北京市三帆中学2022-2023学年九年级上学期期末模拟数学试卷（解析版）

北京市三帆中学2022-2023学年度第一学期期末模拟九年级数学

一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）.

1.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园.六个月的飞天之

旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

,CB6

C.

中国探火中国火箭

cMEPCHINAROCKET中国行星探测航天神舟

MarsHTSZ

【答案】B

【解析】

【分析】利用中心对称图形的定义直接判断.

【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180。后能与原来的

图形重合,

故选B.

【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键.中心对称图形：在平面

内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对

称图形，这个点叫做它的对称中心.

2.二次函数y=3（x-4『-2的图象的顶点坐标是（）

A.(3,-2)B.(34)C.(-4,-2)D.(4,-2)

【答案】D

【解析】

【分析】由于二次函数y=的顶点坐标为（九k）,由此即可求出抛物线的顶点坐标.

【详解】•.•二次函数y=3（x—4）2-2,

其图象的顶点坐标为（4,一2）.

故选D.

【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标.

3.如图，点A,B,C在上，.OA3是等腰直角三角形，则NAC8的大小为（）

c

月、_

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【解析】

【分析】根据等腰直角三角形的定义得到NAQB=90°,再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出

答案.

【详解】解：；是等腰直角三角形，且。4=03,

ZAOB=90°，

：.AACB=-ZAOB=45°,

2

故选：C.

【点睛】此题考查了等腰直角三角形的定义，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.

4.用配方法解一元二次方程/+8%+9=0，变形后的结果正确的是()

22

A.(%+4)=7B.(x+4『=25C.(X—4『=7D.(X-4)=25

【答案】A

【解析】

【分析】先移项，然后在方程的两边同时加上16,进而得到答案.

【详解】解：移项得：X2+8X=-9«

两边同时加16得：/+81+16=7，

配方得：(x+4/=7,

故选：A.

【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的方法是解题的关键.

5.在直角坐标系中，把抛物线y=f向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，得到抛物线(〉

A.y=(x-2)-+lB.>=(》+2)一+1C.y=(x-2)--1D.y=(x+2)--1

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得到答案

【详解】解：•.•抛物线y=f的顶点坐标为：(0,0)

把点(0,0)左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，得到(―2,-1),

即：平移后的抛物线的解析式为：y=(x+2『-l,

故选D

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象平移规律，是解题的关键

6.近年来，邮政快递业持续抓重点、补短板、强弱项，产业融合日趋紧密，市场活力全面迸发，行业发展

取得了长足的进步.据统计，2019年我国快递年业务量约为635亿件，2021年我国快递年业务量已达1085

亿件，设快递量平均每年增长率为x,则下列方程中正确的是()

A.635(1+》)=1085B.635(1+2x)=1085

C.635(1+%)2=1085D.635(l-x)2=1085

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出2020年和2021年我国快递年业务量，即可得到答案.

【详解】解：设快递量平均每年增长率为X,

2020年我国快递年业务量为635(1+%)亿件，

2021年我国快递年业务量为635(l+x『=1085亿件，

故选：C.

【点睛】此题考查了一元二次方程一增长率问题的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关

键.

7.下列说法中，不正确的是()

A.“a是实数，时20”是必然事件

B.任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次

C.通过大量重复试验，可以用频率估计概率

D.不可能事件发生的概率为0

【答案】B

【解析】

【分析】根据事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式分别判断.

【详解】解：A.““是实数，|。匡0"是必然事件，题干正确，故该项不符合题意；

B.任意掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，题干错误，故该项符合题意；

C.通过大量重复试验，可以用频率估计概率，题干正确，故该项不符合题意；

D.不可能事件发生的概率为0,题干正确，故该项不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了事件的分类，发生可能性的大小，利用频率估计概率，以及概率的公式，熟练掌握教

材中各部分的知识是解题的关键.

8.如图，抛物线>=加+云+C.H0)与X轴交于点A(TO)和下列结论：①abc>0；®2a+b<0；

③3a+c>()；④9a+3Z?+c<0.其中正确的结论个数为()

【答案】B

【解析】

【分析】由图像知，a<Q,c>Q,根据对称轴在)，轴右侧，根据左同右异，得6>0,即可判断①错误；根

据—2<1,得〃+2a>0,判断②错误；由抛物线>=办2+加与x轴交于点A(-1,0),得

2a

a-b+c=O,推出3。+。=0,判断③错误；根据抛物线对称轴0vxvl,确定点8的横坐标小于3,进

而推出9。+3〃+。<0,判断④正确.

