2022-2023学年天津市七区高三年级上册期末数学试题

2022〜2023学年度第一学期期末练习

高三数学

第I卷(共45分)

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设全集”{一以)，1，2,3},集合A={0J,5={-1,1,3}则佝A)cB=()

A.{-1,1}B.{153}

C.{-1,3}D.{-1,1,3)

2.“x为有理数"是为有理数”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

3.函数y=(2'-2-，sinx在区间一|，5上的图象大致为()

4.从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们的用电量都在5()35()kW-h

之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示.在被调

查的用户中，用电量落在区间［100,200)内的户数为()

A.45B.46C.54D.70

5.设a=ln0.8,b=e°8,c=0.8e,则a,b,c的大小关系为()

A.a<c<bB.a<b<c

Cb<c<aD.c<a<b

22

6.已知双曲线与-2=1（。＞0*＞0）的实轴长为26，其中一个焦点与抛物线＞2=8x的

ab-

焦点重合，则双曲线的方程为0

21

A±-JB.----V**=1

3133

22

C三上=1D.

1241216

7.^xlog23=l,则3*+3一,的值为0

32

A.-B.2C.D.3

22

8.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为%和彩.若则卷=（）

3乙,V乙

D,巫

30R2后9

A.D.---------------C.

77421

9.已知函数/(x)=sin[的+。［（/＞0）在区间24

0,——上恰有3个零点，则3的取值范

.3_

围是0

-5里]

A.4B.

_i)2'4)

吟

C.3D.

第n卷（共105分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答

对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.i是虚数单位，贝（］［l+i|=.

11.在（34—1）的展开式中，常数项为.（结果用数字表示）

12.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X表示摸出白

球的个数，则E（X）=.

2

13.若双曲线/一J=l（机＞0）的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则，〃=

ITT

14-y2

14.若x>0,y>0,x+2y=l,则—一的最小值为____.

2xy

15.已知三角形ABC的外接圆半径为1,外接圆圆心为。，且。点满足

2Q4+3OB+2OC=()，则ACOC=sinZABC=.

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

16.在“ABC中，角43,。所对的边分别为。也。.^^ia2+c2-b2^ac,a=K,

V5

cosA=——•

3

(1)求8的值；

(2)求。的值；

(3)求sin(2A—8)值.

17.如图，直三棱柱ABC-A笈C1的体积为26,等边三角形ABC的面积为6.。为AG

中点，F为3。中点，尸为CC中点.

(1)求证：EP//平面A8C；

(2)求直线AF与平面BDF所成角的正弦值；

(3)求平面用。尸与平面8。尸夹角的余弦值.

18.已知｛凡｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且。2-d=。3-/=为一。4.

(1)证明：q=伪；

(2)已知q=l.

1111/卅\

(i)证明：——+——+•••+-----<-(»eN)；

的2。2a3区£山2

(ii)求£(T)7也+一

bl

22

19.已知椭圆二十与=l(a>/?>())的右焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,且

a~b~

|阴=率叫

(1)求椭圆的离心率；

(2)已知以椭圆的离心率为斜率的直线经过点4且与椭圆相交于点。(点。异于点力)，

若+AB-3P=4，求椭圆的方程•

20.设函数人切句!!X-^^?,g(x)=e*—/?x,,已知曲线y=/(x)在点(1,/1⑴)

处的切线与直线x-y+1=0垂直.

(1)求a的值；

(2)求g(x)的单调区间；

(3)若"(x)+ZzxWxg(x)对Vxe(0,+x)成立，求5的取值范围.

2022~2023学年度第一学期期末练习

高三数学

第I卷供45分)

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

L设全集U={T，°，1，2,3},集合A={°，"8={-1,1,3},则()

A.{-1,1}B.{153}

C{一1,3}D.{-1,1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】由补集和交集运算求解.

【详解】因为2A={-1,2,3},所以@A)c5={-l,3}.

故选：C

2.“X为有理数”是“炉为有理数，，的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】充分性成立，必要性可举出反例，证明不成立，得到正确答案.

【详解】x为有理数，则/一定为有理数，

但/为有理数，x不一定为有理数，比如3为有理数，但也是无理数，

所以“X为有理数”是为有理数”的充分不必要条件.

故选：A

3.函数y=（2*—2」）sinx在区间一］,］上的图象大致为（）

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用/（（））=0得解.

【详解】Vxe［-p^］,令/（x）=（2,—2-）sinx

/（—x）=（2-”—2）sin（—x）=（2*—2一）sinx=/（x）,

则.f（x）是偶函数，选项A,B是不正确的；

又因为/（0）=0,所以C不正确.

