高考数学二轮总复习 综合测试题理3

专题五综合测试题

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.已知无穷数列匕｝是各项均为正数的等差数列，则有()

n

aaaa

C.T>T).

aaaa

6868

解析：aa=(a+3d)(a+7d)=a2+10ad+21d2,和=(a+5d)2=a2+10ad+25d2,故之

4811116111a

6

a

5

a

8

答案:B

2.已知数列｛a｝的前n项和S=112—9n,第k项满足5<a《8,则k=()

nnk

A.9B.8

C.7D.6

解析：由题意知,数列解｝为等差数列,a=S—S=2n—10,由5<2k—10<8,keN*,

nnnn—1

得到k=8.

答案：B

3.对于非零实数a、b,“b(b—a)W0”是“彩1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：：a#0,b#0,故有b(b—a)W0<J^W0=l—故选C

答案：C

X2-1-4xx20

，),若f(2—掾)>f(a),则实数a的取值X围是

!4x—X2,x<0

)

A.(—8,—1)u(2,+°o)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(—8,-2)U(1,+o°)

解析：由题知f(x)在R上是增函数，可得2—az〉a,解得一2〈a〈l,故选C.

答案：C

1/9

5.已知数列｛a｝的前n项和S=a^—l（a是不为0的实数），那么｛a｝（）

nnn

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.可能是等差数列，也可能是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

答案：C

6.（20H•某某）等差数列｛a｝中，S是其前n项和，a=

nn1

s-s=2,

-2008,20072005则‘2008的值为（）

A.-2006B.2006

C.-2008D.2008

sss

解析：由已知.一前t=2的结构，可联想到等差数列｛a｝的前n项和S的变式，-=

20072005nnn

q+^n—1）,故由统一然=2,得:=1,^=-2008+（2008-1）.1=-L.*.S^

=—2008.

答案：C

7.已知a20,b20,且a+b=2,则（）

1

A<B-

ab、2

C.82+b2W3D.a2+b222

解析：,**b20,且a+b=2,・・・4=(a+b)2=a2+b2+2abW2(a2+b2),32-|-b2^2.

答案：D

8.已知等比数列｛a｝中，a=l,则其前3项的和S的取值X围是()

n23

A.(―00,—1]B.(—0°,—1)U(1,+8)

C.[3,+°°)D.(—8,—1]U[3,+°°)

解析：•・,等比数列但｝中，a=1,・,.S=a+a+a=

n23123

a((+l+j=l+q+*当公比q>0时，Ss=l+q+^l+2-Uq^=3,当公比q<0

时，S=l-[-q-(|<l-2]—q-

ASe(-oo,-i]u[3,+°°).

3

答案：D

9.(2011•某某某某模拟)q=>jma+nc•、/\+((叭n>a>b、c、d

均为正数），则P、q的大小关系为（）

2/9

A.p》qB.pWq

C.p>qD.不确定

解析：q=^yab+^^+^^+cd^-^ab+2^abcd+cd=-y^ab+*^cd=p,故选B.

答案：B

S

10.设S=l+2+3H----kn,neN*,则函数f(n)=—,~~—的最大值为()

nn十320

n+l

1111

20孙.4050

解析：由s0=2得f(n)=n+32n+2=n^+34n+64=64

nd——P34

n

11641

-=用当且仅当n=>即n=8时取等号，即f(n)=f(8)=-

2>J64+3450n皿5°

答案：D

x—y^O

H.设变量x,y满足约束条件<x+yWl，则目标函数z=5x+y的最大值为()

.x+2y》l

A.4B.5

C.6D.7

解析：如图，由图可知目标函数z=5x+y过点A(l,0)时z取得最大值，z=5.

max

答案：B

12.｛a｝为等差数列，若%〈一1,且它的前n项和S有最大值，那么当S取得最小正

nann

10

值时，n=()

A.11B.17

C.19D.21

解析：等差数列｛a｝的前n项和S有最大值，则公差小于零.又%〈一1，则有a〈0,

nna11

3/9

a>0,a+a<0,即S>0,S<0,则当S取得最小正值时，n=19.

1010111920n

答案：c

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上.