【详解】解：由图像知，开口向下，与y轴交于正半轴，

/.<7<0,C>0,

・・•对称轴在y轴右侧

：.b>09

•**abc<0，故①错误；

.•・h<-2a,,

・・・b+2a<0,故②正确；

:抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴交于点A(-1,0),

a—/?+c=0,

h=—2a,

/.3a+c=0,故③错误；

,抛物线丁=依2+云+，(。。0)与犬轴交于点人(-1,0),对称轴0cx<1,

，点8的横坐标小于3,

9a+3b+c<0>故④正确；

故选:B.

【点睛】此题考查了利用二次函数判断式子的符号，正确理解二次函数图像与字母系数的关系，对称轴公

式，图像的对称性由函数图像得到字母的符号是解题的关键.

二、填空题(共16分，每题2分)

9.在平面直角坐标系中，点(一2,5)关于原点对称的点的坐标是.

【答案】(2,-5)

【解析】

【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-X,-y).

【详解】解：根据中心对称的性质，得点尸(-2,5)关于原点对称点的点的坐标是(2,-5).

故答案为：(2,-5).

【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题.记忆方法是结合平面直

角坐标系的图形记忆，比较简单.

10.关于x的一元二次方程/+小+3=0有一根为-1,则n的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】把％=-1代入原方程，解关于〃的一元一次方程即可.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程收+3=()有一根为T,

(-+〃x(-1)+3=0,

解得m=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定

义，灵活代入计算是解题的关键.

11.写出一个开口向上，且与），轴的负半轴相交的抛物线的解析式：.

【答案】y=x2-\（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a>（）,c<0即可.

【详解】解：开口向下，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式可以是y=f—

故答案为：y=1（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质.本题属于开放性试题，答案

不唯一.

12.已知一个扇形的弧长为5加根，圆心角是150°,则它的半径长为,扇形的面积为.

【答案】①.6cm②.15兀。疝

【解析】

【分析】设半径为rem,直接用弧长公式解方程可求出半径；运用半径和圆心角度数据扇形面积公式可求

出面积.

【详解】设扇形的半径为rem,据弧长公式得：变xm-5乃，解得r=6；

180

扇形的面积为：变%x6?=15万（cm2）.

360

故答案为：6cm>\5ncm2-

【点睛】本题考查扇形面积弧长.其关键是理解记准扇形面积弧长公式.

13.如图，将A8C绕点A顺时针旋转40°得到VADE，点B的对应点。恰好落在边上，则N4DE=

DB

【答案】70

【解析】

【详解】根据旋转的性质得到AT>=AB，ZADE^ZB，根据等腰三角形的性质得到Z4Z汨=N3，求

得NADE=NADB=70。.

【解答】解：由旋转的性质可知，AD^AB,ZADE=NB,

；.ZADB=NB，

ZBAD=40°,

ZADE^ZADB^ZB=~x(l80°-40°)=70°,

故答案为：70.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

14.如图，A8是(。的直径，PA，PC是、。的切线，A,C为切点，ZBAC^30°,PA=6,则AB

的长为一

【答案】473

【解析】

【分析】根据切线的性质及切线长定理可证明4c为等边三角形，则/尸的大小可求；求得一P4。为

等边三角形易知上4=AC,在中，利用30°的特殊角度可求得4C的长.

【详解】V是。的切线，43为(。的直径，

PALAB，

ZE4B=90°；

•••ABAC=30°,

：.Z^4C=90°-30°=60°

又,：PA，PC是《O的切线，A,C为切点，

PA=PC=6,

：.△P4C为等边三角形，

二AC=PA=6.

如图，连接BC,则NAC8=90。.

在中，AC=6,Nfi4c=30。,

AC

cosNBAC~AB

AC6A2.0

：.AABD=--------------=----------=6x—==4\/3.

cosNBACcos30°V3

故答案为：4月

【点睛】本题考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和

解直角三角形等知识，掌握知识点的运用是关键.

