根号型函数十二大值域问题汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题03根号型函数十二大值域问题汇总

anil

题型1单根式换元法..............................................................1

题型2单根式分离常数+基本不等式.................................................3

题型3单根式三角换元法..........................................................3

题型4单根式平方法..............................................................5

题型5单根式平方+判别式.........................................................6

题型6单根式单调性(求导法)....................................................6

题型7单根式几何意义法..........................................................8

题型8双根式平方法.............................................................12

题型9双根式几何意义法.........................................................15

题型10双根式单调性............................................................17

题型11双根式三角换元..........................................................18

题型12双根式双换元............................................................19

题型1单根式换元法

弟划重点

换元法解含有根号的函数需要注意X的范围

【例题1](2023•全国•高三专题练习)函数y=1+X-的值域为()

A,(-8,|]B.(-8,|)C.[|,+8)D.(|,+8)

【答案】A

【分析】换元设VT石=t,可得y=-i(t+l)2+2,再结合t>0与二次函数的范围求

解即可.

【详解】设VI-2%=t,则t20,久=,所以y=1+-t=(-t2-2t+3)=

-4t+1)2+2,因为t>0,所以y<I，所以函数y=l+x-代为的值域为(一8,|].

故选：A.

【变式1-1]1.(2019秋•吉林•高三辉南县第一中学校考阶段练习)函数/'(X)=x-后的

值域为()

A.B.[V2,+oo)

C.昌闾D.(-8,心]

【答案】A

【分析】利用换元法，转化为求y=i(t-D2-诳[o,+8)上的值域，利用单调性法即可求

解.

【详解】令^^=t(t20),则y=g/一t(t>0),

所以y=-1)2-诳[0,1]上单减，在[1,+8)上单增，所以最小值为-1

该函数的值域为卜+8).

故选：A.

【变式1-1]2.(2023・全国•高三对口高考)求函数y=x-后方的值域

【答案】最大值为]无最小值，值域(-8,刍

【分析】求得定义域，设广五=tG[0,+oo),将函数转化为关于t的二次函数，即可得

出值域；

【详解】因为y=x-L^,所以1-2x20,解得xWJ

故定义域为,

*1,2

设一2%=te[0,+8),贝卜=,

所以y=-t=一#-1+|G(-co,1],

所以值域为(一8,勺.

【变式1-1】3.求函数y=Jr2一6%-5的值域

【答案】［0,2］

【分析】令1=-/一6x-5可得y=近，结合二次函数性质求得答案；

【详解】令t=—x2—6x—S,»•t>0,则—5<%<—1,

而亡=—%2-6x—5=—(x+3产+4,则0<t<4,

故y=V—%2—6x-5=Vt6［0,2］,

即y=-6%-5的值域为［0,2］；

题型2单根式分离常数+基本不等式

上年

小划重点

分式与根号结合可以分离参数，再利用基本不等式

【例题2】求函数y=然的值域.

【解析】法1：令t=VFTT>0,所以x=~_1,则y=^1l=t+|>2.

法2:直接分离，利用基本不等式y=慧=需=d+意22.

题型3单根式三角换元法

#<»1f

可以写出a-x2的形式，可以使用三角换元

【例题3】求函数y=x+VF三”的值域

【答案】［T咽

【分析】利用三角换元法，结合三角函数性质可求得答案；

【详解】令71-x=u,u>0,则y=x+4V1-x=-u2+4u+1=-(u-2)2+5,

当a=2时，-Q-2产+5取到最大值5,无最小值，

故y=%+4"-x的值域为(一8,5］；

【变式3-1]1.（2023・全国•高三专题练习）求函数y=x+4+V5-炉的值域.

【答案】[4—V5,4+V10]

【分析】由题意令工=VScos/3,/?6[0刀],代入化简可得y=V10sin（/?+》+4,再由三角

函数的性质即可得出答案.

【详解】由5N0,，遍,可令%=遍cos0,0G[0,n]

原函数可整理为：y=正3sB+4+V5sin/?=VlOsinQ?+）+4

因为0</?<n,所以:</?+~<y,则一—<sin（/?+^）<1,

当S=g，ymax=4+VTU；当夕=RJmin=4一通，

所以函数y=%+4+75_%2的值域为[4-遍,4+V10].

【变式3-1]2.（2023・全国•高三专题练习）求函数y=xVl^7+/的值域.

[答案][1,竽]

【分析】由题意可设X=sina（|a|<》,贝！Jy=sinacosa+sin2a,由二倍角的正弦、余弦

公式化简函数，再由三角函数的性质即可得出答案.

