2023年中考数学一轮复习 锐角三角函数(含解析)

2023年中考数学一轮专题练习一一锐角三角函数

一、单选题（本大题共10小题）

1.（天津市2022年）tan45。的值等于（）

A.2B.1C.—D.@

23

2.（陕西省2022年（A卷））如图，AD是,ABC的高，若2cD=6,tanZC=2,

则边A3的长为（）

3.（吉林省长春市2022年）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重

机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,AD垂直地面,

垂足为点。，BCLAD,垂足为点C.设=下列关系式正确的是（）

D.sin」

BCABACAB

4.（湖北省荆州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，点A,2分别在x轴负半轴和

y轴正半轴上，点C在上，OC:BC=1:2,连接AC,过点。作。AB交AC的延

长线于P.若P（U）,则tan/Q4P的值是（）

5.（四川省广元市2022年）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，4、

B、C、。都在格点处，与相交于点尸，则cos/APC的值为（）

A.正B.述C.-D.巡

5555

6.（湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年）由4个形状相同，大小相等的菱形组

成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A,B,C都在格点上，ZO=60°,则

7.（贵州省黔东南州2022年）如图，PA,尸8分别与I。相切于点A、B,连接尸。并

延长与交于点C、D,若CD=12,上4=8,则sin/ADB的值为（)

A

4334

A.-B.—C.—D.一

5543

8.（云南省2022年）如图，已知A3是。。的直径，CO是00的弦，AB^\CD.垂足为

E.若A3=26,CD=24,则NOCE的余弦值为（）

9.（湖南省湘潭市2022年）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个

全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦

图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,。为直角三角形中的一

个锐角，则tane=（）

10.（黑龙江省省龙东地区2022年）如图，正方形ABC。的对角线AC,8。相交于点。,

点尸是CO上一点，OE_LOF交BC于点E,连接AE,交于点P,连接OP.则下

列结论：①AELBF；②/0上4=45。；③AP-BP=®OP;④若BE:CE=2:3,贝I

41

tanZCAE=~；⑤四边形OECF的面积是正方形ABC。面积的了.其中正确的结论是

74

A.①②④⑤B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤

二、填空题（本大题共12小题）

11.（广东省2022年）sin30。的值为_.

12.（山东省滨州市2022年）在RfzvlBC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,则sinA=_.

13.（江苏省扬州市2022年）在AABC中，ZC=9O°,a、b、c分别为/A、NB、/C的

对边，若b'ac,则sinA的值为.

4

14.（湖南省益阳市2022年）如图，在RtAABC中，NC=90。，若sinA=1,则cos3

A

15.（江苏省常州市2022年）如图，在四边形ABCD中，ZA=ZABC=90°,平分

ZADC.若AD=1,CD=3,则sinZABD=_.

16.（四川省凉山州2022年）如图，是平面镜，光线从A点出发经C。上点。反射

后照射到2点，若入射角为a,反射角为B（反射角等于入射角），

8。_1。。于点。，且AC=3,BD=6,CD=12,则tana的值为—.

17.（黑龙江省绥化市2022年）定义一种运算；sin（a+/?）=sinacos#+cosasin£,

sin（a->0）=sinacosP-cosasin（3,例如：当a=45。，#=30。时，sin（45°+30°）=

立X也+包」="+逝,则Sinl5。的值为—.

22224—

18.（江苏省连云港市2022年）如图，在6x6正方形网格中，ABC的顶点A、B、C

都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=—.

19.（山东省泰安市肥城市汶阳镇初级中学2021-2022学年）如图，矩形A3CD中，点G,

E分别在边BCOC上，连接AG,EG,AE,将一ABG和一ECG分别沿AG,EG折叠，使点

B,C恰好落在AE上的同一点，记为点F.若CE=3,CG=4,贝|sin/ZME=—.

AD

E

BGC

20.（广西河池市2022年）如图，把边长为1：2的矩形A8CO沿长边8C,49的中点

2

E,尸对折，得到四边形点G,”分别在BE,EF上，且BG=EH=BE=2,

AG与BH交于点0,N为AF的中点，连接。N,作。交AB于点连接MN,

则tan/AMN=.

