应用随机过程课件第06章随机信号通过线性系统

CH5随机信号通过线性系统

3/31/20241线性系统的根本性质随机信号通过线性系统白噪声通过线性系统提纲3/31/20242线性系统的根本性质线性系统系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性组合，即线性系统满足叠加原理线性时不变系统线性系统输入信号的时移，使得输出也有一个相同的时移，即3/31/20243线性系统的根本性质线性时不变系统的冲激响应线性系统在输入为冲激函数情况下的输出，反映系统时域特性的函数线性时不变系统的响应完全由系统的输入与系统的冲激响应所确定三者的频域关系称为系统的传递函数，它与系统的冲激响应构成一对傅里叶变换3/31/20244线性系统的根本性质稳定系统的条件假设一个线性时不变系统，对任意有界输入，其响应有界，那么系统稳定稳定系统的条件是其冲激响应绝对可积物理可实现性〔因果性〕要求在信号参加以前，系统不产生响应，即系统的冲激响应满足3/31/20245线性系统的根本性质稳定的物理可实现系统物理可实现系统的传递函数的所有极点都位于S平面左平面〔不含虚轴〕，那么称此为稳定的物理可实现系统3/31/20246随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性随机输入信号的线性系统，其输出随机过程表示为系统输出的均值3/31/20247随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性系统输出的自相关函数3/31/20248随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性系统输入输出的互相关函数同理：3/31/20249随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性因此可以看到：3/31/202410随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性假设输入X(t)是宽平稳的，那么系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳证：〔1〕〔2〕3/31/202411随机信号通过线性系统 〔3〕

综合(1),(2),(3)，Y(t)为宽平稳过程3/31/202412随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性

X(t),Y(t)为宽平稳过程，且只与时间间隔有关，故X(t),Y(t)联合平稳

卷积形式：3/31/202413随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性假设输入X(t)是宽各态历经的，那么输出Y(t)也是宽各态历经的证：由X(t)的宽各态历经定义3/31/202414随机信号通过线性系统

输出Y(t)的时间平均3/31/202415随机信号通过线性系统

综上，Y(t)为宽各态历经过程3/31/202416随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性物理可实现系统的响应〔1〕无限工作时间的系统〔设X(t)为平稳过程〕3/31/202417随机信号通过线性系统线性系统输出的统计特性物理可实现系统的响应〔1〕有限工作时间的系统3/31/202418随机信号通过线性系统例：如下图的低通RC电路，输入信号X(t)是宽平稳的双侧信号，其均值为，求输出均值解：该电路的冲激响应为 其中~RCY(t)X(t)3/31/202419随机信号通过线性系统例：如下图的低通RC电路，输入X(t)是相关函数为的白噪声，求：(1)输出的自相关函数，(2)输出的平均功率，(3)输入和输出间互相关函数和解：(1)该电路的冲激响应为 其中~RCY(t)X(t)3/31/202420随机信号通过线性系统

将h(t)的冲激响应表达式代入3/31/202421随机信号通过线性系统

讨论，两种情况 当时： 当时，注意到必须满足物理可实现条件，即时有，因此，也就是3/31/202422随机信号通过线性系统

合并上述两个结果，得到输出的自相关函数 (2)令，即得输出平均功率为 (3)3/31/202423随机信号通过线性系统3/31/202424随机信号通过线性系统系统输出的功率谱密度假设输入X(t)为平稳随机过程，线性时不变系统输出的功率谱密度与输入功率谱密度，具有如下关系：其中，是系统的传输函数，为系统的功率传输函数上式说明：线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统的功率传输函数3/31/202425随机信号通过线性系统证明：根据维纳-辛钦定理 且 得到：

令，那么，得3/31/202426随机信号通过线性系统于是：3/31/202427随机信号通过线性系统小结〔假设X(t)为平稳随机过程〕傅立叶变换对维纳-辛钦定理傅立叶变换对维纳-辛钦定理3/31/202428随机信号通过线性系统系统输入与输出之间的互谱密度3/31/202429随机信号通过线性系统例：如下图的低通RC电路，输入X(t)是相关函数为的白噪声，应用频域的分析方法求：(1)输出的自相关函数(2)输出的平均功率(3)输入和输出间互相关函数解：根据维纳-辛钦定理 RC电路的传输函数为

~RCY(t)X(t)3/31/202430随机信号通过线性系统

得到功率传输函数为 因此，输出的功率谱密度为 由于输入为平稳随机过程，故输出也为平稳随 机过程，根据维纳-辛钦定理有3/31/202431随机信号通过线性系统

输出平均功率 互谱密度3/31/202432随机信号通过线性系统 输入输出的互相关函数3/31/202433白噪声通过线性系统白噪声的功率谱为，系统传输函数是，那么线性系统在白噪声作用下，输出功率谱密度完全由系统频率特性决定，不再保持常数输出过程的频率成分受到系统频率特性的加权成形3/31/202434白噪声通过线性系统输出的自相关函数3/31/202435白噪声通过线性系统线性系统输出的平均功率假设系统的冲激响应为实函数〔任何物理系统的冲激响应总是实的〕，那么是的偶函数3/31/202436白噪声通过线性系统等效噪声带宽将一个实际的线性系统等效成一个有矩形传递函数的理想系统，那么这个实际系统输出的不均匀的功率谱密度等效成在一定频带内事均匀功率谱密度的限带白噪声，得到的限带白噪声的带宽称为等效噪声带宽等效原那么：当输入同样的白噪声时，理想系统与实际系统的输出平均功率相等，在频带的中心，两个系统具有同样的功率传递函数值3/31/202437白噪声通过线性系统实际系统是一个低通线性系统理想系统的矩形传递函数理想系统的平均功率3/31/202438白噪声通过线性系统实际系统是一个低通线性系统实际系统的平均功率由功率相等等效原那么得等效噪声带宽3/31/202439白噪声通过线性系统实际系统是一个带通系统理想系统的矩形传递函数同理得到等效噪声带宽3/31/202440白噪声通过线性系统白噪声通过理想低通线性系统理想低通线性系统的频率特性〔正半轴〕白噪声通过系统的输出功率谱3/31/202441白噪声通过线性系统白噪声通过理想低通线性系统输出自相关函数3/31/202442白噪声通过线性系统白噪声通过理想低通线性系统输出的平均功率3/31/202443白噪声通过线性系统白噪声通过理想带通线性系统理想低通线性系统的频率特性白噪声通过系统的输出功率谱3/31/202444白噪声通过线性系统白噪声通过理想低通线性系统输出自相关函数3/31/202445白噪声通过线性系统白噪声通过理想低通线性系统将输出自相关函数表示为为相关函数的包络3/31/202446白噪声通过线性系统白噪声通过理想低通线性系统关于输出相关函数的讨论： (1)输出自相关函数等于与的乘积，其中只包含的成分 (2)当时，系统通带远小于中心频率，称为窄带系统，此时是慢变函