【详解】因为函数y=x后三+/的定义域为1一/？o,即一1<x<i,

设x=sina（回<今，

原函数转化为：y=sinacosa+sin2a=gsin2a+1（1—cos2a）=1+-ysin（2a—；）

因为|a|<5,所以,所以-乎<2a—^<Y，

所以一1<sin（2a所以等<y<^

所以函数y=/的值域为[1，等].

故答案为：|9,号9

【变式3-1]3.（2023•全国•高三专题练习）函数y=工-VT=记的值域为.

【答案】[-2V2,2]

【分析】函数y=x-V4-/中用三角换元％=2cos8(。G[O)TTJ),然后利用两角和的余弦

公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围.

【详解】由4-x2>0，得-2<x<2,

所以设x=2cos0(0€[0,n]),

贝Uy=2cos0-V4-4cos20=2cos0-2sin9

=2V2cos(0+—),

因为。+小内争,

所以cos(0+E)w[-1,同，所以ye[-2V2,2].

故答案为：2；[-272,2].

题型4单根式平方法

、，*

*E划重点

平方之后可以消去x2的式子，之后用y表示x,利用y与x的关系既可以求解值域

[例题4]函数f(x)=Vx2-3x+2+x的值域为.

【答案】[1,|)“2,+8).

【解析】令y-x=依_3x+2,两边平方，用y将X表示出来，结合y>x可求出y的取值范围.

(y>x2

【详解】解:设v=Vx2-3x+2+招则y-X=〃2—3x+2所以”一匕2，即y2沼整理

(_2y-3'

得y73y；220解得]«y<|或y22

zy-3L

故答案为:.[1,1)U[2,+00).

【点睛】本题考查了函数值域的求法.对于根式函数求值域时，若/(x)=小茂可用换元法

【变式4-1]求函数y=x+7^二1的值域

2(y>x

【解析】移项平方得：(y-X)=/-1,y'x所以之小2，解得-lWy<。

{X~~y

或yN1

故答案为:・[—1,0)U[l,4-oo).

题型5单根式平方+判别式

中恂重点

平方之后可以不能消去X2的式子，可以利用基本不等式。

[例题5]函数y=奈的值域是

【解析】由题意％6[-1,1],y^O,y2=上J,令t=x+2,(也可以不令t)则y2=半空，

(2-VX)'

即炉+1*_牝+3=0,其判别式公=16-12(y2+l)>0,所以y?3]因为y1，

所以y6[0,^]o

【变式5-1]已知y=3x+V/-2x,求该函数的值域.

【解析】由题意x22或者X40,移项平方式使用根的判别式，y-3x=衍F,平方

2

(y—"ix)=x2—2%化简得，8x2+(-6y+2)x+y2=0,A=(—6y+2)2—4x8y2>0,

解得y>3+2&或者y<3-2V2，又因为x22，所以y>6，综上：y>6或者y<3-242,

值域为(但，3-2V2]U[6,+网

题型6单根式单调性(求导法)

华!我重点

判断根号函数的单调性，进而求解出值域

【例题6](2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x-1)=x+77^1，贝[|()

A.“X)=x+«B./(x)的定义域为［0,+8)

c.f(x)有极大值D./(x)的值域为［0,+8)

【答案】B

【分析】利用换元法可判断A选项，利用分母大于等于0即可判断B选项，利用函数的单

调性即可判断CD选项

【详解】对于A,令t=%-1,即工=t+1,

所以-1)=X+7x-1可整理得/'(t)=t+1+Vt，所以/(x)=X+Vx+1，故A错误；

对于B，要使f(x)=x+y+1有意义，只需x>0，故八支)的定义域为［0,+8)，故B正确；

对于C,因为y=x和y=正在定义域内单调递增,所以"%)=x+正+1在［0,+8)内单调

递增，故八%)没有极大值，故C错误；

对于D,由C可得/Wmm=fW=1，所以f(x)的值域为［1,+8),故D错误；

故选：B

【变式6-1］1.(2021秋•安徽•高三合肥市第八中学校联考阶段练习)若函数y=

后上(a>0,aH1)的定义域和值域都是［0,1］,则loga2=()

A.—1B.\”D.l

【答案】D

【分析】分类讨论a的取值范围，结合单调性和值域求出a,进而得解.

