四边形的判定、待定系数法、两直线垂直、切线的判定等,综合性较强,有一定的难度,运用数形结合的思想灵活应用相关知识是解题的关键.3．D【解析】【分析】如图,解方程﹣x2+x+6=0得A〔﹣2,0〕,B〔3,0〕,再利用折叠的性质求出折叠局部的解析式为y=〔x+2〕〔x﹣3〕,即y=x2﹣x﹣6〔﹣2≤x≤3〕,然后求出直线•y=﹣x+m经过点A〔﹣2,0〕时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6〔﹣2≤x≤3〕有唯一公共点时m的值,从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围．【详解】如图,当y=0时,﹣x2+x+6=0,解得x1=﹣2,x2=3,那么A〔﹣2,0〕,B〔3,0〕,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的局部图象的解析式为y=〔x+2〕〔x﹣3〕,即y=x2﹣x﹣6〔﹣2≤x≤3〕,当直线y=﹣x+m经过点A〔﹣2,0〕时,2+m=0,解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6〔﹣2≤x≤3〕有唯一公共点时,方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解,解得m=﹣6,所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2,应选D．【点睛】此题考查了抛物线与几何变换,抛物线与x轴的交点等,把求二次函数y=ax2+bx+c〔a,b,c是常数,a≠0〕与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.4．C【解析】【分析】由a>0可知抛物线开口向上,再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0,由此可判断①,根据抛物线的对称轴公式x=﹣b2a可判断②,由ax2+bx+c≥0可判断出ax2+bx+c+1≥1＞0,从而可判断③,由题意可得a﹣b+c＞0,继而可得a+b+c≥2b,从而可判断④【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c〔0＜2a≤b〕与x轴最多有一个交点,∴抛物线与y轴交于正半轴,∴c＞0,∴abc＞0,故①正确；②∵0＜2a≤b,∴b2a＞1∴﹣b2a＜﹣1∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧,故②错误；③由题意可知：对于任意的x,都有y=ax2+bx+c≥0,∴ax2+bx+c+1≥1＞0,即该方程无解,故③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c〔0＜2a≤b〕与x轴最多有一个交点,∴当x=﹣1时,y＞0,∴a﹣b+c＞0,∴a+b+c≥2b,∵b＞0,∴a+b+cb≥2,故④正确综上所述,正确的结论有3个,应选C．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.5．A【解析】【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,依题意可知图象经过的坐标,由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时,球出手处离地面hm,因为〔1〕中求得y=﹣0.2x2+3.5,当x=﹣2,5时,即可求得结论．【详解】解：A、∵抛物线的顶点坐标为〔0,3.5〕,∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心〔1.5,3.05〕在抛物线上,将它的坐标代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,∴a=﹣15∴y=﹣15x2故本选项正确；B、由图示知,篮圈中心的坐标是〔1.5,3.05〕,故本选项错误；C、由图示知,此抛物线的顶点坐标是〔0,3.5〕,故本选项错误；D、设这次跳投时,球出手处离地面hm,因为〔1〕中求得y=﹣0.2x2+3.5,∴当x=﹣2.5时,h=﹣0.2×〔﹣2.5〕2+3.5=2.25m．∴这次跳投时,球出手处离地面2.25m．故本选项错误．应选：A．【点睛】此题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型,表达了数学建模的数学思想,难度不大,能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答此题的关键．6．C【解析】【分析】先利用待定系数法求出经过点(1,0)和(0,-2)的直线解析式为y=2x-2,那么当x=-1时,y=2x-2=-4,再利用抛物线的顶点在第三象限,【详解】经过点(1,0)和(0,-2)的直线解析式为当x=-1时,y而x=-1时,y所以-4<a-b+应选：C．【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时,对称轴在y轴左；当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=07．