13.在公差为d(dWO)的等差数列｛a｝中，若S是｛a｝的前n项和，则数列S-S,S

nnn201030

-s,S-S也成等差数列，且公差为lOOd.类比上述结论，在公比为q(qWl)的等比数列

204030

也｝中，若T是数列｛b｝的前n项之积，则有.

nnn

TTT

答案：V，,，/也成等比数列，且公比为5。。

102030

14.(2011•某某省高三诊断)观察下列等式：

,22+12X2+1

12+22=-------------------,

33+12X3+1

12+22+32=-

6

44+14X2+1

1.2+22+32+42=-，…，根据上述规律可得12+22+32+…+n2

解析：通过观察前三个等式可得I2+22+32+…叶1u2n+l

nn+12n+l

答案:

6

15.已知数列｛a｝为等差数列，则有等式a—2a+a=0,a—3a+3a—a=0,a—4a

n123123412

+6a—4a+a=0,

345

(D若数列｛a｝为等比数列，通过类比，则有等式.3

n

(2)通过归纳，试写出等差数列｛a｝的前n+1项a,a,……,a,a之间的关系为

n12nn+1

解析：因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类

比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的

系数与二项式系数相同，解出第(2)问.

咨(1)aa—2a—1,aa—3azsa—i=1,aa—4a6a—4a—1

123123412345

(2)C°a—Cha+C2a..+(—1)nCna=0

n1n2n3nn+1

16.若不等式4x—2x+i—a20在［1,2］上恒成立，则a的取值X围为.

解析：由题得aW4x—2x+i在［1,2］上恒成立，即aW(4x—2x+i)=［(2x—1)2—1］=0.

minmin

答案：(一8,0］

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知函数f(x)满足ax•f(x)=b+f(x)(a•bWO),f(1)=2且f(x+2)=—f(2—x)对

4/9

定义域中任意x都成立.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)正项数列｛a｝的前n项和为S,满足S=J(3—丁求证：数列｛a｝是等差数

nnnTa/n

n

列.

解：⑴由ax•f(x)=b+f(x)(a•bWO),得f(x)(ax—l)=b,若ax—1=0,则b=0,

不合题意，故ax—IWO,

ax—l

由f(l)=2=^y,得2a—2=b,①

由f(x+2)=-f(2—x)对定义域中任意x都成立，得。——尸一。。?——p

ax十/-1a乙一x一1

由此解得a=g,②

把②代入①，可得b=-1,

—12

・・.f(x)=-------=3--(xW2).

1N—X

/一1

9\(2\

⑵证明：Vf(a)=--,S=-13-T-

n乙一an4\1a7

nn

AS=7(a+1)2,a=J(a+l)2,/.a=1；

n4n1411

1

+

--

nT14(aTn

**.a=S—S=7(a2—02+2a—2a),

nnn—14nn—1nn—1

I.(a+a)(a—a—2)—0,

nn—1nn—1

Va>0,

n

a—a—2=0,即a—a=2,

nn—1nn—1

.••数列｛a｝是等差数列.

n

18.(本小题满分12分)

(2011•某某某某十九中模拟)等差数列｛a｝的各项均为正数，a=3,前n项和为S,等

n1n

比数列出｝中，b=1,bS=64,｛ba｝是公比为64的等比数列.

n122n

⑴求a与b；

nn

⑵证明：+h-----4卷

JJJJ4

123n

5/9

解：(1)设｛a｝的公差为d,d为正数，｛b｝的公比为q,贝lj

nn

a=3+(n—l)d,b=q-1.

nn

hUq3+nd-l

/11------------------qd=64=26

依题意有DQ3+n-ld-1

an

Sb=6+dq=64

22

由(6+d)q=64知q为正有理数，

6

又由q=24知，d为6的因数1,2,3,6之一，解之得d=2,q=8.故a=2n+Lb=8。

nn

⑵证明:由⑴知s=n(n+2),

n

于

1+w2+w3+…n

上——nn+2

II—―I-—―।——―I-•••-I-—

2V32435nn+2.