【详解】当a>1时，y=7a-a'为减函数,a-产20,解得x<1,因为函数y=/(x)=

的定义域和值域都是［0,1］,故/'(0)=Va-1-1,/(1)=y/a-a-0，解得a=2,

log22=1；

当aG(0.1),y=-a*为增函数,a-ax>0,解得x>1,不符合题意，

故a=2,log22=1.

故选：D

【变式6-1]2.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=向函+J2kos||，则/(x)

的最小正周期为；当xe[Q]时，/(尤)的值域为;

【答案】n阳2"

【分析】先根据函数周期性的定义说明7T是函数f(x)=J2|sinj|+内鬲的一个周期，

在利用导数说明函数的单调性，从而证明兀是最小正周期；

根据函数/(x)=J2|sinf|+」2|cos,的单调性可求得最大值,再比较％G玲兀]时端点处的

函数值大小，即可求得答案.

【详解】因为/0+汗)=卜而守'+12|cos等]=12卜呜|+^2|cos||=/(x),

故X=兀为/(%)的一个周期，

而当％6(0,兀)时r/(%)=usin|+MCOS|,

由题意可知/■'(>)=V2C0Sx2)\i一((叫.x)\i

令((x)=0,得cos：=sin；,故：=W,x=E

因为当Xe(o,9时，r(x)>o,当Xe仔，兀)时,f'M<o,

故f(x)在(0,5上单调递增，在&兀)上单调递减，故/⑺的最小正周期为TT,

且/(x)在上的最大值为/©=2J,而八兀)=&,f(§=1+

故/图〉2>/(7T),故当xG(Q)时，函数/CO的值域为阵,23

故答案为：n；[V2,2i]

题型7单根式几何意义法

利用几何意义求解值域问题，擅长与解析几何的知识点进行结合

【例题7](2022・全国•高三专题练习)函数y=旨的值域是

【答案】[o,身

【分析】将哥看作是单位圆上半部分的点M(x,y)与4(-2,0)所连直线AM的斜率，即

可通过数形结合讨论值域范围

【详解】设函数f(x)=哥，令y=VT中，则点M(x,y)位于一个单位圆x轴的上半部

分，如图所示.

将函数/⑺=需改写为/⑺=号，则表示定点4(-2,0)与点M(x,y)所连直线AM

的斜率.

当直线MA与上半单位圆相切时，在直角三角形MOA中,MO=1,OA=2,^MAO=30°,

所以=tan30°=f又心。=0所以“X)6[0,/即函数y=宗的值域为[o,f].

【变式7-1]1.(2022秋•河南洛阳•高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习)函数f(久)=

2%—3—V—-+6%—8的值域是.

【答案】[3-强5]

【分析】将函数r(x)=2x-3-T-x?+6x-8的值域转化为y-J1-1x-3尸与y=2x-

3-t有交点时的t的取值范围，利用数形结合法求解.

【详解】解:f(x)=2x—3—V—x2+6x—8—2x—3-.y1—(x—3)z,

由-/+6x-8>0,解得2<x<4,

令"t=2x-3-J1-2—3)2,即J1—(x-3尸=2x-3-t,

将函数/'(x)=2x-3-7—好+6%-8的值域转化为y=4\一。一3尸与y=2x-3-t有

交点时的t的取值范围,

在同一坐标系中作函数y=Jl_(x_3)2与y=2x-3-t的图象如图所示：

由图象知：当直线y=2x—3-t与半圆(x-3)2+y2=1相切时，t最小，

蜩篇=1，解得t=3土遍，由图象知"3-的，

当直线y=2x-3-t过点4(4,0)时，t最大,此时t=5,

所以tG[3-V5,5],即/Xx)的值域是[3-6,5],

故答案为：[3-V5,5]

【变式7-1]2.函数/(无)=写合的值域为()

A.[-*1]B..[-1,0]C.[0,1]D.[0,|]

【答案】C

【答案】令x=cose,0G[O,n],则f(x)=g(8)=翳3的几何意义是单位圆(在x轴及其上

方)上的动点M(cosd,sine)与点A(2,1)连线的斜率k,由图像，得04k41,即函数

f(x)的值域为[0,1]，故选C

点睛：本题考查利用三角代换，直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一

是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由也*的形式联想到过两点的直线

cosd—2

的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析结合间的有机结合.

【变式7-1】3.函数y=的值域为_.

【答案】(，手]

【分析】先根据条件求出x的范围，再令x-2=cos0,利用三角换元法结合三角函数的值

域即可求出结论.

【详解】-x2+4x-3=-(x-2)2+1>0=>1<X<3.