A【解析】【分析】根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解.可做C点关于直线x=52的对称点C',做D点关于x轴的对称点D',连接C'D'.那么E、F就是直线C'D'与【详解】作C点关于直线x=52的对称点C',做D点关于x轴的对称点D',那么E、F就是直线C'D'与x轴和抛物线对称轴的交点,此时即为点P运动的最短路径长,那么有C'(5,4)故点P运动的最短路径长．应选：A．【点睛】此题主要考查了轨迹,二次函数的性质,抛物线与x轴的交点,以及利用对称求最小值问题等知识,得出C'、D'点的坐标是解题关键．8．A【解析】【分析】此题可根据二次函数的性质,结合其图象可知：a＞0,﹣1＜c＜0,b＜0,再对各结论进行判断即可得答案．【详解】①由图象知抛物线顶点纵坐标为﹣1,即4ac-b24a②设C〔0,c〕,那么OC=|c|,∵OA=OC=|c|,∴A〔c,0〕代入抛物线得ac2+bc+c=0,又c≠0,∴ac+b+1=0,故②正确；③从图象中易知a＞0,b＜0,c＜0,那么abc＞0,故③正确；④当x=﹣1时y=a﹣b+c,由图象知〔﹣1,a﹣b+c〕在第二象限,∴a﹣b+c＞0,故④正确,应选A．【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系,读懂图象、掌握二次根式的顶点坐标公式、二次根式图象上一些特特殊点的坐标特征是解题的关键.9．C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A、∵a=1＞0,∴抛物线开口向上,选项A不正确；B、∵﹣b2a=12,∴抛物线的对称轴为直线x=1C、当x=0时,y=x2﹣x=0,∴抛物线经过原点,选项C正确；D、∵a＞0,抛物线的对称轴为直线x=12∴当x＞12时,y随x值的增大而增大,选项D不正确应选C．【点睛】此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕,对称轴直线x=-b2a,当a＞0时,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上,当a＜0时,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下,c=0时抛物线经过原点,熟练掌握相关知识是解题的关键10．B【解析】【分析】过点C作CD⊥x轴,垂足为D,由可得三角形ABC是等腰三角形,所以,CD是AB上的中线,求出A,B,C的坐标,再证CD=12AB,所以,ACB=90〬【详解】过点C作CD⊥x轴,垂足为D,由可得三角形ABC是等腰三角形,所以,CD是AB上的中线,因为,b²4ac4,所以,x=-b±b2-4ac所以,C〔-b2a,-1a〕,设A〔-b-22a,0〕,所以,AB=|-b-22a--b+22a|=|2a|,CD=|-所以,CD=12所以,ACB=90〬.应选：B【点睛】此题考核知识点：二次函数与三角形综合.解题关键点：求出各个点的坐标,运用等腰三角形性质定理.11．D【解析】【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2,通过顶点坐标位置特征求出m的范围,将A选项剔除后,将B、C、D选项带入其中,【详解】∵抛物线y=2x2而抛物线在-2<x<-1时,它的图象位于x轴的下方；当6<x<7时,它的图象∴m当m=-10时,那么y令y=0,那么2解得x1=-1,那么有当-2<x<-1时,它的图象位于当m=-42时,那么y令y=0,那么2解得x1=-3,那么有当6<x<7时,它的图象位于当m=-24时,那么y令y=0,那么2解得x1=-2,那么有当-2<x<-1时,它的图象位于x轴的下方；当6<x<7时,它的应选：D．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b2-4ac决定抛物线与x12．C【解析】【分析】根据二次函数的定义:形如y=ax2+bx+ca≠0,那么y【详解】A选项,y＝3x－1是一次函数,不符合题意,B选项,y＝ax2＋bx＋c二次项系数不确定是否等于0,不一定是二次函数,不符合题意,C选项,y＝2x2－2x＋1是二次函数,符合题意,D选项,y＝x2＋1x,不符合二次函数定义,不符合题意应选C.【点睛】此题主要考查二次函数的定义,解决此题的关键是要熟练掌握二次函数的定义.13．3【解析】【分析】解方程x2+mx=0得A〔﹣m,0〕,再利用对称的性质得到点A的坐标为〔﹣1,0〕,所以抛物线解析式为y=x2+x,再计算自变量为1的函数值得到A′〔1,2〕,接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标,然后计算A′C的长．