15.如图，在RtZSABC中，NB=90°,ZC=30°,BC=4,0是8c的中点，以力为圆心作半径为

I的D,将射线84绕点B顺时针旋转a(0°<a<180°)恰好与。相切，则a=

【答案】600##60度

【解析】

［分析】设射线BA绕点B顺时针旋转a(0°<«<180°)后得射线BA'，BA'与,。相切于点E,连接

DE1

DE,则OE_LBA，在中，求得sinZDBE=—=—,从而得ND5E=30。，进而求得

BD2

ZA3A'=60°,即可得解.

【详解】解：设射线BA绕点B顺时针旋转a(0°<«<180°)后得射线BA'.BA与..。相切于点E,

连接。E,则DEL84'，

•••3C=4,D是3c的中点,

/.BD=-BC=2,

2

在七中，DE=l,BD=2,

sinZDBE=—=-

BD2

/.NDBE=30°,

•••ZABC=90°,

ZAB4'=ZABC-NDBE=90°-30°=60°.

.,•射线84绕点B顺时针旋转6()。恰好与i。相切.

故答案：60°.

【点睛】本题主要考查切线的性质、解直角三角形、中点定义以及图形的旋转，熟练掌握解直角三角形是

解题的关键.

16.如图，正方形ABCO的边长为2,点E为正方形内部一点，连接E4,硝，且NA3E=ND4E,点尸

是5c边上一点，连接FO,在，则FD+FE长度的最小值为

【答案】V13

【解析】

【分析】根据正方形的性质得到NBAC=90°,推出NA£A=90。，得到点E在以A8为直径的半圆上运

动，设点O为AB的中点，作正方形A8C0关于直线对称的正方形8PMC,则点D的对称点为M,

连接M。，交8c于点F,交半圆于E,则线段的长即为FD+FE的长度最小值，根据勾股定理即可

得到结论.

【详解】解：•.•四边形ABCO是正方形,

，NBAC=90°,

/.ZDAE+NBAE=90。,

,/ZABE=ZDAE，

：.ZABE+ZBAE=90°,

：.ZAEB=90°,

点E在以AB为直径的半圆上运动，

如图，设点0为AB的中点，作正方形ABC。关于直线8c对称的正方形3PMC,则点D的对称点为

M,连接MO,交于点F,交半圆于E,则线段A/尸的长即为ED+EE的长度最小值，OE=1,

ZP=90°,OP=OB+PB=\+2=3,PM=2,

•*-OM=y]0P2+PM2=732+22=V13，

，FD+FE长度最小值为JI5，

故答案为：屈.

【点睛】此题考查了轴对称一最短路径问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用，凡是涉及最短距离的

问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决问题，多数情况要作点关于直线的对称点.

三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题

6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）

17.解方程：X2-6X+5=O.

【答案】玉=1,X?=5

【解析】

【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：/_6%+5=0,

(x-l)(x—5)=0,

x-1=0或x-5=0,

%=1,4=5.

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

18.下面是小帆同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程.

已知：如图，已知:。及外一点P.

求作：过P点的的一条切线.

作法：①连接OP；

②作OP的垂直平分线I,交OP于点M

③以点〃为圆心，的长为半径画弧，交。于点A；

④作直线PA.

则/为是。的切线.

请你根据小帆同学的设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成证明：证明：连接OA

是CM的直径

ZPAO=9Q°（）（填推理的依据）.

OA1AP,

又•••Q4是。。的半径，

•••24是10的切线（）（填推理的依据）.

【答案】（1）作图见解析；

（2）直径所对的圆周角是是直角，过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，证明见解析；

【解析】

【分析】（1）根据题意作图即可；

（2）。「是〈M的直径得出圆周角ZR4O=90°,进而得出结论；②根据切线长定理，得出相等关系.

【小问1详解】

解：如下图，直线小是I。的切线;

【小问2详解】

证明：是的直径

ZPAO=90°（直径所对的圆周角是是直角）（填推理的依据）.

/.OA1AP,

又•••0A是0。的半径,

•••/%是；.O的切线（过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）.

故答案为：直径所对的圆周角是是直角，过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌

握有关基础知识.