令x-2=cos0且[0,n]

.y=又寸=丝岩，表示两点(-3,-3)和(cosO⑸n0)的斜率,cos2e+sin29=

X+lCOStf,To

1,0G[0,7rj,故点(cos0,sine)在单位圆的上半部分.

如图，斜率最小为"=；，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率产「*毁=-1

-3-14cos。-(-3)cos6

(1

sinO+cosO=——

3

化简得+cose=--,由(cos2e+Sin2-6=1,0e[O,TT],解得sin。=此二,cosd=

-1<cosd<06

I0<sind<1

w二故切线的斜率为"士"=罂士.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为《，

6cose-(-3)、乙工+34

故答案为：日，手]

【点睛】本小题主要考查含有根式的函数的值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法,

考意数形结合的数学思想方法，属于中档题.

题型8双根式平方法

平方后可以消去未知数x即可.

【例题8］（2023・全国•高三专题练习）函数y=y+的值域为

【答案】［跖2网

【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可.

【详解】由已知得函数y=«+痣。的定义域为［0,6］,

•・・y=«+\6—X,

y2—(y/x+V6-x)=6+27x(6-x),

又x(6—%)=—(x—3)2+9,xE,[0,6]

•••x(6—x)6[0,9],

.•16+27x(6-x)G[6,12],Xy>0,

•••yG[V6,2V3]

故答案为：[V6,2V3].

【变式8-1]1.(2023・全国•高三专题练习)函数y=GT+01V的值域为

【答案】［百，何

【分析】先求函数的定义域，由于y>0，在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域.

【详解】由y=有意义可得｛；；：：；,所以一2<x<1,

y=V1-X+-2+x的定义域为[—2,1],

=J(V1—x+V24-%)2=Jl—x+2+%+2V1—%­,2+%

y

-%+2+3=+*3

设t=-(X+3)，则te卜g,o],y=Jt+：+3,则ye[V3,V6].

故答案为：[V3,N/6].

【变式8-1]2.(2022秋•江西赣州•高三校考开学考试)下列说法正确的是()

A.y=y/x-1-Vx-3的值域为(-8,回

B.y=Vx+，4-％的最大值为2

C.y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间为(1,+8)

D.函数y=#上的最小值为一"

2-cosx3

【答案】D

【分析】对于A:整理得y==—,定义域[3,+8)上单调递减，利用单调性判断结合

X/X—1+yX-S

不等式性质判断最值；对于B:利用不等式誓<a2+炉求最值；对于C：根据定义域结

合复合函数单调性判断；对于D：利用斜率进行转化，数形结合判断最值.

【详解】•・•｛：[《〉贝上23,即丫=-斤功的定义域为[3,+8),

y=Vx-1-Vx-3=]_:^在定义域⑶+8)上单调递减，

VX—l-t-yX—3

当％=3时取到最大值企,且V%-1>-3即〃一1-yjx-3>0,

.•.该函数的值域为(0,回，A错误；

叵手式W(五)2+(/^)2=4,则4+在^W2夜

当且仅当a=『7即x=2时等号成立，B错误；

'.'X2—2x—3>0,贝!Jx>3^x<—1,

即y=lg(x2-2x-3)的定义域为(-8,-1)U(3,4-00),

根据复合函数单调性可知y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间为(3,+8),C错误；

三g可以理解为以。为圆心，半径为1的圆。上的动点P(cosx,sinx)与定点4(2,0)所构成直

线P4的斜率，

如图可得：相切时取到最大值，此时直线P4的倾斜角为三，斜率k=T，

o3

二函数y=—的最小值为-4，D正确；

2-COSX3

故选：D.

【变式8-1】3.(多选I2021秋江苏苏州•高三统考阶段练习)5知定义在R上的函数f(x)=

|V1+sin2x—V1-sin2x|，贝!J()

A./(-x)=f(x)B•/(x+])=/(x)

C.f(x)的值域[0,2]D./(x)>2cosx的解集为冷+2"号+2kn],keZ

【答案】AB

【分析】利用函数奇偶性、周期性定义判断选项A,B;求出函数f(x)的值域判断选项C;

举特例判断选项D作答.

【详解】依题意,/(—x)=|V1—sin2x—+sin2x|=|V1+sin2x—V1—sin2x|=/(%)r

A正确；

/(%+1)=|Jl+sin(2x+TT)—y/1—sin(2x+7r)|=|V1-sin2x-V14-sin2x|=/(x),B

正确；

/(%)=/(Vl4-sin2x—V1—sin2x)2=J2-21cos2%|E[0,^2],C不正确；

因当x=:时，/(：)=V2,2cos：=V2,即x=:是f(x)>2cosx的一个解，而:Cg+

2/C7T,+2k.it］,kGZ,D不正确.