\(,11113

=5口+厂^^一石眇]

19.(本小题满分12分)

(2011•某某某某模拟)已知等比数列｛a｝的前n项和为S=2•3n+k(keR,neN*).

nn

(1)求数列｛a｝的通项公式和k的值；

n

(2)设数列｛b｝满足a=4(5+k)%%,T为数列｛b｝的前n项和，试比较3—16T与4(n

nnnnn

+l)b的大小，并证明你的结论.

n+1

解：(1)由S=2•3n+k(k£R,n£N*)，得当n22时，a=S—S=4,3n-i.

nnnn—1

V｛a｝是等比数列，/.a=S=6+k=4,/.k=—2,

n11

故a=4,3n-i(nGN*).

n

n—1

(2)由a=4(5+1<)%%,a=4・3n-j|]k=-2,得b=^-,

nnn4•Jn—1

n—2n—

AT=b+b+b+b+b=*4•3n-i®

„123+„-1„TT34,3n-2

3Tn+…

44,34*024•3n-34,3n—2

由②一①得，2Tn=4+4•3+4•32H^4•3n-3+4•3n-2-4•Sn-l'

111

T--11n—132n+l

n88•38•

328,3n—38,3n—28*3—11616,3n-l,

6/9

nn+12n+l_nn+l—32n+l

4(n+l)b-(3-16T)=——--

n+lnJn3n—l3n

*.*n(n+1)—3(2n+1)=112—5n—3,

当或nT~~J亘<0时，有n(n+l)>3(2n+l),

・•・当n>5(n£N*)时，有3—16T<4(n+l)b.

nn+l

同理可得，当5―严<nT+严时,有n(n+l)<3(2n+l),

...当lWnW5(neN*)时，有3—16T〉4(n+l)b.

nn+l

综上，当n〉5(neN*)时，有3—16T<4(n+l)b；

nn+l

当lWnW5(ndN*)时，有3—16T〉4(n+l)b.

nn+l

20.(本小题满分12分)

某商店投入81万元经销某种奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利

润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中.市场调研表明，该商店在经销这一产品期

’1,lWnW20

间第n天的利润a1(单位：万元，neN*).记第n天的利润率b=

n-rn,21WnW60n

第n天的利润气

前n天投入的资金总和’例如乜—8i+a+a.

12

(1)求b,b的值；

12

(2)求第n天的利润率b；

n

(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率.

解：⑴当n=l时，b=/；当n=2时，b

1ol2OZ

(2)当lWnW20时，a=a=a=***=a=a=1.

123n—1n

.a11

•h=---------«--------=--------=-----

n81+a+a+…+a81+n—1n+80，

12n-l

当21WnW60时，

b=_____________a_____________

n81+a+…+a+a+…+a

12021n-l

81+20+a+…+an—21n+20

21-I10H------------------

7/9

2n

n2—n+1600'

・••第n天的利润率

]

lWnW20neN*

<n+80,

b

n2n

n+1600'21WnW60n£N*

(3)当lWnW20时，b是递减数列，此时b的最大值为b=白；

nn十yun131

当21<n<60时，b=n.7nn=一焉—<r^~一=袅当且仅当n=噂,

nR2—n+1600口+K。。[2^1600—179n

即n=40时，"=”成立).

219

又丁？**•当n=40时，(b)=—

olnmax

2

该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为五.

IZ)

21.(本小题满分12分)

(2011•某某某某模拟)设数列｛a｝的前n项和为S,且对任意的ndN*,都有a〉0,S

nnnn

=qa^+a：+・・・+a3.

(1)求a,a的值；

12

(2)求数列伯｝的通项公式a；

nn

(3)证明：法2法+法.

2n+l2n2n—1

解：(1)当n=l时，有3=5]=，^,

由于a>0,所以a=1.

n1

当n=2时，有$2=#@：+气,即++

将a=1代入上式，由于a>0,所以a=2.

2

(2)由----Pa;,

as+a3+，・・+a3=(a+a+•••+a)2,(T)

12n12n

贝!j有a3+a3-|-----l-as+as=(a+a+・・・+a+a)2.②

12nn+112nn+1

②一①得

as=(a+a+…+a+a)2—(a+a+…+a)2.

n+112