19.已知二次函数,=/一2%一3.

（1）求此函数图象的对称轴及抛物线与x轴的交点坐标;

（2）用五点法画出此函数的图象;

（3）若点A（a,yJ和8（2,%）都在此函数的图象上，且%＞必，结合函数图象，直接写出。的取值范

围.

【答案】（I）x=\,抛物线与X轴的交点坐标为（3,0）,（—1,0）

（2）见解析（3）a<0或。>2

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的解析式，对称轴为尤=-2,令y=o,解方程，即可得到抛物线与x轴的交点

2a

坐标；

（2）先列表，然后描点、连线即可;

（3）根据函数图像求解即可.

【小问1详解】

解：抛物线的解析式为y=/-2x-3,

b-2

・••对称轴为》=——

2a

令y=o,则f一法―3=0,

解得：玉=3,x2=-\,

••・抛物线与x轴的交点坐标为（3,0）,（-1,0）；

【小问2详解】

解：列表如下：

X…-10123・・・

y=x2-2x-3…0-3-4-30…

函数图象如下图所示:

【小问3详解】

解：=%>%，点5(2,-3),

.•・由函数图象可知，4<0或。>2.

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握知识

点，数形结合是解题的关键.

20.如图，在等边ABC中，点。是A3边上一点，连接CO,将线段绕点C按顺时针方向旋转60。

后得到CE,连接AE.求证：AE^BD.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质证明BCD,然后根据全等三角形的性质即可证明

结论.

【详解】证明：是等边三角形，

•••NB=ZAC3=60°，AC=BC,

:将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE,

，NECC>=60°,CE=CD,

：.NECD=ZACB=60°,

AECD-ZACD=ZACB-ZACD,即ZACE=4BCD,

在AACE和△BCD中，

CE=CD

<ZACE=ZBCD,

AC=BC

,ACE=BCD(SAS),

AE=BD.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、旋转的性质等知识点，理解旋转

的性质和等边三角形的性质是解题的关键.

21.已知关于x的方程能『+(2m—l)x+1=0.

(1)求证：方程总有实数根;

(2)若方程有两个实数根且都是整数，求整数〃?的值.

【答案】(1)见解析(2)加=1或机=-1

【解析】

【分析】(1)分〃2=0和小。()两种情况进行判断即可；

(2)先利用求根公式得到％=-1,々=工-1,然后利用有理数的整除性确定整数〃?的值.

m

【小问1详解】

证明：当加=0时，关于x的方程/nr?+(2根-l)x+m-1=0为-x—l=0，

此时，方程有一个实数根；

当初。0时，方程为一元二次方程，

AA=(2w-1)2-4m(m-1)=1>0,

此方程总有两个不相等的实数根；

综上，关于尤的方程如2+&加一l)x+m-1=0总有实数根；

【小问2详解】

•••方程有两个实数根

...方程为一元二次方程，

._-(2m-l)±l

••X—

2m

[1

••%=11,%2=---119

m

•・•方程两个实数根都是整数，且〃，是整数，

m=1或m=-1.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程cvc2+bx+c=0(。#0)的根与△=从—4ac有如下关系：

当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当八<0时，方程无实

数根.

22.一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把他们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回，

再随机摸取一个小球.请用列表法或画树状图法求下列事件的概率.

(1)两次取出的小球的标号相同：

(2)两次取出的小球的标号和是3的倍数.

【答案】（1）-

4

⑵—

16

【解析】

【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号相同的结果有4种，再由概

率公式求解即可.

（2）共有16种结果，其中5次取出的小球的标号的和等于3的倍数即可得带概率.

【小问1详解】

画树状图如下：

开始

.•.共16种等可能的结果数，其中两次取出的小球的标号相同的结果有4种

41

.•.两次取出的小球的标号相同的概率为丁=一：

164

【小问2详解】

由（1）可知，共有16种等可能的结果数；

两次取出的小球的标号的和等于3的倍数结果有5种

.♦•取出的小球的标号的和等于3的倍数的概率为：—

16

【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或

者两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况与总情况数之比.

23.如图，AB为。的直径，点P是上一点，且点P是弦CO的中点.

