2014-2023年高考数学真题分享汇编：不等式选讲（文理通用）（解析版）（全国通用）

十年(2014—2023)年高考真题分项汇编一不等式选讲

目录

题型一：含绝对值不等式的解法...............................1

题型二：不等式的最值.......................................8

题型三：含绝对值不等式的成立问题...........................9

题型四：含绝对值函数的图像及其应用........................10

题型五：不等式证明........................................17

题型一：含绝对值不等式的解法

1.(2021年高考全国乙卷理科•第23题)已知函数/(x)=|x—4+,+3].

(1)当。=1时，求不等式/(X)26的解集；

(2)若/卜)>一。，求a的取值范围.

【答案】⑴(T»,-4]U[2,+OO).⑵(一■|,+oo].

解析：(1)当a=l时，/(x)=|x-l|+|x+3|,|x-l|+|x+3|表示数轴上的点至此和一3的距离之和,

则/(x)>6发示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6.故xW-4或xN2,

所以/(x)26的解集为(―8,—4]U[2,+«).

(2)依题意/(x)>-a,即|x-4+,+3|〉一a恒成立，

|x—a|+|x+3|=|a-x|+|x+3|>|a+3|,故+3|〉一a,

所以Q+3>-Q或〃+3<Q,

3

解得。>一

2

所以a的取值范围是(一"I，+°°).

【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.

2.(2020年高考课标II卷理科•第23题)已知函数/(x)=k-1|+|+11.

(1)当。=2时，求不等式/(X).4的解集；

(2)若/(x)..4,求。的取值范围.

【答案】或卜(2)(-a),-l]U[3,+a)).

解析：⑴当a=2时，/(x)=|x-4|+|x-3|.

3

当x43时，/(x)=4-x+3-x=7-2x>4,解得：x^-；

当3cx<4时，/(x)=4-x+x-3=l>4,无解；

当x24时，/(x)=x-4+x-3=2x-7>4,解得：x>y-；

综上所述：/(x"4的解集为卜|x«|或

(2)J(x)=|x—6f|+|x—2tz+l|>|(x_q-)—(x—2a+1)|=|—<?'+2a—1|=(o—1)(当且仅当

2a—时取等号),

.,.(<7-I)2>4,解得：a<-1aKa>3,

的取值范围为(一叫一l]U[3,+8).

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.

3.(2020江苏高考••第23题)设xeR,解不等式21x+11+1x区4.

【答案】"2,|

【解…析-】“f_2xX_<2--1x44或,[[2x-l+<2x-<x044—或｛[2x+x2>+0xW4

2「2一

.・.-24工<-1或-IKxKO或0<x4§,所以解集为-2,-

4.(2019•全国II•理•第23题)已知函数/(%)=,一41+,一2|(工一。).

(1)当Q=1时，求不等式/(x)<0的解集；

(2)当(-8,1)时,/(%)<0,求a的取值范围.

【答案】⑴(-00,1)；⑵[1,+8)

【官方解析】

。)当a=l时，/(x)=|x-l|x+|x-2|(x-l).

当x<l时，/(x)=-2(x-l)2<0；当时，/(x)>0.

所以，不等式/(x)<0的解集为(一8,1).

(2)因为/(0=0,所以a21.

当XG(-oo,1)时，/(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0

所以，。的取值范围是［1,+«)).

【分析】(1)根据a=l,将原不等式化为卜―l|x+|x—2|(x—1)<0,分别讨论x<l，lWx<2,

2三种情况，即可求出结果：

(2)分别讨论a21和a<1两种情况，即可得出结果.

【解析】

(1)当a=l时，原不等式可化为|x—l|x+|x—2］(x—1)<0；

当x<l时，原不等式可化为，Bli(x-l)2>0,显然成立，

此时解集为(-8,1)；

当lWx<2时，原不等式可化为(x-l)x+(2-x)(x—1)<0,解得X<1,此时解集为空集；

当x22时，原不等式可化为(x-l)x+(x-2)(x-l)<0,即(x-l)2<0,显然不成立；此时解集为

空集；

综上，原不等式的解集为(-8,1)；

(2)当时,因为xe(—oo,l),所以由/(x)<0可得(a-x)x+(2-x)(x-a)<0,

即(x—a)(x—1)>0,显然恒成立；所以满足题意；

2(x-a},aWx<1

当。<1时，=工、，因为时，/(工)〈0显然不能成立，所以。<1

不满足题意；

综上，a的取值范围是［1,+8).

