新教材高中数学人教A版学案2-1第1课时不等关系与不等式

第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标]1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点]会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点]用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<，≤，>，≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中，我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；②限制质量：装载总质量G不得超过10t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；⑤时间范围：t∈{t|7.5≤t≤10}．(2)①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.知识点二比较两实数a，b大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形？提示：一般地，对差式分解因式或配方．4．比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．提示：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2]＋3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，所以x2＋3>3x.类型一用不等式(组)表示不等关系[例1]已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各xkg，ykg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用不等式组表示x，y所满足的不等关系．[分析]根据维生素A和B分别至少为56000单位和63000单位列不等式．[解]xkg甲种食物含有维生素A600x单位，含有维生素B800x单位，ykg乙种食物含有维生素A700y单位，含有维生素B400y单位，则xkg甲种食物与ykg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(600x＋700y≥56000，,800x＋400y≥63000，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≥560，,4x＋2y≥315，,x≥0，,y≥0.))1.用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；(2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．2．常见的文字语言与符号语言之间的转换[变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，身高超过1.4米可表示为h>1.4，身高不足1.1米可表示为h<1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：类型二比较大小[例2](1)设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2(2)甲、乙是同班同学，且住在同一小区，两人同时从小区出发去学校，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，且跑步速度大于步行速度，试判断两人谁先到学校．[分析](1)将两个代数式作差，判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间，作差法进行比较．[解](1)∵x∈R，m∈R，∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)＝x2＋(2m－1)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－1,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m－1,2)))2＋2m2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2m－1,2)))2＋m2＋m＋eq\f(3,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2m－1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)>0.∴x2－x＋1>－2m2－2(2)设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，其中0<v1<v2，总路程为2s.则甲用的时间为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙有的时间为eq\f(4s,v1＋v2).因为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v22,v1v2v1＋v2)>0，所以eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙同学先到学校．1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法1作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.2变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论.2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.[变式训练2]设x∈R，且x≠－1，比较eq\f(1,1＋x)与1－x的大小．解：∵eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(x2,1＋x)，而x2≥0，(1)当x＝0时，eq\f(x2,1＋x)＝0，∴eq\f(1,1＋x)＝1－x.(2)当1＋x<0，即x<－1时，eq\f(x2,1＋x)<0，∴eq\f(1,1＋x)<1－x.(3)当1＋x>0，且x≠0，即－1<x<0或x>0时，eq\f(x2,1＋x)>0，∴eq\f(1,1＋x)>1－x.综上可知：当x＝0时，eq\f(1,1＋x)＝1－x；当x<－1时，eq\f(1,1＋x)<1－x；当－1<x<0或x>0时，eq\f(1,1＋x)>1－x.类型三不等式的实际应用[例3]某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[分析]依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．[解]设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)xn，y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)xn＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)xn＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5))).当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．1“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.2这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完整.[变式训练3]某蛋糕师制作A，B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要面粉150g，黄油100g，牛奶50mL；制作一个B种蛋糕需要面粉200g，黄油140g，牛奶70mL.现有面粉1000g，黄油600g，牛奶350mL.若分别制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕．试列出x，y满足的不等式组．解：①制作A，B两种蛋糕需要的面粉不超过1000g，用不等式表示为150x＋200y≤1000；②制作A，B两种蛋糕需要的黄油不超过600g，用不等式表示为100x＋140y≤600；③制作A，B两种蛋糕需要的牛奶不超过350mL，用不等式表示为50x＋70y≤350；④A，B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故x∈N，y∈N.所以x，y满足的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150x＋200y≤1000,100x＋140y≤600,50x＋70y≤350,x∈N，y∈N)).1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元，设x个月后他至少有400元，则关于月数x的不等式是(B)A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400D．30x＋60≤400解析：x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(A)A．M>－5 B．M<－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.故M>－5.3．设a≥0，b≥0，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是(B)A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B解析：由题意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，因为A≥0，B≥0，所以A≥B.4．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据这个事实提炼一个不等式eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)(b>a>0，m>0)．解析：由题意eq\f(a,b)的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，说明eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).5．已知a，b为正实数，试比较eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))与eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．解：方法1(作差法)：(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))－(eq\r(a)＋eq\r(b))＝(eq\f(a,\r(b))－eq\r(b))＋(eq\f(b,\r(a))－eq\r(a))＝eq\f(a－b,\r(b))＋eq\f(b－a,\r(a))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab)).∵a，b为正实数，∴eq\r(a)＋eq\r(b)>0，eq\r(ab)>0，(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，∴eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法2(作商法)：eq\f(\f(b,\r(a))＋\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(b)3＋\r(a)3,\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\r(a)＋\r(b)a＋b－\r(ab),\r(ab)\r(a)＋\r(b))＝eq\f(a＋b－\r(ab),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2＋\r(ab),\r(ab))＝1＋eq\f(\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥1.∵eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))>0，eq\r(a)＋eq\r(b)>0，∴eq\f(b,\r(a))＋eq\f(a,\r(b))≥eq\r(a)＋eq\r(b).方法3(平方后作差)：∵(eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a)))2＝eq\f(a2,b