故选：AB

【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：Q)定义域关

于原点对称是函

数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;⑵f(-x)=-f(x威f(-x)=f(x)是定义域上的恒等

式.

题型9双根式几何意义法

木划重点

双根式可以转化为两点间的距离公式，与解析几何进行结合求解.

【例题9］求函数y=y/x2+1+J(2-x)2+4的值域.

【答案】最小值,无最大值，值域［后,+8)

【分析】求得定义域，将函数转化为点(％0)到点(0,1)和(2,-2)距离和的范围，即可得出值

域.

【详解】因为47率I+V(2-x)2+4=V(x-0)2+(0-I)2+—2尸+(0+2尸,

所以y=V%2+1+J(2-久)2+4表示点(x,0)到点(0,1)和(2,-2)距离和的范围,

所以y>J(0-2尸+(1+2)2=V13,

故值域为［g,+8).

【变式9-1］1.(2023•全国•高三专题练习)函数y=Vx2-2x+5-疹=赤TH的值

域为

【答案】［-△夜)

【分析】将问题化为X轴上点C到4(1,2)与B(2,3)距离差的范围，利用三角形三边关系及绝对

值不等式，讨论端点情况，即可得值域.

【详解】由题设y=’(%-1尸+(0-2尸-―2尸+(0―3尸,

所以所求值域化为求x轴上点C到4(1,2)与B(2,3)距离差的范围，如下图示，

由图知：||C川一|CB||<\AB\,即一|4B|<\CA\-\CB\<\AB\,

当G4B三点共线且4在C,B之间时，左侧等号成立；

当CM,B三点共线且B在CM之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；

所以-|4即<\CA\-\CB\<\AB\,即y=\CA\-\CB\e\-\AB\,\AB\)=[-V2,V2),

所以函数值域为[-a,企).

故答案为:S

【变式9-1]2,(2022•宁夏石嘴山•中学校考一模)某同学在研究函数/(X)=

4E+一6刀+10的性质时,受到两点间距离公式的启发，将f(x)变形为/(x)=

J(无一0产+(0-1)2+3"+(0+1》,则f(x)表示|P川+|PB|(如图),

则：①f(x)的图象是中心对称图形；

②/(X)的图象是轴对称图形；

③函数f(x)的值域为MX+8)；

④函数/■(%)在区间(-8,3)上单调递减；

上述关于函数f(x)的描述正确的序号为

【答案】②③

【分析】数形结合求出f(x)值域即可判断①③，根据A、B纵坐标互为相反数知A、B关于

AB与x轴的交点或0)对称，由此可得/(|-x)=/(|+x)，由此可知f(x)关于久=狮对称，

数形即可即可判断其单调性.

【详解】由于伊川+|PB|的最小值为|力引=次+(1+1)2=V13,."(x)的值域为［g,

+8),由函数的值域可知，函数的图象不可能为中心对称图形，故①错误，③正确；

A、B纵坐标互为相反数，故A、B关于AB与x轴的交点(|,0)对称，如图设P(|-x,0),

则APBP，为平行四边形，故|PA|+\PB\=\P'A\+\P'B\,即/'(|一x)=f(|+x),故f(x)的

图象关于x=次寸称，故函数是轴对称图形，故②正确；

•・/⑺的图象关于x=，寸称，且由图可知f(x)在(-8,|］单调递减，在［|,+8)单调递增，

故④错误.

故答案为：②③.

题型10双根式单调性

小恂重点

通过直接判断函数的单调性，或者求导之后判断函数的单调性进行求解，需要注意求出函数

的定义域。

【例题101求函数y=4+^/7^I的值域.

【解析】由题意得，X21,y=4+*1,单调递增，所以yz1,

【变式10-1】1.求函数y=V7=+^的值域.

【解析】由题意得，y'=占-泰=：等答所以，函数在（-9,-1）上递减，在（-1,

7）上递增，加公=^,ymin=4,所以值域为[4,4V2]

【变式10-1】2.（2022•全国•高三专题练习）求函数f（x）=VT石+，X2—4X—12的值

域.

【答案】[3,+8）

【分析】先求得/（X）的定义域，再根据函数的单调性，即可求得函数值域.

【详解】由5-2x之0,且/一4x-1220,解得％<-2，故该函数的定义域为（一%-2],

又该函数在定义域内单调递减，所以当x=-2时，函