【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.

5.(2019•江苏•第23题)设xeR,解不等式|x|+|2x-l|>2.

【答案】见解析

【解析】当x<0时，原不等式可化为-x+l-2x>2,解得x<-；；

当OWxW1时，原不等式可化为x+l-2x>2,即x<-l,无解；

2

当x>，时，原不等式可化为x+2x-l>2,解得x>l.

2

综上，原不等式的解集为或X>1}.

6.(2015高考数学新课标1理科•第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x+l|-2|x-a|,a>0.

(I)当a=1时，求不等式/(x)>1的解集；

(II)若/(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求”的取值范围

2

【答案】(I){x|-<x<2}(11)(2,+~)

分析：(I)利用零点分析法将不等式f(x)>l化为一元一次不等式组来解；(II)将/'(X)化为分段函数，

求出/(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即

可解出a的取值范围.

解析：(I)当a=l时，不等式f(x)>l化为|x+l|-2|x-l>1,

x<-1f-1<x<1fx>12

等价于《或《或《，解得士<x<2,

—x—1+2x—2>1x+1+2x—2〉1x+1—2x+2>13

2

所以不等式f(x)>l的解集为{x[§<x<2}.

x—1—2a,xv—1

(II)由题设可得，/(x)=(3x+1-2a,-1<x<a,

一x+l+2o,x>a

所以函数/(X)的图像与无轴围成的三角形的三个顶点分别为4^^,0),3(2a+l,0),C(a,a+1),

2

所以4ABC的面积为§(a+l)2.

2

由题设得一(a+l)2>6,解得a〉2.

所以a的取值范围为(2,+8).

7.(2015高考数学江苏文理•第24题)解不等式x+|2x+3|>2

【答案】'xx<—5或x>—,

3

分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可

f3f、3

解析：原不等式可化为12或(-2.

—x—3223x+3N2

解得xW-5或

3

综上，原不等式的解集是5或xN—-

3

8.(2014高考数学课标2理科•第24题)(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲.

设函数/(%)=x+—+|x-«|(a>0)

(I)证明：/(x)>2；

(H)若/(3)<5,求a的取值范围.

【答案】解析:(1)x+—+|x-cf|——x+—+-x|>x+—+cf-x|—|iz|+1—22,

仅当a=l时等号成立，所以/(x)N2.

(II)/(3)―3+—+13—tz|=|a—3|+—+3<5

当0<a<3时,/(3)=6-a+^<5,解得

当aN3时，/(3)=4+5<5,解得a〉5+『

综上所述，a的取值范围为(上手，土鲁).

9.(2017年高考数学新课标1卷理科•第23题)［选修4—5:不等式选讲］已知函数/(X)=-/+6+4,

g(x)=|x+l|+|x-l|.

⑴当a=1时,求不等式/(X)2g(x)的解集;

⑵若不等式/(x)2g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范围

【答案】⑴――14x4^^,；⑵卜1川.

【分析】⑴将。=1代入,不等式/(x)2g(x)等价于f—x+|x+l|+|x—1|-4W0,对x按x<7,

-1<X<1x>l讨论，得出最值的解集；⑵当xe［—1,1］时，g(x)=2.若/(x)Ng(x)的解集包含

［-1,1］，等价丁当xe时，/(x)22,则“X)在卜1,1］的最小值必为/(一1)与/(1)之一,所以

/(—1)22且/(1)22,得—14。〈1,所以。的取值范围为［—1,1］.

【解析】(1)当。=1时,不等式/(x)2g(x)等价于炉—x+|x+l|+|x—1卜4<0①

当x<-1吐①式化为一-3%一4<0,无解；

当一14xW1时,①式化为犬-x-2<0,从而—1WxW1；

,—1+Vr7

当x>1时,①式化为+x—4W0,从而1<x<

2

-1+V17

所以不等式/(x)>g(x)的解集为卜-l<x<

2

（2）当时,g（x）=2

所以/（x）Ng（x）的解集包含［-1,1］，等价于当xe［—1,1］时，/（x）22

7（-1）^2

又〃x）在卜1,1］的最小值必为/（一1）与〃1）之一，所以W得一.