21.（四川省凉山州2022年）如图，在边长为1的正方形网格中，。。是AABC的外接

圆，点A,B,。在格点上，则cosNACB的值是—.

22.（湖南省湘西州2022年中考数学试卷）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长

度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第

三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在△ABC中，/A、ZB.

NC所对的边分别为氏c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去

这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.

用公式可描述为：a2—b2+c2-2bccosA

b2—a2+c2-2accosB

c2=a2-\-b2-2abeosC

现已知在△ABC中，AB=3,AC=4,ZA=60°,贝U8C=.

三、解答题（本大题共9小题）

23.（湖南省湘西州2022年中考数学试卷）计算：V16-2tan45°+|-3|+（兀-2022）

24.（2022年西藏中考数学真题试卷）计算：|-V2|+（1）°-A/8+tan450.

25.（湖南省岳阳市2022年）计算：卜3|-2tan45。+（-1）2侬_（后-］）。.

26.（湖南省株洲市2022年）计算：（-l）2022+V9-2sin30°.

27.（2022年四川省乐山市中考数学真题）sin30°+V9-2-'

28.（湖南省常德市2022年中考数学试题）计算：3°2sin30。+场cos45。

29.（浙江省湖州市2022年）如图，已知在中，NC=90。，AB=5,BC=

3.求AC的长和sinA的值.

B

/i312

30.（黑龙江省哈尔滨市2022年）先化简，再求代数式+1卜口的值,

其中x=2cos450+l.

31.（黑龙江省哈尔滨市2021年）先化简，再求代数式（吃-字的值，其中

\a-la-\）a-1

6Z=2sin45°-l.

参考答案

1.【答案】B

【分析】

根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解.

【详解】

作一个直角三角形，ZC=90°,ZA=45°,如图：

CA

：.ZB=90°-45°=45°,

.,.△ABC是等腰三角形，AC=BC,

.•.根据正切定义，tanZA=1g=l,

■AC

ZA=45°,

，tan45°=l,

故选B.

2.【答案】D

【分析】

先解直角ABC求出AO,再在直角中应用勾股定理即可求出AB.

【详解】

解：VBD=2CD=6,

：.CD=3,

,直角「ADC中，tan/C=2,

AD=CD-tanZ.C=3x2=6,

直角△ABD中，由勾股定理可得，AB=y/AD2+BD2=^62+62=672.

故选D.

3.【答案】D

【分析】

根据正弦三角函数的定义判断即可.

【详解】

VBC±AC,

・・・ZVIBC是直角三角形,

・・・NABC=a,

..AC

..sina=,

AB

故选：D.

4.【答案】c

【分析】

由p(l,l)可知，。尸与无轴的夹角为45。，又因为OP〃AB,贝|JQ4B为等腰直角形，设

OC=x,OB=2x,用勾股定理求其他线段进而求解.

【详解】

点坐标为(1,1),

则。尸与无轴正方向的夹角为45。，

又：OP//AB,

则/氏4。=45。，04B为等腰直角形，

：.OA=OB,

设OC=x,贝！JOB=2OC=2x,

则OB=OA=3X9

ocx1

：.tanNQAP=——

OA3x3

5.【答案】B

【分析】

把AB向上平移一个单位到。E,连接CE,则。E〃AB,由勾股定理逆定理可以证明

△OCE为直角三角形，所以cos/APC=cos/£OC即可得答案.

【详解】

解：把AB向上平移一个单位到OE,连接CE,如图.

则DE//AB,

：.ZAPC=ZEDC.

在△Z)CE中，有EC=d*+f=5DC=@+42=2#>，E>E=732+42=5>

EC2+DC2=5+20=25=DE2,

ADCE是直角三角形，且4>CE=90。，

cosZAPC=cosZEDC=-----=------.

DE5

故选：B.

6.【答案】C

【分析】

证明四边形AOBC为菱形，求得NABC=30。，利用特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】

解：连接A。，如图：

:网格是有一个角60。为菱形，

LAOD,&BCE、4BCD、"CD都是等边三角形，

：.AD=BD=BC=AC,

四边形ADBC为菱形，且/OBC=60。，

ZABD=ZABC=30°,

tanZABC=tan30°=——.

