2023-2024学年上海市松江区高二年级上册期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年上海市松江区高二上册期末考试数学试题

一、填空题

1.过点A(2,3),且法向量是〃=(4,3)的直线的点法向式方程是—.

【正确答案】4(x-2)+3(y-3)=O

【分析】利用直线的点法式方程写出即可.

【详解】根据直线的点法式方程可得直线的点法式方程.4(x-2)+3(y-3)=0

故4(x-2)+3(y-3)=0

2.用数学归纳法证明1，+±+...+」一<11(1£M,11>1)时,第一步应验证的不等式是—.

9=5∏-11

【正确答案】∣+⅛2

【详解】由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是l+i+i<2.

7□

3.若数列｛4｝为等比数列，且4+%=l,a3+a4=2,则45+^6=.

【正确答案】128

【分析】设公比为4，由今詈=d,则%+46=(4+%)，4代入求解即可.

【详解】设公比为4,则相=?詈=2,所以/+%=(%+/W'=128.

故128

4.若直线/的斜率为左，倾斜角为α且αe[J,学1,则k的取值范围是___.

44

【正确答案】(-∞,-l]u[l,+∞)

【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.

【详解】.A=tanα,且αe[f,当，

44

rM≤-1或&≥:1,

即k的取值范围是(y,-l]51,+e).

故答案为∙(-8,T]<Λl,+8)

5.某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中

得分的方差为.

078

10579

213

1129

【正确答案】32.25##32-##——

44

【分析】先计算出甲比赛中得分的均值，再利用方差公式可求得结果.

【详解】甲在比赛中得分的均值为[=:(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,

8

方差为S?=(X[(-8)2+(-7)2+(-5)2+O2+22+42+62+82]=32.25.

故答案为.32.25

二、解答题

6.直线y-2=O与直线y=2x-l的夹角大小等于.(结果用反三角函数值表示).

【正确答案】arctan2

【分析】先分别求出两条直线的斜率，再套用夹角公式即可求出答案.

【详解】直线y-2=0与直线y=2x-l的斜率分别为0和2,设它们的夹角为内

0-2

所以Iane=-~~――=2,则6=arctan2.

l+0×2

故答案为.arctan2

三、填空题

7.已知数列｛q｝的前”项和S,,=2"M-2.则数列｛α,,｝的通项公式为.

【正确答案】4=2"

[S,-Srt1,n≥2

【分析】根据公式为=;7求解即可.

【详解】解：当〃=1时，a,=S,=22-2=2;

+,n+n

当“≥2时,an=Sπ-S42"-2-(2"-2)=2'-2=2".

因为4=2也适合此等式，所以4=2”.

故。=2"

8.已知圆锥的体积为由左，母线与底面所成角为g,则该圆锥的表面积为_____.

33

【正确答案】3万

【分析】设圆锥底面半径AO=OB=r,则母线长∕=S4=2r,高SO=百r,

则Vz∙6r=2^4,求出r=l,I=SA=2,该圆锥的表面积为S=乃〃+万户，由此能

33

求出结果.

【详解】解：圆锥的体积为祖乃，母线与底面所成角为g，

33

，如图，设圆锥底面半径AO=Q8=r,则母线长∕=%=2r,高So=后,

解得r=∖7I=SA=2fSO=ʌ/ɜ，

该圆锥的表面积为S=πrl+πr2=2π+π=3关.

本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

9.已知直线/过点P(Y,1),且与直线“：3x-y+l=0的夹角为arccos=叵，则直线/的方程

10

为.

【正确答案】4x-3y+19=0或X=Y.

【分析】先求tan(arccos噜)，再根据夹角公式求得直线/的斜率，利用点斜式即可求出直

线/的方程.

【详解】设直线/的斜率为人,

因为cos(arccosɜʌʌθ)=ɜʌʌθ，且arccosɜʌʌθ为锐角，

101010

所以sin(arccoscos2(arccos

所…浮吧F卜怎—T

cos(arccosɪθ)

故过点尸(-4/)，且与直线加：3x-y+l=O的夹角为arccos±何的直线/的方程

10

4

为y-l=§(x+4),即4x-3y+19=0.

当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程x=-4,符合题意.

所以直线/的方程为4x-3y+19=0或χ=-4.

故4》一3尸19=0或》=7

10.如图所示，设正三角形Tl边长为a,I用是刀,的中点三角形，A“为Z,除去看”后剩下三个

三角形内切圆面积之和，求Iim(A+4+L+4)=_____.