所以。的取值范围为［-1,1］.

10.（2017年高考数学课标IH卷理科•第23题）［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数/（x）=|x+l|-|x-2|.

⑴求不等式/（X）21的解集:

⑵若不等式/（X）NX2—x+机的解集非空，求加的取值范围.

5

【答案】（I）{x|xNl}；（11）—00,—

4

—3,x<-1

【解析】⑴因为/'（x）=k+l|—|x—2］=<2x—l,1<X<2

3,x>2

"<一1或.一K2或.x>2

所以不等式/（X）21等价于，

-3>12x-l>l3>1

x<-1-l<x<2,3x>2〜

=>x无解；由〈=>l<x<2；由<x>2

-3>12x>23>1

法上」用不等式./（丫）》的解集为［L+幻.

（2）解法一：先求不等式/（x）»Y-x+加的解集为空集时机的取值范围

不等式/卜）2--X+加的解集为空集等价于不等式加＞/（x）—公+x恒成立

—X2+X—r3,X<—i1

记E（X）=/（x）-x2+x<-x2+3x-1,1<x<2,则加〉［/（工）］「

—x~+x+3,x>2

当x<—1时，F（X）=-X2+X-3=-^X-1^-^-<F（-l）=-5

当一时，F（X）=-X2+3X-1

+4%”⑴甘4

2

当x>2时，F（x）=-x+x+3=-xI⑵=1

所以[尸(》)]儆=/(|)=：

所以不等式/(x)2/—x+m的解集为空集时，

所以不等式/(x)2x2—X+朋的解集非空时，加的取值范围为(—8,?.

2

解法二：原式等价于存在xeH,使/(x)—V+XNM成立，BP[/(x)-x+x]max>w

设g(x)=/(%)-f+x

—+x—39x4—1

由(1)知g(x)=<-x2+3x-l,-1<x<2

—x~+x+39xN2

当了工一1时，g(x)=-x2+x-3,其开口向下，对称轴x=g>-l

所以g(x)〈g(-l)=_l_l_3=_5

3

当一1cx<2时，g(x)=-x2+3x-l,其开口向下，对称轴为x=5

(3、995

所以g(x)4g[ij=_a+2_i=w

当xZ2时，g(x)=-x2+x+3,其开口向下，对称轴为x=5

所以8(工)48(2)=-4+2+3=1

综上加(司]皿q

所以〃？的取值范围为(-应:.

11.(2016高考数学课标IH卷理科•第24题)选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=\2x-a\+a.

(I)当a=2时，求不等式/(x)W6的解集；

(II)设函数g(x)=|2x-1|,当xwR时,/(x)+g(x)23,求a的取值范围.

【答案】(I){x|-lWxW3};(n)[2,xo).

【解析】(1)当。=2时，f(x)=\2x-2\+2.

解不等式|2x-2|+2W6,得一.因此/(x)W6的解集为{止1WXW3}.

(II)当xeR时,f(x)+g(x)=|2x—a|+o+|l-2x|2|2x-a+l-2x|+a=|l-a|+a

当》=工时等号成立.

2

所以当xeR时，/(x)+g(x)23等价于|l-4+a23.①

当aWl时，①等价于1一。+。23,无解.

当a〉l时,①等价于a-l+a>3,解得a>2

所以的取值范围是［2,+8).

题型二：不等式的最值

1.(2018年高考数学江苏卷•第24题)［选修4—5：不等式选讲］(本小题满分10分)

若x,y,z为实数，且x+2y+2z=6,求x?+/+z?的最小值.

【答案】4

证明：由柯西不等式，得，+/+z2)(i2+22+22)N(x+2y+2z)2.

因为x+2y+2z=6,所以+_/+z?24,

当且仅当土=上=三时，不等式取等号，此时x=2,夕=3,z=3,

122333

所以x2+/+z2的最小值为4.