故选：D

4.从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们用电量都在50350kWh

之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.在被调

查的用户中，用电量落在区间［100,200）内的户数为（）

A.45B.46C.54D.70

【答案】B

【解析】

【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可.

详解】由题知，这些用户中，

用电量落在区间U00,200）内的频率为

0.006x50+l-（0.0012+0.0024+0.0048+0.0024+0.006）x50=0.46,

则用电量落在区间［100,200）内的户数为100x0.46=46.

故选：B

5.设a=ln0.8,h=e08,c=0.8,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<h<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】由指数和对数函数的性质可得出“<0,b>\,0<c<l,即可得出答案.

【详解】a=lnO.8<lnl=O,/?=e<K8>e°=1,0<c=0,8e<0,8°=1.

所以a<c<A.

故选：A

6.已知双曲线』-口=1（。>0,6>0）的实轴长为26,其中一个焦点与抛物线V=8x的

a~h~

焦点重合，则双曲线的方程为（）

【答案】B

【解析】

【分析】求出抛物线焦点坐标，得到c=2,由实轴长求出。=百，进而求出匕，得到双曲

线方程.

【详解】>2=8%的焦点坐标为（2,0）,故c=2,

由题意得：a=5/3,所以从=C2-〃2=4—3=1,

2

故双曲线方程为三-尸=]

3

故选：B

7.若xlog23=l,则3*+3T的值为0

35

A.—B.2C.—D.3

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质结合指数式与对数式的互化求出31再代入计

算作答.

【详解】因为xlog23=l,则log?3*=1,因此3、=2,

所以3、+3-*=2+,=2.

22

故选：C

8.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，

体积分别为%和吃.若吃=1,则白=0

3乙2V乙

A3而R2V2T「94V2T

77421

【答案】A

【解析】

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为与，根据圆锥的侧面积

3

公式可得q=,弓，再结合圆心角之和可将弓,弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两

圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

设母线长为/,甲圆锥底面半径为。乙圆锥底面圆半径为与

则丁=-7=—=71所以(二~~r2

3乙九"r222

又生L+包=2%,则三32

=1,所以r=g/，G=—/，

111x

所以甲圆锥的高％=j/2—总广="

5

乙圆锥的高为=J/2—2/2=Y

5

1,,4,2V2L

v-Tirrlv—1x-T3721

所以%=3=久_____5--------.

七吃"2尸A/7

32-255

故选：A.

9,已知函数/(x)=sin(s+?卜口＞0）在区间0,等上恰有3个零点，则。的取值范

围是0

工19A

B.2'4)

【答案】D

【解析】

27r7T71

【分析】根据。＞(),xe0,y,得+y,—+y,结合正弦函数性质，确

定W2乃巴〃)的7位7置范围即可求出口的范围.

33

.一A、「八2%]乃「万271

【详解】,**69>0,尤£0,-^-,/.CDX+€耳，-5^"3"，

函数/'(x)=sin(s+()3>0)在区间0,y上恰有3个零点,

2加y乃、「

------+—23万一

3311

则<'=>4<<y<—,

ITTCD712

------+——<4A4

[33

故选：D.

第n卷(共105分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答

对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.i是虚数单位，贝U|l+i|=.

【答案】近

【解析】

【详解】分析：利用复数模的定义可求解.

详解：|1+/|=V12+12=V2,故答案为&.

点睛：本题考查复数的模，掌握模的计算公式是解题基础，本题是容易题.

11.在*4]的展开式中，常数项为____.(结果用数字表示)

[X~)

【答案】-405

【解析】

【分析】写出展开式通项，令X的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】4）的展开式通项为

5k（\、*5-5A

小二小（36].卜了）=仁.35七（一1）；亍伙=0,1,2,3,4,5）,

5-5G

令土乎=0,可得2=1,

2

因此，展开式中的常数项为C；-34.（—l）=T05.

故答案为：-405.

12.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若X表示摸出白

球的个数，则E（X）=.

【答案】|

【解析】

【分析】求出X的可能取值即每个X对应的概率，再由均值公式即可求出E（X）.

【详解】X的可能取值为01,2,

p（x=o）=冬=2,p（x=i）=卑」，

'，或5'7C；15

P（X=2）=^S=—,则E（X）=0X2+1X§+2X-!-=W=2.

''C；1551515153

2

故E（X）=；.

2

故答案为：

2

13.若双曲线》2一2?=1（m>0）的渐近线与圆f+y2—4y+3=o相切，则机=.

m

【答案】6

【解析】

【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直

线与圆相切，建立方程，可得答案.