“—>00

【分析】第一个中点三角形ABCl的边长为对应的内切圆半径r=gjga)20)2,从

而求得A，再根据相似的性质可得。=；,依次类推，从而根据无穷小数列即可求解.

A24

【详解】记第一个中点三角形为正三角形△A1B1C1,则^ABcl边长为gα,

内切圆半径为r=*4心)2=杀a,

所以A=兀x（旦］x3=2空

1214416

因为△A2BzG与△44C相似,并且相似比是与2,

则面积的比是1:4,所以A,=吧IX',

164

因为正△A3B3C3与正△的面积的比也是1:4,所以A=KXP■],

16⑷

2

πα<1ɪ>>时

所以Iim(A+4++A”)=Iim」6(JJ=_L^_=.

7

n→<x>\Λ→ο>1112

1----1----

44

故答案为.空ɪ

12

11.已知集合A=｛x∣x=2〃一l,"cN*｝,B=kk=2",weN*｝,将AuB中的所有元素按从

小到大的顺序排列构成一个数列｛«„｝,设数列｛«„｝的前∏项和为Sn,则使得S11>IO(M)成立的

最小的〃的值为.

【正确答案】36

［分析】由题可得2"为数列｛«„｝的2"τ+〃项，且利用分组求和可得Sy1=4"~,+2n+,-2,

通过计算即得.

【详解】由题意，对于数列｛%｝的项2"，其前面的项1,3,5,2',-leA,共有2"∣项,

2,22,23,∙∙∙,2"∈B,共有〃项，所以2"为数列｛4｝的2"-∣+〃项，

n)'>|

且S?.%,=[(2xl-l)+(2x2-l)+…+QX2"T-1)]+(2+22++2")=4^'+2-2.

可算得产+6=38(项)，&=64，S38=1150,

因为%=63,α⅛=61,a3s=59,所以S37=IO86,S36=1023,S35=962,

因此所求”的最小值为36.

故36.

12.已知递增数列｛qJ共有2017项,且各项均不为零，为。"=1,如果从｛«„｝中任取两项4吗,

当i<∕时，％-4∙仍是数列｛4｝中的项，则数列｛4｝的各项和$7=.

【正确答案】1009

【详解】•••当i<∕时，仍是数列｛%｝中的项，而数列｛q｝是递增数列，

al,-αn,1<an-a„_2<an-a„_3<<an-a,<al,,

所以必有ɑ,,-ɑ,ɪ=α∣,an-an_2=a2all-al,利用累加法可得：

(〃-1)%=2(4+4+故S,,="区，得S刈7=®鲁=IOo9,

故答案为1009.

点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定

难度；根据题中条件从也｝中任取两项4吗，当i<∕时，区仍是数列｛4｝中的项，结

合递增数列必有4-α,τ=aI，a,,~a,,-2=a2a,,~aι=¾-∣.利用累加法可得结果.

四、单选题

13.已知直线4：细+y+ι=o与直线4：&χ+yτ=o,那么“占=勺’是“"％”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】C

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可

【详解】解：当占=履时，”4,而当"4时，k∖=k[,

所以“占=k2”是““4”的充分必要条件，

故选：C

14.设A,8为两个随机事件，以下命题错误的为()

A.若4B是独立事件，P(A)=I尸(B)=I,则P(A可=J

B.若AB是对立事件，则P(AuB)=I

C.若AB是互斥事件，P(A)=∣,P(B)=L则尸(AB)=y

D.若p(司=g,P⑻=；，且P(M)=；,则A8是独立事件

【正确答案】C

【分析】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一判断.

【详解】对于A：当AB是独立事件时，A,5也是独立事件，

ΛP(AB)=P(A)∙P(B)=1×(1-1)=1A正确；

对于B：当AB是对立事件时，P(AB)=P(A)+P(B)=1,B正确；

对于C：当AB是互斥事件，P(A)=!，P(B)=2,则P(Aβ)=P(A)+P(B)=→^=∣,C

32236

错；

对于D：啊=j.∙.P(B)=(,.∙.P(孙P(B)=gx?=;=尸画，故和B是独立事件,

即A8是独立事件，D正确.

故选：C

15.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内

切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方

盖”的体积之比应为兀：4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为()

,-16128

A.16B.16√r3C.—D.----

33

【正确答案】C

【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖''的体积.