2.(2014高考数学课标1理科•第24题)选修4-5:不等式选讲

若。>0/>0,且,+丁=y［ab.

ab

⑴求/+h3的最小值；

(2)是否存在a,b，使得2a+3b=6?并说明理由.

11勺

【答案】解析：(1)由技=上+上？*,得2,且当4=b=时等号成立，

ab7ab

故标+/?37?/4&,且当。=6=及时等号成立，

.•./+/的最小值为4vL

⑵由6=2a+3b?2瓜而，得一弓又由⑴知"32,二者矛盾,

所以不存在应6，使得2a+3b=6成立.

3.(2015高考数学陕西理科•第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x+4<b的解集为{x\2<X<4}.

(I)求实数a,b的值;

(11)求夜/+12+的最大值.

【答案】(I)a=-3,h=\；(11)4.

分析：(I)先由|x+a|<b可得一b—a<x<6—a,再利用关于x的不等式|x+a|<b的解集为

{x［2<x<4}可得a,6的值；(II)先将J—3/+12+”变形为厉•"：+«,再利用柯西不等式

可得y/—3t+12+y［t的最大值.

解析：(I)山|x+a|〈b,得-b-a<x<b-a

-b—a=2,

则4解得。=-3,b=l

b-a=4,

(II)J—3/+12+V7=也<4-t+y[t<

=274-t+t=4

当且仅当今［=近，即Z=1时等号成立，

V31

故(3/+12+V7)=4.

I/max

4.(2015高考数学福建理科•第23题)选修4-5：不等式选讲

已知a>Q,b>0,c>0,函数/(x)=|x+a|+|x-+c的最小值为4.

(I)求。+6+。的值;

(11)求4片+4+02的最小值.

49

【答案】(1)4；(n)B.

7

解析：(1)因为/,(x)=|x+a|+|x+b|+c?|(xa)-(x+b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a#x6时,

等号成立，又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以/(x)的最小值为a+b+c,

所以a+b+c=4.

(II)由⑴知a+b+c=4,由柯西不等式得

2

92+卜2+。2)(4+9+])>

—x2+—x3+cx1I=(a+b+c)2=16,

23

即?§

497

11,

_a—Doio0

当且仅当2—=——=—,即a=一,b——,c=—H't,等号成立

231777

11Q

所以上/+°2的最小值为2.

497

题型三：含绝对值不等式的成立问题

1.(2018年高考数学课标H卷(理)•第23题)［选修4—5：不等式选讲］(10分)

设函数/(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=l时，求不等式〃x)》0的解集；

(2)若/(x)Wl,求a的取值范围.

【答案】解析：(1)当。=1时;

2x+4,xW—1,

/(x)=2,-1<启2,

-2x+6,x>2.

可得/(x)>0的解集为｛x|-24W3｝.

(2)/(x)Wl等价于|x+a|+|x-2|》4.

而|x+a|+|x-2121a+2],且当x=2时等号成立,故/(x)W1等价于|a+2124.

由|a+21N4可得aW-6或心2,所以a的取值范围是(-8,-6]U[2,+8).

2.(2018年高考数学课标卷I(理)•第23题)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知/(x)=|5+l|-

(1)当a=l时,求不等式/(X)>1的解集;

(2)若xw(0,1)时不等式/(x)>X成立，求a的取值范围.

-2,x<-1,

【答案】解析：⑴当a=l时,/(x)=|x+l|-|x-l|.BP/(x)=<2x,-l<x<l,

2,x>1.

故不等式/(x)>1的解集为｛x|x>；｝.

⑵当x£(0,1)时|x+11-1ar-11>x成立等价于当x£(0,1)时|〃％-11<1成立.

若〃工0,则当了£(0,1)时|々工一1|21：

22

若Q>0,—的解集为0<x<-,所以一21,故0<aW2.

aa

综上，〃的取值范围为(0,2].

题型四：含绝对值函数的图像及其应用

1.(2023年全国甲卷理科•第23题)设a>0,函数/(X)=2卜一《一。.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲线y=/'(x)与x轴所围成的图形的面积为2,求a.

