2023-2024学年广东省东莞市东莞市高二年级上册开学考试数学试题（附答案）

o

20232024学年广东省东莞市东莞市高二上册开学考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活

动.为评估本次教育活动的效果，拟抽取150名同学进行党史测试.已知该校高一学生360

人，高二学生300人，高三学生340人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为

（）

A.60B.54C.51D.45

O

2.若复数z满足°+z)i=l-z

而（i为虚数单位），贝（|z=（）

抑

A.-iB.iC.1-iD.1+i

3.如图所示的正方形的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原

图形的面积为（）

O

A.45/2cm2B8cm2c_80cm2p16cm2

4.在平面直角坐标系中，"（1"）,8（3,3）,则向量次在向量方上的投影向量为

教

（）

A.（5’5）B.15可C.D.（5'5）

O5.如图所示，直三棱柱一中，N8C/=60。，MN分别是4G，°G的中点,

BC=CA=CQ,则3N与所成角的余弦值为（）

8

O

01/20

3423

A.5B.5C.5D.4

6.某班12名篮球队队员的身高（单位：cm）分别是：

162,170,170,171,181,163,165,179,168,183,168,178则第85百分位数是

（）

A.178B.179C.180D.181

7.在中，/C=3,BC=2AB,则C4CB的取值范围是（）

-9£

A.」B.（⑼c卬8]D,（6J8）

8.已知三棱锥P-/3C的四个顶点在球。的球面上，P4=PB=PC,A43C是边长为2的

正三角形，E、/分别是P/、48的中点，£尸1平面尸/C,则球。的体积为（）

A.8B.4C.2D.瓜兀

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9.已知某随机试验的两个随机事件48概率满足P（/）＞°，P（团事件C=，，事件/与事

件3恰有一个发生“，则下列命题正确的有（）

A.若B=N,则48是互斥事件

B.若/,8是互为独立事件，则/,8不可能是互斥事件

C尸（/U8）＞尸（C）

D.P（/n8）＜P（C）

10.己知O8C不是直角三角形，内角4民°所对的边分别为。也c,贝u（）

AsinC=sin（4+8）BcosC=cos（4+B）

「tarU+tanS

tanC=----------------

C.tarL4tan5-1D.〃二b7cosC+ccosB

11.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险;

丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5

个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则（）

02/20

人均参保费用/元

不同年龄段人均参保费用

A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成

C.18—29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元

12.如图，在等腰梯形N5CD中，AB//CD48=2"0=2CZ）=2.将沿着翻折，

使得点。到点P,且/P'BC.下列结论正确的是（）

A.平面4PCL平面48c

B.二面角48-C的大小为45。

C.三棱锥尸一43C的外接球的表面积为5兀

V21

D.点C到平面/P8的距离为7

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数

为172cm,方差为120,女生样本平均数165cm,方差为120,则总体样本方差是.

03/20

14.在A/3C中，角4民C的对边分别为应“c,已知。=x,6=10,一5,则使该三角

形有唯一解的x的值可以是.（仅需填写一个符合要求的数值）

15.某电路由48,C三种部件组成（如图），若在某段时间内4民C正常工作的概率分别为

323

不§行，则该电路正常运行的概率为.

r-ClZH

-\A\--1CI—

—IgI-

16.在平面直角坐标系x°y中，点尸为单位圆。上的任一点，"（3，°）、若

OP=^OM+^iON,则3%+〃的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.现有7名学生，其中4,4的数学成绩优秀，及，层的物理成绩优秀，G,CZ的

化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞

赛.

（1）求G被选中的概率；

（2）求4和4至多有一个被选中的概率.

18.如图，在长方体木块/'CO-4862中，AB=6,BC=5,"4=4.棱44上有一动

点E.

（1）若4"=2,过点E画一个与棱8c平行的平面a,使得a与此长方体的表面的交线围成一

个正方形斯G.（其中交线在平面/BCD内）.在图中画出这个正方形MG"（不必说

出理由），并求平面跳'G"将长方体分成的两部分的体积比；

（2）若平面/"C交棱°于0,求四边形AEC.Q的周长的最小值.

19.现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食

04/20

性鱼类及其制品中汞的最大残留量为l.Omg/kg,近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条,

从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值(mg/kg),由测量结果

制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；

(2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；

(3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼

汞含量有超标的概率.

20.如图，在平面四边形NBCD中，点8与点。分别在直线/C的两侧，BC=CD=2.

cosZ.CAD--

(i)当3时，求的面积;

71

ZABC=2ZADC>--

(ii)若2,求/48C

71

厂ZBAD=-

(2)已知力。=。245,且4,求4c的最大值.