【详解】正方体的棱长为2,则其内切球的半径r=l,

4,4

正方体的内切球的体积V球=—π×Γ=彳兀，

.,V球π4416

又由已知F="»合方『『广亍

故选C.

本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题.

16.己知点O(0,0)、A(2,3)和稣(5,6),记线段AA的中点为小取线段4出和勺综中的

一条，记其端点为4、B∖,使之满足(IoA-5川。闻-5)<0,记线段A田的中点为g,取

线段AE和鸟Bl中的一条，记其端点为&、B2,使之满足(IC阂-5.0因-5)<0,依次下

去，得到点<、P,、P3、L、P“、L,则!吧用=()

A.√2B.√5C.√3D.3

【正确答案】A

【分析】计算出线段4线上到原点距离等于5的点为尸的坐标，分析可知［、P2,L、P八

L的极限为P(3,4),利用极限的定义以及两点间的距离公式计算可得结果.

【详解】由(IoAI-5)(∣3∣-5)<0得和Q叫一个大于5一个小于5,

设线段4且上到原点距离等于5的点为P(X,y),

2Ξ2Ξ

由后丁=5且∣=J,得X=3,y=4,

n'x-2x-5

所以线段4稣上到原点距离等于5的点为P(3,4),

若(IoaI-5*0闻-5)＜0,则A、鸟应在点5(3,4)的两侧,

所以第一次应取4、与、4、B纥L中必有一点在P(3,4)的左侧，一点在P(3,4)的右侧,

因为＜、鸟、L、P“、L是中点，所以＜、尸2、L、P,,、L的极限为*3,4),

所以Jirn∣AΛl=HH=7(2-3)2+3(3-4)2=√2.

故选：A.

五、解答题

17.已知直线∕∣:3x+γ+2=0,l1.mx+2y+n=0

(1)若4_L，2,求机的值；

(2)若I11/I2,且直线∕l与直线I2之间的距离为JiG,求4的方程.

2

【正确答案】(1)-：

(2)3x+y+12=0或3x+y-8=0.

【分析】(1)由两直线垂直，可得斜率乘积为-1,列方程可得答案；

(2)由两直线平行，斜率相等可求出m的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出〃的

值,即可求出直线方程.

【详解】⑴设直线/J的斜率分别为4,&，则K=-3-=~^∙

若一，

.3m

则nK1X玄i=—=-1t,

2

2

/.m=——

3

(2)若“〃2，则一3=-£=〃2=6,

••/2可以化简为3χ+y+]=0,

又直线《与直线4的距离=√io,

^√io

，〃=24或几=T6,

所以直线方程为3x+y+12=O或3x+y-8=O.

18.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCl)为直角梯形，BCHAD,ABJ.BC,ZADC=ASo,

(1)求点。到平面PBC的距离；

(2)求二面角B-PC-O的平面角的余弦值.

【正确答案】(1)—(2)三叵

211

【分析】(1)建立空间直角坐标系，计算平面P8C的法向量，由点面距离的向量公式即得

解；

(2)计算平面PCZ)的法向量，结合(1)中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即

得解

(1)由题意，PAJ_平面ABa),BC//AD,ABlBC,

.-.ABJ-AD

以A为坐标原点，AB,4λAP所在直线为X,XZ轴建立如图所示的空间直角坐标系

则P(O,0,1),B(1,O,O),C(1,2,O),D(0,3,0),

设平面PBC的一个法向量为Zi=(X,y,z),

PB=(1,0,-1),BC=(0,2,O),CD=(-ɪ.1,0),

n`PB=x-z=O

取X=1,得〃=(1,0,1),

n∙BC=2y=0

明。|_夜

.•・点。到平面的距离

P8Cd=ɪɪɪ

(2)由(1)可得平面尸BC的一个法向量为〃=(1,0,1),

设平面PCD的一个法向量为"2=3"C),

PC=(1,2,-1),CD=(-h1,0),

m∙PC=a+2b-c=0

取α=l得m=(1,1,3)，

m∙CD=-α+⅛=0

设二面角B-PC-D的平面角为a,由图得二面角为钝角

m∙nI4—2>∕22

故CoSa=一|

Imil川11

19.全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续〃天监测

空气质量指

[0,50)[50,100)[l∞,150)[150,200)[200,250)

数(〃g/%3)

空气质量等

空气优空气良轻度污染中度污染重度污染

级

天数2040mIO5

(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出小机的值，并完成频率分布直方图;

⑵在空气质量指数分别属于［50,100)和［150,200)监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天,

再从中任意选取2天，求事件4“两天空气都为良”发生的概率.