【答案】⑴停，3，

(2)2

解析：(1)若则/(x)=2。一2%-。vx,

即3x>。，解得x>—,^—<x<a,

33

若x>。,则/(X)=2x-2a-a<x,

解得x<3a，即av<v3a,

综上，不等式的解集为界,3。

-2x+a,x<a

⑵/(x)=

2x-3a,x>a

画出fM的草图，则/(x)与x轴围成口48。，

口48C的高为存0),所以|明=%

11,

所以S^ABC二寸力例刈=］。-=2，解得a-2.

2.(2023年全国乙卷理科•第23题)已知/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x)W6—x的解集；

/'(X)<y

(2)在直角坐标系xOy中，求不等式组「；八所确定的平面区域的面积.

x+y-6<Q

【答案】(1)［-2,2］；

(2)8.

3x-2,x>2

解析：(1)依题意，f(x)=<x+2,0<x<2,

-3x+2,x<0

x>2[O<x<2[x<0

不等式/(x)(6—x化为:!VV

3x—2«6—xx+246—x—3x+246—x

x>20<x<2x<0

解《得无解；解,得O4xW2,解，得一24x<0,

3x-2<6-xx+2<6-x—3x+246—x

因此-2WxW2,

所以原不等式的解集为：[-2,2]

f(x)<y

(2)作出不等式组<,八表示的平面区域，如图中阴影口28。,

x+y-6<0

由/y+=k-3x6+2'解得小期)，由。\y=x=+26,解得CQ，4)，又53。,6),

所以口23。的面积应越c=36。3%-“=；|6-2冈2-(—2)|=8.

3.(2020年高考课标I卷理科♦第23题)已知函数/(x)=|3x+l|-2|x-l|.

(D画出歹=/(x)的图像；

⑵求不等式“X)>f(x+1)的解集.

【答案】⑴详解解析；(2)(—%—3

x+3,x>1

【解析】⑴因为/(x)=5x-l,作出图象，如图所示:

一x-3,x<—

3

(2)将函数/(x)的图象向左平移1个单位，可得函数/(x+1)的图象，如图所示:

所以不等式/(X)>f(x+1)的解集为1―8,一1)

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力,

属于基础题.

4.(2016高考数学课标I卷理科•第24题)(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x+l|—12%—3卜

(I)画出y=/(X)的图像;

(II)求不等式的解集.

⑴见解析(II)f-oo,3)u(5,+00)

【答案】

x—4,xW—1

3

【官方解答】⑴/(x)=j3x—2,—l<x<],歹=/(x)如图所示:

(II)由“X)得表达式及图像，当/(x)=l时，得x=l或x=3

当/(x)=-1时,得x=g或x=5

故/(x)>1的解集为{即<x<3}；/(%)<-1的解集为［小<，或x>5

ID

.-.|/(x)|>l,解集为；)U(1，3)U(5,

+8).

【民间解答】⑴如上图所示：

x—4,xW—1

3

(II)/(x)="3x-2,-1<x<—

〃、3

4—xfxN一

I2

当xW—1,|x—4|〉1,解得x>5或x<3；.xW—1

ai13

当|3x—2|>l,解得X>1或・••一lvx<一或l<xv一

211332

3

当|4-x|〉l,解得x>5或x<3-Wx<3或x>5

2112

综匕x<-或1cx<3或x〉5

3

A|/（X）|>1,解集为18,g）u（l，3）U（5,+00）.

5.（2018年高考数学课标HI卷（理）•第23题）【选修4一5：不等式选讲】（10分）

设函数/（x）=|2x+l|+|x-l|.

（1）画出y=/（x）的图象：

（2）当XE[0,+OO）时，/（x）<ox+6,求Q+b的最小值.

【答案】【官方解析】(1)/(x)=<x+2,-1<x<l

3x,x>1

y=/（x）的图像如图所示

(2)由(1)知，y=/(x)的图像与歹轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当

(2)依题意可知/(x)Wax+6在［1,+8)上恒成立，在［0,1)上也恒成立

当x»1时，/(x)=3xWax+6恒成即(a-3)x+b20在［l,+oo)上恒成v.