21.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面48co是正方形，侧棱尸。1底面/BCD,

PD=DC

05/20

H

(1)证明：平面尸/CL平面

£CH_

(2)点”在棱PC上，当二面角〃--°的余弦值为3时，求［万.

22.地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动.因这种现象是地球自转造成的人的

视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反

映.研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化

现象、设计建筑物日照时长等有重要意义.太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也

与观测者当地的纬度有关.下图为春分(或秋分)日北纬45。某地(如我国哈尔滨、松原、

鸡西等地区)的太阳周日视运动轨迹图，。为当地观测者位置，圆平面用反是观测者所在

的地平面.直线4鸟为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面区4附，且与直线码在

同一圆面上.两直线4鸟和NS相交于点°,夹角/PQN为45。.太阳早上6:00从正东方

E点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A,傍晚6:00从正西方水点处落入地平面.

(1)太阳视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？

(2)若图上8点为下午3:00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度(即直线8°与地

平面的夹角)为多少？

06/20

1.B

【分析】先求出抽样比，乘以总人数即可求出抽取高一学生的人数.

..„360_.

150x--------------------=54

【详解】360+300+340,

所以应抽取高一学生人数为54人，

故选：B.

2.A

【分析】对已知等式化简直接求解复数z

【详解】由("z)i=l-z,得1+上=〜,

O-O2i-2i+i2..

1+i(l+i)(l-i)2

故选：A

3.C

【分析】根据斜二测画法的规则，可得℃=4也，结合面积公式，即可求解.

【详解】由正方形OWC®的边长为2cm,可得。0=20,

根据斜二测画法的规则，平面图形。/C3中，可得℃=4行，

如图所示，所以原图形O4C8的面积为S=O/xOC=2x4收=8行.

【分析】根据题意，求得囱=。，2),9=(2,1),得到网=6°儿/8=4,结合投影向量的

计算方法，即可求解.

【详解】由平面直角坐标系x帆中，以3,3),可得力=(1,2),方=(2,1),

01/20

则网=右屈.刀=4

OA-AB04_4148.

)=(?^

所以向量次在向量力上的投影向量为

故选：B.

5.A

【分析】分别取"、理的中点"E,则8N//GE,AM〃CQ,所以可与3所成角

的大小等于不妨设BC=2,解三角形即可.

【详解】如下图所示:

分别取NC、的中点0、E,连接CQBD,由题意有2N〃GE,/CQ,

所以8N与/”所成角的大小等于不妨设BC=2,则/M=BN=石，所以

DCX=C]£=«

又因为/8G4=60。且2C=C4=2,所以8。=6,DE=2；

DC：+EC：-DE?_6__3

ADCE=

cosX10

由余弦定理可得2DC]EC、2XA/5x^5飞,所以BN与

3

//所成角的余弦值为5.

故选：A.

6.D

【分析】由于12X85%=10.2,所以对这12个数从小到大排列后取第11个数即可

【详解】这12个数从小到大排列为：

162,163,165,168,168,170,170,171,178,179,181,183,

因为12x85%=10.2,

所以第85百分位数为第11个数181,

02/20

故选：D

7.D

【分析】设/8=x,利用余弦定理求cosC,结合数量积定义求CHC8,结合x的范围求数

量积的范围.

［详解］设/2=x,贝！15c=2x,2x-x<3,2x+x>3,

所以l<x<3,

「C^+CB--AB29+3/

cosC/=----------------------=----------

由余弦定理可得2CA-CB12x,

声.丽=|函|函cosC=6xx"至=吃生

所以।।⑵2,

所以6<5•丽<18,

所以9•屈的取值范围是（6,18）.

故选：D.

8.D

【分析】根据条件，得到尸4PdPC两两垂直，将三棱锥尸-N8C放入正方体中，计算外接

球半径，再计算体积得到答案.

【详解】£、尸分别是P4的中点，则EF〃尸3,即1平面尸/C,则尸8,平面P/C,

24尸0<=平面尸/。，故尸8，尸/,PB工PC,

根据条件可知，△•8nPAC,

故尸/'PC,所以P4P8,PC两两垂直，

将三棱锥尸-43C放入正方体中，如图所示:

因为A4BC是边长为2的正三角形，所以正方体的边长为也,

-2+2+246

InX--------------------

故外接球半径22,

03/20

4r-

V=-nR3=<67t

所以球O的体积3

故选：D.