【正确答案】⑴〃=IOO,∕n=25,直方图见解析

(2)1

【分析】(1)根据频率的定义可求得〃，从而求得相，进一步计算每组的频率，从而完成频

率分布直方图;

⑵根据分层抽样的定义可以确定空气质量指数为［50,100)和［150,200)的监测天数中分别抽

取4天和1天，再根据古典概率模型计算公式即可求解.

【详解】(1)因为0.004x50=—,解得〃=IO0,

n

因为20+40+帆+10+5=100,解得加=25,

4025105

=0.008,=0.005,=0.002,=0.001.

100x50100x50100×50IOOX50

完成频率分布直方图如图:

频率

0.008

0.007

0.006

0.005

0.004

0.003

0.002

0.001----1空气质量指数(μg∕ι∏3)

O50100150200250X

(2)空气质量指数为［50,100)和［150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，

在所抽取的5天中，将空气质量指数为［50,100)的4天分别记为〃力,Gd,将空气质量指数

为［150,200)的1天记为。.

从中任取2天的基本事件分别为(。,力),3,c),Qd),3,e),(b,c),(h,d),(b,e),(c,d),(Ge),

(d,e),共10天，

其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为3㈤,3,c),Qd),(btc),(Ad),(c,d),

共6天，

所以事件A”两天空气都为良”发生的概率P=^=∣.

20.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且邑=-18,S11=O.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

q

Q）若b"=",求证：数列｛〃｝是等差数列.

n

⑶求数列｛∣为∣｝的前"项和1.

【正确答案】（IM=2〃-12

（2）见解析

⑶IF=1∖2∖n-rr,∖,<n,<5

In^-1ln+60,n≥6

【分析】（1）设等差数列｛q｝的首项为4、公差为d,利用等差数列的前〃项和公式得到关

于卬和d的方程组，进一步求出通项公式；

（2）先利用等差数列的前〃项和公式求出5“和打，再利用等差数列的定义进行证明；

（3）利用绝对值的代数意义和分类讨论思想，按1≤“≤5或∕1≥6分别进行求和.

【详解】（1）解：设等差数列｛%｝的首项为4、公差为d,

因为S2=T8,S11=O,

2a+<r∕=-18

所以l

11%+55d=0'

a=-10

解得l

d=2

所以为=-10+2(〃-1)=2〃-12,

即数列｛”,,｝的通项公式为%=2〃-12.

2

(2)解：由(1)得：Stl=------------------=n-11/?,

S

b一F一11,

nn

则⅛+.-bn=[(n+1)-11]-(n-11)=1,

所以数列出｝是等差数列.

(3)解：当1≤"≤5时，an=2n-l2<0,

2*4

Tn=-at-a2------4=Tq+a2+---+aιl')=-Sll=Πn-n,

当〃上6时，47,,=2H-12≥0,

τ

,,=-al-a2-a3-a4-as+afl+aj+---+all

=q+/+%+。4+%+。6+%+…+。〃—2(%+生+%+。4+。5)

2

=Szr—2S5=M—1lπ÷60；

lln—π2,l<n≤5

综上所述,工、=

n2-11/7+60,n≥6

21.若数列｛4｝的前“项和为%且满足等式4+25“=3.

(1)求数列｛q,｝的通项公式；

(2)能否在数列｛%｝中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；

1

(3)令H=Iogl为+；,记函数/(x)=bnx+2b,,+ix+%?(〃∈M')的图像在X轴上截得的线段

3乙

12"T

长为C，设骞=:(“2+。2。3+…+GTG)S≥2),求小并证明.取口T>-

4nn

1Γ-Ξ(2Ξ1)

【正确答案】(1)¾=-；(2)不存在，理由见解析；(3)'"一1,证明见解析.

3n——

2

【分析】(1)由递推式，结合α”,2S“的关系易得｛"“｝是首项为1,公比为;的等比数列，写

出通项公式即可.

(2)令l≤Z<"z<〃有成等差数歹U，利用等差中项的性质可得3g*+3"f=2,再结

合3吁《+3时”的取值范围，易得矛盾结论，即证存在性.

(3)由题设可得％~4再应用