3

故选：C.

7.【答案】A

【分析】

连结根据切线长的性质得出PA=P8,OP平分/A尸8,OP±AP,再证

AAPD^/XBPD(SAS),iiEZAOP=ZADP+ZOAD=ZADP+ZBDP=ZADB,

利用勾股定理求出"=履+”2=10，最后利用三角函数定义计算即可.

【详解】

解：连结。4

VPA,PB分别与；。相切于点A、B,

：.PA=PB,OP平分NAP8,OPLAP,

：.ZAPD=ZBPD,

在ZkAPD和ABP。中，

AP=BP

<ZAPD=ZBPD,

AD=AD

：・〉APD丝〉BPD(SAS)

:./ADP=/BDP,

9

：OA=OD=6f

：.ZOAD=ZADP=ZBDP,

：.ZAOP=ZADP+ZOAD=NADP+ZBDP=ZADB,

在RtAAO尸中，OP=yjo^+AP1=10，

8.【答案】B

【分析】

先根据垂径定理求出CE=；CD,再根据余弦的定义进行解答即可.

【详解】

解：是。。的直径，ABSCD.

：.CE=-CD=12,ZOEC=90°,OC」AB=13,

22

CF12

cosZOCE=—~

OC13

故选：B.

9.【答案】A

【分析】

首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角

三角形短的直角边为a,则较长的直角边为。+1,再接着利用勾股定理得到关于。的方

程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tancr的值即可.

【详解】

:小正方形与每个直角三角形面积均为1,

大正方形的面积为5,

•••小正方形的边长为1,大正方形的边长为指，

设直角三角形短的直角边为“，则较长的直角边为。+1,其中。>0,

a2+(a+l)2=5,其中a>0,

解得：ai=\,。2=-2(不符合题意，舍去)，

故选：A.

10.【答案】B

【分析】

分别对每个选项进行证明后进行判断：

①通过证明DOF-COE(ASA)得到EC=F。，再证明EACqFaD(SAS)得到

ZEAC=ZFBD,从而证明/3尸。=/4。。=90°,即AELM；

②通过等弦对等角可证明ZOPA=ZOBA=45°；

③通过正切定义得1皿4出场=黑=黑，利用合比性质变形得到AP-BP=华鲁，再通过

ABAPBE

证明AOPs,板得至|JCE=笠芈，代入前式得AP_BP=OP：E誓,最后根据三角形

AOAO-BE

面积公式得到AEBP=ABBE,整体代入即可证得结论正确；

④作EGLAC于点G可得EG〃8。，根据tanNG!E=^=,设正方形边长为

ACrAC-CO

3

5a,分别求出EG、AC.CG的长，可求出tanNC4E=,,结论错误；

⑤将四边形OECb的面积分割成两个三角形面积，利用DOF^COE(ASA),可证明S幽

边形OECF=SACOE+SaCOF：SADOF+SACOF=SACOD即可证明结论正确.

【详解】

①;四边形ABCO是正方形，。是对角线AC、的交点，

：.OC=OD,OCLOD,ZODF=ZOCE=45°

■:OELOF

：.ZDOF+ZFOC=ZFOC+ZEOC=90°

：.ZDOF=ZEOC

在^DOF与公COE中

ZODF=ZOCE

<OC=OD

ZDOF=NEOC

ADOF^COE(ASA)

：.EC=FD

EC=FD

•・•在△EAC与^FBD中</ECA=ZFDB=45°

AC=BD

：..EAC^^FBD(SAS)

，/EAC=/FBD

又,：4BQP=/AQO

：.ZBPQ=ZAOQ=90°

：.AE±BF

所以①正确；

②；ZAOB=ZAPB=90°

...点尸、。在以AB为直径的圆上

是该圆的弦

=班=45°

所以②正确；

③—嗡嗡

ABAP

AB-BEAP-BP

BEBP

AP-BPCE

BP~~BE

CEBP

AP-BP=

BE

ZEAC=ZOAP,ZOPA=ZACE=45°

AOP^^AEC

OPAO

~CE~HE

OPAE

CE=

AO

OPAEBP

AP-BP=

AOBE

-AEBP=-ABBE=S

22

AEBP=ABBE

OPABBE

AP-BP==*=ap

AOBE

所以③正确;