9.AB

【分析】利用对立事件与互斥事件的关系可判断A,利用独立事件的概念及互斥事件的概念

可判断B,根据和事件的概率及互斥事件的概念可判断C,利用特例可判断D.

【详解】对于A,若8=1,则45为对立事件，它们一定是互斥事件，故A正确；

对于B,若Z,8是互为独立事件，由?(/)>0,尸(团>0,则尸(/*(8)>0,则

A,8不可能是互斥事件，故B正确；

对于C,因为表示“事件/与事件8至少有一个发生“，尸(/U3)N尸(C),当48为互

斥事件时，P(QB)=P©,故c错误；

对于D,例如掷一次骰子，事件A表示得到1或2点，事件5表示得到1点，则事件C表示

得到2点，

所以「⑷=尸©I,此时中。昨尸(。故口错误.

故选：AB.

10.ACD

【分析】对于AB,利用诱导公式分析判断，对于C,利用两角和的正切公式分析判断，对

于D,利用正弦定理分析判断.

［详解］对于A,因为°=兀_(/+8),所以sinC=sin［兀_(N+8)］=sin(/+B),所以人正

确,

对于B,因为C="(/+8),所以cosC=cos［兀-(/+期=-cos(/+5),所以B错误,

对于C因为。=兀一(八8),所以tanC=tan［兀一(Z+8)］=-tan(/+8)

tan4+tan8_tan/+tan8

1-tantanBtan^4tan5-1,所以C正确,

对于D,因为/=兀一(8+C),所以sin/=sin［兀_(3+C)］=sin(8+C),

sin4=sin(B+C)=sin5cosc+sinCcosB

所以

所以由正弦定理得。=6COSC+CCOS8,所以D正确,

故选：ACD

04/20

11.ACD

【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.

【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例1-0Q2-0Q4-0.1-0.3=0.54,故A

正确；

由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B错误；

由不同年龄段人均参保费用图可知，18~29周岁人群人均参保费用最少GO。。，"。。），但是

这类人所占比例为15%,

54周岁以上参保人数最少比例为10%,54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18—29周

岁人群参保的总费用最少，故C正确.

由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元，故D正确；

故选：ACD.

12.ACD

【分析】根据面面垂直的判定定理判断A,利用二面角平面角的定义，作出二面角的平面角

并证明，计算正切值即可判断B,根据球的性质确定圆心位置，再由勾股定理及球的面积公

式求解判断C,利用等体积法求出点到面的距离判断D.

【详解】AABC中，AB=2,BC=AD=\,ZABC=60,

由余弦定理可得AC1=4s°+BC~-2AB-BC-cos60°=3,

•.•AB2=AC2+BC29••.BC1AC.

■：BC1AP,APcAC=A,/P，/Cu平面/pg.gCi平面NPC,

•.\BCu平面4BC,平面4PC_L平面48C,故A对；

取NC的中点£点，过点£作匹，/5于点H如图，

.•.PA=PCf-PEVAC，

•.•平面/POL平面/BC,平面/pen平面/8C=/C,PEu平面APC,

.•・PEI平面/BC,又N8u平面4BC,，尸EJL/8,又「EFLAB,PECEF=E,PE,EFu平

05/20

面PE尸，，48工平面P斯，而尸尸u平面尸£尸，

尸，.•.乙1是二面角P-AB-C的平面角，在RgPFE中,

1-7T7AUJ3.,„5/3/DT7T7PE2A/3

PnEc=—,EF=AEr-smZ.FAE=——sin300=——,tanZ.PFE=----=-----

224EF3,故B错;

在RtA42C中，取48的中点过。'点作尸£的平行直线，如图，

由尸E，平面ABC可知OO'l平面ABC,又O'为底面^ABC的外接圆圆心，

则三棱锥尸-23C的外接球的球心。在这条直线上，设外接球。的半径为R,

过O作OK〃。支交尸£于K,易知四边形OO'EK为矩形，

则在RtZX/OO'与R3PKO中，KE=00'=yJOA2-AO'2=依-1,

PK=KE+PE=OO'+PE=-+，及「I=y]PO2-OK2=^-O'E2

2

=V7?2-1+-R2=-S=4TCR2=4兀・。=5兀

2,解得4,故外接球。的表面积为4,故C

对;

77G

,十色Vp-ABC=鼻54Be,PE=鼻乂不又｝=不

由PE1平面ABC,3A32212.