所以。一320,且。一3+620,此时。23,a^-b>3

当0Wx<1时，，/(X)=x+2<ax+b即(a—1)1+/?—2之0恒成立

结合。23,可知6-220即622

［

综上可知《a>一3，所以当。=3,6=2时，6取得最小值5.

\b>2

题型五：不等式证明

1.（2017年高考数学江苏文理科•第24题）［选修4-5:不等式选讲］

已知0,瓦c,d为实数，且/+〃=4,/+/=16,证明ac+b"W8.

2

【答案】解析:证明：由柯西不等式得,直线/的普通方程为+面+〃）（/+d）.

22

因为/+〃=4,c+（/=16

所以（ac+6d）2W64

因此ac+bdW8.

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）•第23题）已知a,b,c均为正数，+4c2=3,证明:

（1）a+b+2c<3；

（2）若6=2c,则‘+123.

ac

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】⑴证明：由柯西不等式有［a2+〃+（2c）［（12+i2+i2）“a+b+2c）2,

所以〃+6+2cW3,当且仅当a=6=2c=l时，取等号，所以。+/?+2c<3；

（2）证明：因为6=2c,«>0,Z?>0,c>0,山（1）得a+b+2c=a+4c<3,

即0<a+4c43,所以一1一2白，

a+4c3

由权方和不等式知工+，=上+乙223,

aca4ca+4ca+4c

当且仅当上1=92,即”=1,c=1=时取等号，

a4c2

所以工+工23

ac

3.（2020年高考课标III卷理科•第23题）设o,b,cGR,a+b+c=0,abc=l.

（1）证明：ab+bc+ca<0；

（2）用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，证明：max{a,b,c}>^4.

【答案】（1）证明见解析⑵证明见解析.

解析：（1）,.,（〃+/?+=/+〃+。2+2ab+2ac+2hc=0,

cib+be+cci—+b2+c).

则6/24-Z)2+2>0，+be+CQ=-5(。++c2j

abc=1,.\a9b9c均不为0,c***ab〜b<0；

(2)不妨设max{a,b,c}=a,

由。+6+。=0,。6。=1可知，a>0,b<0,c<0,

••.a=—b—CM」，♦/=〃("+4=〃+l+2儿2历+2A

behehebe

当且仅当b=c时，取等号，

a>V?>即max{a,b,c}..翔.

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

4.(2019•全国III•理•第23题)设x,y,zeR,且x+y+z=l.

(1)求(x-+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

⑵若(X—2>+(歹一1)2+(z—a)22；成立，证明：“W-3或。2-1.

4

【答案】(1)]；(2)见详解.

【官方解析】⑴由于[(X—1)+(y+1)+(z+1)]2

=(x-厅+(y+1)2+(z+1)2+2Kx-l)(y+1)+(y+l)(z+1)+(z+l)(x-1)]

,,3[(X-1)2+(J；+1)2+(Z+1)2]

4

故由已知得(X—l)2+(y+l)3+(Z+l)22],当且仅当

x=g,y=-pz=一；时等号成立.

4

所以(X-1)2+(y+1)3+(z+l)2的最小值为y.

(2)由于[(x_2)+(y_l)+(z_a)]2

=(x-2)2+(y-l)12+(z-4+2Kx-2)(y-1)+(y-l)(z-a)+(z-a)(x-2)]

»3[(x-2)“+(y-l)2+(z-a)“]

故由已知得(x—2)2+3—Ip+(z—a)?.f鲁,当且仅当

4—a1—a2a—2,,

x=——,y=——,z=-一~--时等号成立.

333

因此(x—2)2+3—1)2+(z—a)2的最小值为(2；")一

由题设知(2+")一解得aW—3或

33

【解法2】柯西不等式法

(1)[(x-l)2+(y+1)2+(z+1)2](12+12+[2)2](X—1)+(y+1)+(z+1)]2=(x+y+z+=4,

45ii

故(X-l)2+(_y+l)2+(Z+l)22§,当且仅当X=],>=-§，Z=—§时等号成立.

4

所以(x—1)2+8+1)2+(z+1)2的最小值为].

(2)(x-2)2+(^-l)2+(z-a)2>1,所以[(X—2)2+3—1)2+(z—a)2](12+/+12)21当且仅当

4—a1—ci2。-2.,.,、、

x-----,y=----,z=------时等号成乂.