④作EGLAC于点G,贝UEG〃8。,

.EGCECG

设正方形边长为5a,贝ij3C=5a,OB=OC=^a,

RF2

若BE:CE=2:3,贝10=丁，

CE3

.BE+CE2+3

・・CE3

,CE_3

**BC-5

：.EG^.OB=^a=^

BC522

VEGLAC,ZACB=45°,

・・・NGEC=45。

：.CG=EG=-a

2

3四

-----Q

FGEG3

tan/CAE=——

AGAC-CG5缶一号a7

所以④错误;

⑤・.・DOFCOE(ASA),S四边形OECF=SaCOE+S^COF

四边形

:.SOECF=SADOF+SACOF=SACOD

,**S^COD=—s正方形钻8

・・S四边形0ECF=正方形MS

所以⑤正确；

综上，①②③⑤正确，④错误,

故选5

11.【答案】I

【详解】

根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30o=g.

故答案为：力

12.【答案】］12

【分析】

根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可

得出答案.

【详解】

解：如图所示：

VZC=90°,AC=5,BC=U,

•••AB=V52+122=13,

.•.sinA=^=12

AB13

12

故答案为：—.

13.【答案】-1+'

2

【详解】

解：如图所示：

在中，由勾股定理可知：片+〃=/,

QC=/，

a2+ac=c2f

a>0,b>0,c>0,

求出q=二!土@或色=二115（舍去），

c2C2

，在MABC中：sinA=-=~1+^

c2

故答案为：士好.

2

4

14.【答案】y

4

【分析】根据三角函数的定义即可得到cos3=sinA=1.

【详解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,

BC4

~AB7

・•・cos”生4

AB?

4

故答案为：—.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若

ZA+ZB=90°,则sinA=cos5,cosA=sinB.熟知相关定义是解题关键.

15.【答案】渔

6

【分析】

过点。作BC的垂线交于E,证明出四边形AB£D为矩形，△3CD为等腰三角形，由

勾股定理算出OE=百，BD=R即可求解.

【详解】

解：过点。作3c的垂线交于E,

:.ZDEB=90。

ZA=ZABC=9Q°f

，四边形ABED为矩形,

:.DE//AB,AD=BE=1,

:.ZABD=ZBDE,

QBQ平分/APC,

:.ZADB=NCDB,

ADUBE,

:.ZADB=ZCBD,

：.ZCDB=ZCBD

CD=CB=3，

AD=BE=1,

CE=2,

:.DE=yjDC2-CE2=y/9^4=y[5>

:.BD^ylDE2+BE2=V5+1=V6

..BE1V6

..sin//BRDnEF===—,

BDV66

/.sinZABD=,

6

故答案为：

6

4

16.【答案】1

【分析】

如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得4=。，/8=6，从而可得NA=/B,

再根据相似三角形的判定证出△AOC△BOD,根据相似三角形的性质可得OC的长，

然后根据正切的定义即可得.

【详解】

解：如图，由题意得：OP1CD,

ACLCD,

.-.ACOP,

:.ZA=a,

同理可得：NB=/3,

a=B，

.•.ZA=N5,

fZA=ZB

在△AOC和,5。□中，〈,

[ZACO=ZBDO=90°

:._AOCBOD,

.PCAC

'~OD~~BD'

AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD-OC,

.OC3

,n-oc~69

解得OC=4,

经检验，OC=4是所列分式方程的解，

加A4

贝Utana=tanA=-O--C-=—,

AC3

17.【答案】瓜一亚

4

【分析】

根据sin（«一/3）=sinccos刀-cosasin分代入进行计算即可.

【详解】

解：sinl5o=sin（45o-30o）

sin45°cos30°-cos45°sin30°

6■粗垃1

XX—

2---222

^6A/2

~4T

A/6—V2

4

故答案为：理二立

4

18.【答案】1

【分析】

如图所示，过点C作CELA8于E,先求出CE,AE的长，从而利用勾股定理求出AC

的长，由此求解即可.