_3

在△尸/B中，PA=l,PB=e,AB=2t由余弦定理得c°"'"'一4’...

sinNPAB=-,S.p.K=-PA-ABsinAPAB=—

4'24,设点C到平面/pg的距离为力由

VC-PAB=%.可得7，故D对.

故选：ACD

13.132.25

06/20

【分析】由已知求出总体平均数，然后根据分层抽样总体的方差公式，代入相关数据，求解

即可得出答案.

—2-2

【详解】设男生样本平均数为无，方差为女生样本平均数为了，方差为小,总体平均数

为1，总体方差为4,则由已知可得以=172,s；=120,了=165,s；=120,

-100x+100j^x+y

z=---------------=-------=168.5

所以，总体平均数2002

根据分层抽样总体的方差公式可知,

总体样本方差s”5｛明+G-办小+”J

122

--------X^00x[120+3.5]+100[120+3.5]}=132.25

200

故答案为.132.25

14.8（答案不唯一，满足工=8或即可）

sin§-台0n4_10*5_8

[分析]在05c中，由正弦定理得到sm_Q_x―、，再分0<x<8,x=8,

8Vx<10,x>10时讨论求解.

,3

cos^4=一

【详解】解：在“8C中，a=x,6=10,5,

4

a_b$出3_°sinN_I。*5_8

由正弦定理得：sin/sinB,贝ijaxx,

当0<x<8时，sinS>l,三角形无解；

B=-

当x=8时，sinS=l,2,三角形有唯一解；

Be。,[

当8<x<10时，即a<6,则/<3,由cos”>。，得I2九I2J或12人

所以三角形有两解,

当xN10时，即则由cos/>0,得12人12J,

因为y=smx在I2J上单调递增，所以三角形有唯一解；

故8（答案不唯一，满足*=8或XN10即可）.

8

15.25##o.32

07/20

【分析】要使电路正常，则需要/正常，两个2至少有一个正常，C正常，利用独立事件的

概率公式求概率即可.

【详解】要使电路正常运行，则需要/正常，两个5至少有一个正常，C正常，

所以电路正常运行的概率为5I33J525

8

故答案为.25

16.6

A=—cos6+—sin。

<33

【分析】设点尸（cosdsin。），利用平面向量数量的坐标运算可得出〔〃=sin”,可

得出32+〃的表达式，利用辅助角公式结合正弦型函数的最值可求得我+〃的最大值.

［详解］设点尸(cos',sin。),由。P=4(W+〃QN=/l(3,0)+〃(-l,l)=(3/l-〃,〃),

2=—cos^+—sin^

32-//=cos033

〃=sin。

所以,〃=sine,可得

厂_J_

所以3/1+〃=sin夕+cos夕+sin夕=2sin夕+cos夕=J5sin(6+0)。为锐角且匕口。,

所以，32+〃的最大值为后.

故答案为.石

17.（1）2

5

⑵6

【分析】（1）利用列举法求得样本点的总数，以及所求事件中所包含的样本点的个数，结合

古典概型的概率计算公式，即可求解；

（2）根据古典概型的概率计算，求得对立事件的概率，进求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：用（*//）表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，

。=｛（4，稣。）（4，练。2）,（4，鸟,。）（4，%。2），（4，耳，。1）

则对应的样本空间

(4,5,C),(4,5,C),(4,5,C),(4,5,C),(4,5,C),(4,5,C),(4,5,C)}

12212211122122共有12个

08/20

样本点，

记事件M="G被选中，，，则

河=｛（4,4，。）（4也。）,（4，耳6）,（4，仄6）,（4，耳6）,（4也6）｝,

共有6个样本点，所以a被选中的概率122.

（2）解：记事件N="4,⑸至多有一个被选中，，，则其对立事件后="4,4全被选中，，

—21

可得N=｛（4,4C）,（4,4C）｝,共2个样本点，所以126

—15

P（N）=1-P（N）=1--=-

由对立事件的概率公式得66.

75

18.（1）作图见解析，体积的比值为或7

⑵6vH

【分析】（1）分别在GA,",8上取尸，G,H使°尸=2,AH=DG=5,则交线围

成的正方形斯G",在计算两直棱柱的底面积，即可得到其体积之比；

（2）根据面面平行的性质得到GO"/",同理可得GE〃/0,所以四边形"EG。为平行四边

形，依题意当且仅当/E+EG最小时四边形"EG。的周长最小，将平面48片4沿4片翻折

到与平面44GA同一水平面，利用两点之间线段最短求出最小值，即可得解.

