高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题1.5空间向量基本定理-重难点题型精讲（学生版）

专题1.5空间向量基本定理重难点题型精讲1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．3．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.5．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【题型1空间向量基底的判断】【方法点拨】(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．【例1】（2021秋•揭西县期末）若{aA．b→+c→，b→，b→−c→ B．a→+b→，a→−b→，【变式11】（2021秋•贵池区校级期中）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若p→=2a→−b→A．a→，p→，q→ B．b→，p→，q→ C．r→，p→，q【变式12】（2021秋•河北月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，则下列向量能组成一组基底的为（）A．AA1→，ABC．AA1→，【变式13】（2021秋•朝阳区校级月考）已知{a→，A．a→，B．b→，C．c→，D．p→，q【题型2空间向量基本定理的应用（表示向量）】【方法点拨】用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．【例2】（2022春•梅州期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，CMCB=13，PN＝ND，设AB→=a→，A．a→+13b→+12c→ 【变式21】（2021秋•石家庄期末）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，点M是A1D1的中点，点N是A．12a→+b→+c→ B．【变式22】（2022春•浙江月考）如图，在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M、N分别在线段A．13a→+2C．13a→+【变式23】（2021秋•宜昌期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，点A．12a→+12b→+c→ 【题型3空间向量基本定理的应用（求参数）】【例3】（2021秋•慈溪市期末）已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若BD→=6PA→−4PB→A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【变式31】（2021秋•湖北期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若AG→=xAB→+yAA1→+zA．1 B．12 C．32 D【变式32】（2021秋•新化县期末）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE→=xAB→+2yBC→+3zAP→A．1 B．1112 C．116 D【变式33】（2021秋•思明区校级期中）如图，M，N分别是四面体O﹣ABC的棱OA，BC的中点，设OA→=a→，OB→=b→，OC→A．−12 B．12 C．32【题型4利用空间向量基本定理解决几何问题】【方法点拨】利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【例4】（2022秋•中牟县月考）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、M为空间任意两点，如果有PM→=PB1→+7BAA．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内 C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内【变式41】（2021秋•三门县校级期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设AB→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求AC1的长．【变式42】如图所示，在三棱锥A－BCD