【详解】

解：如图所示，过点C作CELAB于E,

由题意得CE=4,AE=3,

AC=\/AE2+CE2=5>

7

19.【答案】1

【分析】

根据折叠的性质结合勾股定理求得GE=5,BC=AD=8,ffiMRtAEGF-RtAEAG,

25

求得=再利用勾股定理得到DE的长，即可求解.

【详解】

矩形ABCD中，GC=4,CE=3,ZC=90°,

GE=VGC2+CE2="+32=5，

AD

根据折叠的性质：BG=GF,GF=GC=4,CE=EF=3,ZAGB=ZAGF,ZEGC=ZEGF,

ZGFE=ZC=90°,

・・・BG=GF=GC=4,

・・・BC=AD=8,

ZAGB+ZAGF+ZEGC+NEGF=180。，

AZAGE=90°,

RtAEGF~RtAEAG,

EF53

.EG——，即nn——=一

-EAEGEA5

7

DF67

.・・sin/DAE=——=4=—,

AE2525

T

7

故答案为：—.

20.【答案】-##0.625

8

【分析】

先判断出四边形A8EF是正方形，进而判断出△ABG四得出

ZBAG=ZEBH,进而求出NAO2=90。，再判断出△ABG,求出

OA=-^=,OB=-^,再判断出△08/〜△OAN,求出BM=1,即可求出答案.

【详解】

解：：点E,尸分别是BC,的中点,

AF=-AD,BE=-BC,

22

:四边形ABC。是矩形，

AZA=90°,AD//BC,AD=BC,

：.AF=BE=-AD,

2

...四边形ABE尸是矩形,

由题意知，AD=2AB,

.AF=AB,

•矩形ABEb是正方形，

.AB=BE,ZABE=ZBEF=90°,

*BG=EH,

・△ABGmABEH(SAS),

・NBAG=NEBH,

・NBAG+NA50=NE5〃+NA30=NA5G=90。，

.ZAOB=90°,

•BG=EH=：BE=2,

.BE=5,

.AF=5,

•AGNAB^+BG2=晒,

,ZOAB=ZBAG,ZAOB=ZABG,

.△AOBsAABG,

OAOBABOAOB_5

.布=前=就‘n即n丁=三=质’

.OA=^L,OB=-^=,

,29V29

9OMLON,

・NMON=9()o=NAOB,

.ZBOM=ZAON,

*ZBAG+ZFAG=90°,ZABO^-ZEBH=90°,NBAG=NEBH,

・ZOBM=ZOANf

•XOBM〜匕OAN,

OBBM

#04-A2V?

•点N是A尸的中点，

10

:•要=空，解得:

BM=\,

A/292

：.AM=AB-BM=4f

5

,/…浦4V25.

tanZ.AMN----=—=—

AM48

故答案为：£

O

21.【答案】口叵

13

【分析】

取AB中点。，由图可知，AB=6,AD=BD=3,OD=2,由垂径定理得则

I---------------I-—-「0D22^/13小、/

OB=yjoD2+BD-=V22+32=V13-cosZDOB=—=-==——＞再证

(JD,1313

ZACB=ZDOB,即可解.

【详解】

解：取A2中点。，如图，

由图可知，AB=6,AD=BD=3,OD=2,

：.OD±AB,

：.Z0DB=9Q°,

・1一~;--------r「—-「/OD22V13

••0B~VOD1+BD2=A/22+32=A/13»cosZDOB=——,

OD。1313

'：OA=OB,

：.NBOD=g/AOB,

:ZACB=^ZAOB,

：.ZACB=ZDOB,

：.cosZACB=cosZDOB==^,

13

故答案为：巫.

13

22.【答案】713

【分析】从阅读可得：BC2^AB2+AC2-2ABAC-cosA,将数值代入求得结果.

【详解】解：由题意可得，

A

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSA

=32+42-2x3x4»cos60°

=13,

••BC=J13)

故答案为：y/13-

【点睛】本题考查了阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键

是公式的具体情景运用.

23.【答案】6

【分析】先计算算术平方根、绝对值、零指数募、特殊角三角函数值，再合并即可.

【详解】解：原式=4-2x1原+1

=4-2+3+1

=6

【点睛】此题考查的是算术平方根、绝对值、零指数塞、特殊角三角函数值，掌握其

运算法则是解