2014-2015年北京市丰台区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

第1页（共5页）2014-2015学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，3} C．{1，2，3} D．{1，2}2．（5分）已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（）A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4．（5分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于（）A．1 B．2 C．4 D．1或45．（5分）已知函数y=logb（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C． D．6．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种 B．种C．种 D．种7．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（）A． B． C． D．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，1，3，4} D．{0，1，2，3，4}二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是．10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是．13．（5分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是．14．（5分）设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．16．（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．18．（13分）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．20．（13分）已知数列{an}满足a1=1，an=λan﹣1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列；（Ⅱ）如果λ=2，求数列{nan}的前n项和Sn；（Ⅲ）如果[an]表示不超过an的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）an]}的通项公式．

2014-2015学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，3} C．{1，2，3} D．{1，2}【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则A={x|﹣1≤x≤2}，又B={1，2，3}，则A∩B={1，2}，故选：D．2．（5分）已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若∥，则x﹣2y=0，即x=2y，若x=﹣4且y=﹣2，满足x=2y，即充分性成立，当x=y=0时，满足x=2y但x=﹣4且y=﹣2不成立，即必要性不成立，故“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”充分不必要条件，故选：A．3．（5分）高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（）A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同【解答】解：∵两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，∴每一个个体被抽到的概率都为，∴该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同，故选：D．4．（5分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于（）A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：∵△ABC中，b=，c=，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即7=a2+3﹣3a，解得：a=4或a=﹣1（舍去），则a的值为4．故选：C．5．（5分）已知函数y=logb（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=logb（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B．6．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种 B．种C．种 D．种【解答】解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法共有种，故选：B．7．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是四棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图所示：顶点P在底面ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，1，3，4} D．{0，1，2，3，4}【解答】解：根据对称性我们只研究在x轴上方的整点情况，∵菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，∴A，C点在半径为2的圆上，且A，C关于y轴对称，①如图1，若对角线OB的长度OB≤1，此时区域内整点个数为0，排除A，②如图2．此时区域内整点为（0，1），个数为1，③如图3，此时区域内整点为（﹣1，1），（0，1），（1，1），个数为3，④如图4．则此时区域内整点为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1），个数为4个，⑤如图5．则此时区域内整点为（0，1），（0，2），个数为2个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是{0，1，2，3，4}，故选：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是﹣1+i．【解答】解：由复数的几何意义可知：z1=2i，z2=1﹣i．∴===﹣1+i．故答案为：﹣1+i．10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于15．【解答】解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d==3，所以S3==3×2+9=15，故答案为：15．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是5．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为x+y=10．由解得，即B（k，k），代入x+y=10得k+k=2k=10，解得k=5．故答案为：513．（5分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是﹣1≤y0≤1．【解答】解：y0=0，设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，∴k=；∠OMN≥，则≥，∴OM≤2，∴3+≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：；﹣1≤y0≤1．14．（5分）设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f（x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f（x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f（x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1=sin（2x+）+cos（2x﹣）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）T==π．…7分（Ⅱ）因为x∈，所以．所以当2x=，即x=时，ymax=2；当2x=，即x=时，．…（13分）所以当x=时，函数有最大值是2；当x=时，函数有最小值是﹣．16．（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）【解答】解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5；…（2分）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4；…（6分）（Ⅲ）从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=；X可能的取值是0，1，2，3；∴P（X=0）=••=；P（X=1）=•=；P（X=2）=••=；P（X=3）=••=；∴X的分布列为：X0123P…（12分）所以E（X）=0×+1×+2×+3×=；…（13分）（或X～B（3，），∴E（X）=np=3×=．17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵在△ABC中，AB=AC=2，，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），∵M是棱PD的中点，∴M（﹣1，1，1），∴=（﹣1，1，1），=（2，0，0），．设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，∴，即令y=1，则，∴平面MAB的法向量=（0，1，﹣1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞===﹣∵二面角M﹣AB﹣C为锐二面角，∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），=（﹣x，2，0），．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），∴=，解得x=1，即AN=1，NB=1，∴=118．（13分）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，∴．令f′（x）=0，则x=0．当x＜0时，f′（x）＜0，当；x＞0x＞0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时函数有极小值f′（x）极小值=f（0）=0．（Ⅱ）∵函数，当x=0时，y=k•0﹣1=﹣1，所以要使y=kx﹣1与f（x）无交点，等价于f（x）＞kx﹣1恒成立．令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，所以．①当k=1时，，满足y=kx﹣1与f（x）无交点；②当k＞1时，，而，，所以，此时不满足y=kx﹣1与f（x）无交点．③当k＜1时，令，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；当x=﹣ln（1﹣k）时，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0得1﹣e＜k＜1，即y=kx﹣1与f（x）无交点．综上所述当k∈（1﹣e，1]时，y=kx﹣1与f（x）无交点．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