2

【详解】由双曲线方程/一与=1（加〉0）,则其渐近线方程y=±〃比，

由圆方程/+产一4），+3=0,整理可得f+（y—2）2=l,其圆心为（0,2）,半径r=1,

由两个渐近线关于y对称，则不妨只探究渐近线y=如，整理可得如-y=o,

0-2

由题意,可得!=1,解得m=5/3-

V1+W

故答案为：出.

14.若x>0,y>0,x+2y=l,则1+_v_-的最小值为______

2xy

【答案】2+V5##V5+2

【解析】

【分析】由已知条件将化简为—+,再由

I2xy2y4x4

15、(]5、15

—+—-1=—+—(^+2j),结合均值不等式求出丁+1的最小值，即可求出

2y4x)12y4x)'2y4x

答案.

【详解】因为x>0,y>0,x+2y=l,

.,,1+y2x+2v+y211y

所cr以——=----一—=—+-+—,

2xy2xy2yx2x

1—Y

又因为x+2y=l可得y=—5—,

1-x

所以i+V_11y_1a1+»_1+1+「x，

2xy2yx2x2yx2x2yx4x

—11-■।■—1—1——1—5——

2yx4x42y4x4

15

又因为---F——一+一

2y4x12y4x23孑+逮

当且仅当《2〉2x时取等,

[x+2y=1

贝恃+汨=岳2,

所以1一+Ly-的最小值为逐r-+2.

2xy

故答案为：V5+2.

15.已知三角形ABC的外接圆半径为1,外接圆圆心为O,且O点满足

20A+30B+20C=0-则ACOC=sinZABC=.

7万

【答案】①.-##0.875②XL

84

【解析】

【分析】得到308=-2。4一20。，平方后求出。40。=：,从而得到

O

ACOC^(OC-OA\OC=-,先求出cos/AOC=」,由二倍角公式得到

\'88

、9

cos2ZABC=—,求出答案.

16

【详解】因为204+303+200=0，所以308=—2QA—20C，

两边平方得：90B=(—20A—20C)=40A+SOAOC+4OC,

因为三角形A8C的外接圆半径为1,所以国=网=|"|=1,

_______一1

故9=4+8OAOC+4，解得：0A0C=-,

O

--/-\-217

所以AC・OC=(OC—OA)OC=OC-OAOC=1--=-,

''88

OAOC1

因为=/'而NA℃=2NMC

所以cos2ZABC=I*"=-

216

因为NABCe(O,7i),

故sinZABC=A/1-cos2Z/IBC=—

4

故答案为：L,立

84

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

16.在_ABC中，角A,区C所对的边分别为a,b,c.a2+c2-b2=ac,a=^3,

A6

cosA=—.

3

(1)求8的值；

(2)求b的值；

(3)求sin(2A-B)的值.

【答案】(1)8=

9

(2)b=-

4

(3)41—G

18

【解析】

【分析】⑴根据余弦定理求解；

⑵根据同角三角函数关系求出sinA,再用正弦定理求解；

⑶根据⑴⑵中所求数值，求出sin2A和cos2A,再利用两角差的正弦公式求解.

【小问1详解】

因为熊+。2-b2=ac,

由余弦定理可得匕2=片_|-c2—2accosB.

可得COS8=L,

2

所以

【小问2详解】

L

由cosA=，则sinA=

3

由(1)知3=又因为a=V3.

正弦定理得：上=一巴c

sinBsinAsinC

9

则方=—.

4

【小问3详解】

因为sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1='，

99

所以sin(2A-8)=sin2/4--^=—sin2A--cos2A=.

'，I3)2218

17.如图，直三棱柱ABC-ABC的体积为2g,等边三角形ABC的面积为g。为Ag

中点，万为3。中点，尸为CG中点.

(1)求证：七///平面ABC；

(2)求直线AF与平面BDF所成角的正弦值；

(3)求平面片。厂与平面尸夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵巫

10

⑶叵,

5

【解析】

【分析】(1)以。为坐标原点，。8,oc,0。分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间

直角坐标系,分别求出直线EE的方向向量和平面A8C法向量机=(0,0,1)，由£F.机=0,

即可证明；

(2)求直线Af的方向向量与平面双)尸法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案；

(3)求平面与。口与平面BDF法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案；

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-4AG中，匕BC-AAG=$MC,胡=G,AA=2G,

解得朋=2,

由等边三角形ABC的面积为G，可得AB=BC=C4=2,

在直三棱柱ABC-4B|G中，取AC中点。，

以0为坐标原点，OB,OC,。。分别为x轴，丫轴，z轴，建立如图空间直角坐标系.