【详解】当y=0时,x2+mx=0,解得x1=0,x2=﹣m,那么A〔﹣m,0〕,∵点A关于点B的对称点为A′,点A′的横坐标为1,∴点A的坐标为〔﹣1,0〕,∴抛物线解析式为y=x2+x,当x=1时,y=x2+x=2,那么A′〔1,2〕,当y=2时,x2+x=2,解得x1=﹣2,x2=1,那么C〔﹣2,1〕,∴A′C的长为1﹣〔﹣2〕=3,故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点,解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c〔a,b,c是常数,a≠0〕与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．14．k＜4【解析】【分析】由题意可知抛物线与x轴有两个交点,因此运用二次函数的图象与x轴交点的性质解答即可．【详解】∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0,图象的开口向上,又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方,∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点,∴△>0,即〔-4〕2-4k>0,∴k＜4,故答案为：k＜4.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题,由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键.15．-2【解析】【分析】由抛物线y=ax2+bx-1经过点(2,7)=3(2a+b)2-50.【详解】因为,抛物线y=ax2+bx-1经过点(2所以,4a+2b-1=7,所以,2a+b=4,所以,12=3〔4a2+4ab+b2〕-50=3(2a+b)2-50=3×42-50=-2故答案为：-2【点睛】此题考核知识点：二次函数.解题关键点：理解二次函数性质.16．x=3【解析】【分析】根据二次函数对称轴直线方程x=-b2a,【详解】由二次函数对称轴直线方程x=-b2a抛物线y=-14x故答案为:x=3.【点睛】此题主要考查二次函数对称轴直线方程,解决此题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴直线方程.17．〔1〕y=-x2+2x+3；〔2〕当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2)；〔3〕点M的坐标为(1,1)【解析】【分析】(1)由点A、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数(3)设点M的坐标为(1,m),那么CM=(1-0)2+(m-3)2,AC=[0-(-1)]2+(3-0【详解】解：(1)将A(-1,0)、C(0,3)得：c=3-1-b+c=0,解得：c=3∴抛物线的解析式为y=-x(2)连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值,如图1所示．当y=0时,有-x解得：x1=-1,∴点B的坐标为(3,0∵抛物线的解析式为y=-x∴抛物线的对称轴为直线x=1．设直线BC的解析式为y=kx+d(k≠0),将B(3,0)、C(0,3)得：d=33k+d=0,解得：d=3∴直线BC的解析式为y=-x+3．∵当x=1时,y=-x+3=2,∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2(3)设点M的坐标为(1,m),那么CM=(1-0)2+(m-3)分三种情况考虑：①当∠AMC=90∘时,有AC2解得：m1=1,∴点M的坐标为(1,1)或②当∠ACM=90∘时,有AM2解得：m=8∴点M的坐标为(1,8③当∠CAM=90∘时,有CM2解得：m=-2∴点M的坐标为(1,-综上所述：当△MAC是直角三角形时,点M的坐标为(1,1)、(1,2)【点睛】此题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理,解题的关键是：(1)由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；(3)分∠AMC=90∘、∠ACM=9018．(1)抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,顶点M的坐标为(2,-1)；(2)tan∠OCM【解析】【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式；根据顶点式解析式,可得顶点坐标；(2)根据勾股定理及逆定理,可得∠OMC=90∘,(3)根据相似三角形的判定与性质,可得PM的值,可得M点坐标．【详解】(1)由抛物线y=a(得3=a(4-2)2∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-1(2)如图1,连接OM,OC2=32∴C∴∠OMCOM=5,tan∠OCM=(3)如图2,过C作CN⊥对称轴,垂足N在对称轴上,取一点E,使EN=CN=2,连接当y=0时,(x-2)2-1=0,解得的x1∵CN=EN∵∠EPB∴∠EPC∴△CEP∽△∴EPMB=CEPM,∴6-PM2=P点坐标为(2,2+【点睛】此题考查了二次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题．19．