333

[(x—2)2+3—1)2+(z_q)2](12+F+]2)=(x—2+y_]+z—a)2=伍+2)2成立.

所以(a+2)2»l成立，所以有aW—3或—1.

【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型.

5.(2019•全国I•理•第23题)己知a,b,c为正数，且满足abc=l.证明：

(1)—+-+-^a2+/>2+c2；

ahc

(2)(a+b)3+(b++(c+op224.

【答案】解：(1)因为/+〃222ac,又abc=l,故有

222a+c+ca22

a+b+cab+bc+ca=^^-J_+J_+l所以J_+'+J.w/+b+c.

abcahcahc

⑵因为c为正数且He=1,故有

(a+b¥+(b+cP+(c+a)323^](a+b)\b+c)\a+c)3

=3(a+b)(b+c)(a+c)N3x(2\[ab)x(2s/hc)x(2y[ac)=24

所以(a+b)3+(b+cy+(c+a)3224.

6.(2014高考数学辽宁理科•第24题)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数/(x)=2|x-l|+x-l,g(x)=16/-8x+1,记/(X)<1的解集为M,g(x)<4的解集为N.

⑴求M；

(2)当xe时,证明:x2/(x)+x[/(x)]2<-.

4

4

【答案】(1)[0,-]；(2)见解析.

3

fx>1fx<1

解析：⑴由f(x)=2x-l1+x-1W1可得《①，或《②.

3x-3<l[l-x<l

44

解①求得IWXW2,解②求得0Wx<l.综上，原不等式的解集为[0,-L

33

13133一

(2)由g(x)=16x?-8x+lW4,求得---WxW—,.".N=---，—],/.MAN=[(),—].

44444

•..当xCMCN时，f(x)=1-x,x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]

故要证的不等式成立.

7.(2014高考数学江苏•第24题)【选修4-5：不等式选讲】

己知x>0,y>0,证明：(l+x+y2)(1+x2+y)^9xy.

【答案】[选修4—4：不等式证明选讲].

解析：本小题主要考查本小题满分10分.

证法一：因为x>0/>0，所以1+x+V,

故(1+x+/)(1+/+y)23#;炉3%x2y=9xy.

证法二：(柯西不等式)(1+x2+y)(l+x+y2)=(l+x2+y)(y2+1+x)>(y+x+4xy)1

>(2y[xy+y/xy)2=9xy.

证法三：因为x>0j>0,所以l+x+y2Nx+2y,l+y+x2>y+2x.

故(l+x+y2)(l+x2+y)N(x+2y)(y+2x)=2(x-y)2+9xyN9。.(江苏苏州褚小光)

证法四：因为x>0,y>0,所以1+x+y22x+2y,l+y+x2>y+2x.

故(1+x+y?)(1+x2+y)2(x+2y)(y+2x)=2x2+2y2+5xy>4xy+5xy=9xy.

8.(2014高考数学福建理科•第23题)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

已知定义在R上的函数/(X)=|x+l|+|x+2|的最小值为a.

⑴求a的值；

(H)若•为正实数，且p+q+r=a,求证：p'+q'+r2>3.

【答案】选修4-5：不等式选讲

解析：⑴因为|x+1|+|x-2|2|(x+l)-(x-2)|=3.

当且仅当一lWx<2时，等号成立.

所以/(x)的最小值等于3,即a=3.

(II)由⑴知p+q+r=3,又因为夕,夕/是正实数，所以

(p?+相+r2)(l2+12+l2)>(pxl+^xl+rxl)2

=(p+q+尸>

=9.

B|J/?2+(/2+r2>3.

9.(2015高考数学新课标2理科•第24题)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲

设q,b,c,d均为正数，且〃+b=c+d,证明：

(T)若ab〉cd,则y[a+y/h>&+yfd；

(11)五+新>五十5是|。一耳<|。一4的充要条件.

【答案】(I)详见解析；(H)详见解析.

解析：(I)因为(6+振)2=〃+b+2V^，｛4c+4d)2=c+1/+2y[cd,由题设a+b=c+d,

ab>cd,得(6+协)？>(«+4『.因此&+.

(