则0(0,0,0),A(0,-l,0),8(6,0,0),C(0,l,0),C,(0,1,2),。(0,0,2)

则EF=|-*,l,0,平面ABC的法向量为m=(0,0,1)

所以EF-"?=0,又因为平面ABC

所以EE〃平面ABC.

【小问2详解】

AF=(0,2,1),BD=(-5/3,0,2),£>F=(O,l,-l),

设平面的法向量为〃=(x,y,z),则

nlBD\n-BD=01-屈+2z=0

<=><=><,

n±DFn•DF=0y-z=0

令z=6、则x=2,y二石，.，.〃=伍6,6).

记直线AF与平面BDF所成角为夕

AFn3>/33口

：.sin0-

|AF||,?|-VsxVioio

直线AF与平面BDF所成角的正弦值班

10

【小问3详解】

由(2)得：平面尸的法向量为〃=(2,6,6),

易得耳。=卜6,0,0),。F=(0,1,-1),

nJ.B,Dn-BQ=0-氐=0

设平面A。/7的法向量为加=(x,y,z),贝卜=>=>V

nLDFn-DF=0y-z=0

令y=l,贝(Jz=l,x=0/.7H=(0,1,1).

记平面BDF与平面4OF的夹角为a,

m-n20V15

cosa=---------——=-----

MMV10xV25

，平面3DE与平面与。口的夹角的余弦值15.

5

18.已知｛4｝为等差数列，也“｝是公比为2的等比数列,且4一仇=%一4=仇一4.

⑴证明:q=4；

(2)已知q=1.

11<g(〃eN*);

(i)证明：——+——

aaaa

x223«A+i

(ii)求X(T))也+i

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)£(一1)1屹可=2—(6〃—1〉(一2)

k=\9

【解析】

【分析】(I)设数列｛4,｝的公差为d,根据已知条件可得出关于％、d、4的等式组，解

此等式组可证得结论成立；

(2)(i)求得利用裂项相消法可证得结论成立；

(ii)求得(-1)«%%=(2攵-。(-2)*,利用错位相减法可求得£(-1))也打

【小问1详解】

证明：设数列｛凡｝的公差为d,

[a2-b2=ay-b3,(q+[_2向=q+21一物

由a2-b2=b4-a4,得4—=8,一(4+3d)'

即可解得a=a=4,所以原命题得证.

2

【小问2详解】

解：(i)由⑴及％=1,4=2,可得a”=4+(〃-1)4=2〃-1,

]=I=1/_!_____1_\

a“a”“(2«-1)(2/?+1)2\2n-l2n+l),

所以，

------------1--------------bL4----------------=一1-j

aa22n-l2〃+1

44。2a3„„+l

(ii)由⑴及4=1,可得a=1X2"T=2"，所以(一1)%也+1=(2左一1)(一2)”,

记S“=S(T)%也+i=lx(—2)、3x(—2)2+5x(—2『+L+(2〃—1)x(—2)".①

-2S„=1X(-2)2+3X(-2)3+L+(2n-3)x(-2/+(2n-1)x(-2)n+1.②

①一②得3S,=-2+2X[(-2)2+(-2)3+L+(-2)n]-(2n-l)(-2)n+1

=一2+中；：）L（2〃-1）（-2族=|-（2〃-£|（-2）川'

因此，£（一1）%也+广2.（6〃一；）.（一2）7

k=l9

22

19.已知椭圆二+2=1（“>6>0）的右焦点为F,左顶点为4上顶点为B,且

ah

\AB\=^-\BF\.

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知以椭圆的离心率为斜率的直线经过点4且与椭圆相交于点P（点户异于点⑷，

若AP-BE+AB-8P=4，求椭圆的方程•

【答案】（1）!

【解析】

【分析】（1）表达出|A@,忸目，列出方程，得到。得到离心率；

（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出P（@,包），得到+=得

242

到方程，求出a=2后/=痴，得到椭圆方程.

【小问1详解】

由题意可得|A@=\]a2+b2，忸q=y/h2+c2—a,

因为MM二斗忸%所以，标+二=曰4,可得b=®a.

Xfl2=b2+c2.所以a=2c,

所以椭圆离心率为e=£=，；

a2

【小问2详解】

由（1）知，b=^~a、直线为丁=71+不。，

222

设P（±，X）,联立2

---

。23

a:

I4

化简得+以一。2=(2x-a)(x+。)=o,解得：x=^|■或-a

其中点。异于点A,而A(-a,0),

故Xp=5，»=[a，即2（于丁），

paRcls）,D_f331181百

又。=一,所以4P二7。,二。，BF=—a——a,AB=a.--a

2U4J（2y2JI2

124J

（331V3

则APB/+ABBP=-a,-a—a,----

I24