［详解］（1）分别在GA,AB,上取尸，G,H使可=2,AH=DG=5,

则B〃=CG=1,8］£=G尸=4,此时142+（5-2）2=5,

又EF=HG=BC=5,又EFUA%&DJ平面/期

所以跖/平面/8片4,平面月4,所以EFLEH,

则交线围成的正方形MGX如图所示.

因为2CGH为矩形，所以BC//GH,

又2cz平面EFGH,GHi平面EFGH,所以BCII平面EFGH

09/20

因为长方体被平面a（正方形EFGH）分成两个高为5的直棱柱，

{AxE+AH）xAxA

SA】EHA______2_______

SBHEB、（BH+B、E）XB'B5

所以其体积比为它们各自的底面的面积比，又2

V'A]EHA-D、FGD_SA/HA_7J_

所以—BHEBi-CGFGSBHEB、'

（2）平面'EG交棱⑵于Q,

因为平面平面DCCR,平面4844A平面AEC.Q=AE,

平面OCGAA平面NEGQ=C©,

所以CQ/NE,同理可得GE"。，所以四边形/EC©为平行四边形，

平行四边形""GO的周长最小当且仅当/£+£G最小，将平面旦4沿4月翻折到与平面

4月G2同一水平面，

当4凡G三点共线时，"£+因最小为*+（5+4）2=3屈,

故四边形AEC'Q周长最小为65.

(2)100。

⑶万

10/20

【分析】(1)由频率之和等于1得出。，进而由平均数的公式求解即可；

(2)求出样本中汞含量在1°，2-4］内的频率，利用频率进行估计；

(3)由概率的乘法公式计算甲乙两人购买的鱼汞含量有超标的概率，进而得出所求概率.

［详解］(1)由。.4(0.35+a+0.8+a+0.25+0.1)=1,解得。=0.5.

则这200条鱼汞含量的样本平均数为

0.4(0.2x0.35+0.6x0.5+1.0x0.8+1.4x0.5+1.8x0.25+2.2x0.1)=1.016

(2)样本中汞含量在口Q2.4］内的频率为1-0.4(0.35+0.5)-0.2x0.8=0.5

则估计进口的这批鱼中共有0-5x2000=1000条鱼汞含量超标.

(3)由题意可知，样本中汞含量在口02.4］内的频率为5.

।113

1—X—=—

则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为224,

顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为万.

3八1"3、1_1

-X1----+1------X-=-

则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为4I2JI22.

V155兀

20.(1)(i)2.(ii)6.

⑵2+2夜.

【分析】(1)(i)利用余弦定理结合已知求出NC,再借助等腰三角形性质求出面积；(ii)

利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答.

NABDJ

(2)连接引人由已知结合余弦定理可得2。=2,再利用余弦定理、二倍角

公式、辅助角公式求解作答.

…八2/一42

cos/CAD=--------=—

【详解】(1)(i)设NC=x,在A/C。中，由余弦定理得2x23,解得

x=V6,

在一g中，AB=BC=2,则底边/C上的高卜=厚，心=Fl=孚,

-X&X风姮

S

所以的面积2222

TT17T

ABAC=ZBCA=-——ZABC=--0

(ii)设=依题意,222

11/20

sin2<9=-

贝U/D=/C=2Z8cosZ84C=4sme,CD=2ADcosZADC=8smcos0=27即2,

-<ie<7i

而2

5兀

/ABC=29=——

所以6

71

r-ZBAD=-

(2)连接8。，△AB。中，AD=^2AB,4

5

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcos—=AB2+2AB2-2AB-^AB-^—=AB1

由余弦定理得42

ZABD=-ZCBD=a(0<a<-)

则3O=AB,2,设2,在△3C。中，BC=CD=2,

TT

ZABC=-+a

于是AB=BD=2BCcosNCBD=4cosa,在△48C中，2,

由余弦定理得：AC?=AB?+BC?-2AB•BCcos/ABC,

AC2=16cos2cr+4-8cos^z-2cos(—JT+6r)=16cos2a+4+16sinacosa

则2

=8sin2a+8(cos2a+1)+4=8行sin(2a+-)+12<872+12

4,

c兀兀71

2a___=__0=—

当且仅当4-2,即一8时取等号，

所以当a=W时，"max=也(1+伪2=2+2*

所以/C的最大值是2+20.

思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用

基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

21.(1)证明见解析

CH_2

⑵斤=3

【分析】(1)先证明WZC,AC,BD,可得4cl平面尸皿，进而可得结论；

(2)过〃作班上℃交℃于£,过E作所，AD于少，连接班\先证明平面

1