A

B

（1）依题意画出弦co,要求点c在点。的左侧；

（2）若AP=2，8=8,求的半径.

【答案】（1）作图见解析；

（2）5.

【解析】

【分析】（1）过P点作的垂线即可，作图依据是垂径定理的推论.

（2）设。的半径为/，在Rt_OPD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【小问1详解】

解：过尸点作A3的垂线交圆与C、£＞两点，8就是所求的弦，如图，

依据：平分弦（非直径）的直径垂直于弦；

A

B

解：如图，连接。。,

A

•••。4，。。于点尸，AB是C。的直径,

AZOP£>=90°,PD=-CD,

2

8=8,

；•PD=4.

设;O的半径为r,则8=r,OP=OA-AP=r-2,

在RtQDP中，ZOPD=90°,

；•OD1=OP2+PCr,

即/=（r-2）2+42,

解得r=5,

即。的半径为5.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

24.图1是一个倾斜角为々的斜坡的横截面.斜坡顶端8与地面的距离为3米.为了对这个斜坡上的绿

地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头4BC与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走

过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与水

平地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了

x与〉的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头4的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过

这棵树.

【答案】(1)y=—L(X-4)2+4

4

(2)能越过

【解析】

【分析】⑴由图象知，顶点坐标为(4,4),且图象过点8(6,3),设y关于x的函数关系式为y=a(x—4『+4,

利用待定系数法求解可得；

(2)代入x=2求得y的值后与1+1.9比较大小后即可确定正确的结论.

【小问1详解】

解：由图象知，顶点坐标为(4,4),且图象过点3(6,3),

设y关于X的函数关系式为y=a(x—4)2+4,将3(6,3)代入，

4。+4=3,

解得a=—

4

y=一；(x_4)-+4

【小问2详解】

当尤=2时，y=——4)—+4=—1+4=3,

：1+1.9=2.9,且2.9<3,

水珠能越过这棵树.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的

性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点.

25.四边形A8CD内接于4C为直径，E在D4的延长线上，且与相切.AB平分/E4C.

(1)判断30与CD的位置关系，并说明理由;

(2)若BE=4,AD=3AE,求。的半径

【答案】(1)BOA.CD,理由见解析；

(2)5.

【解析】

【分析】(1)连接。。，BD，先证BD=BC,得点B在线段CD的垂直平分线上，再证点0在线段

8的垂直平分线上，从而有B。垂直平分线段CO,即可得解；

EBAE

(2)连接0。，BD，先证..EBAs.,EDB，得一=—，NDBE=NBAE=/BAC,从而求得

EDBE

AE=2,AD=6,/BED=90°,再利用勾股定理求得A3=26，BC=BD=475)从而即可得

解.

【小问1详解】

解：BOA.CD,理由如下：如下图，连接0£),BD，

•..四边形ABCO内接于C。，

NBAE=NBCD,

AB平分/E4C,

ZBAE=NBAC,

：.ZBCD=ZBAC,

,//BAC=/BDC,

/.ZBDC=ZBCD,

：.BD=BC,

...点B在线段8的垂直平分线上,

OD=OC,

点0在线段CD的垂直平分线上,

；・60垂直平分线段CD,

BOLCD-,

【小问2详解】

解：连接。。，BD，

，BE与:O相切，

.ZABE+ZABO^90°,

,AC为。。的直径，

.ZABC=90°,

.ZBAC+ZACB=90°,

,OB=OA,

•ZABO=ZBAC,

•ZABE=ZACB,

,ZACB=ZBDE,

•ZBDE=ZABE<

•ZE=/E，

•_EBAy\.EDB，

EBAE

•----=-----,NDBE—NBAE=Z.BAC,

EDBE

,BE=4,AD-3AE,ZBAC+ZACB=90°,

.——=空，NDBE+NBDE=NBAC+ZACB=90,

4AE4

.AE=2,AD=6,/BED=90。,

•AB="2+22=2石，BC^BD=y/EB2+EEr=742+82=475>

•AC=y/AB2+BC2=J（2A/5）2+（4V5）2=10，

.O的半径为，AC=5.

2

【点睛】本题主要考查了切线的性质、线段垂直平分线的判定、圆周角定理、直角三角形的判定、勾股定

理以及相似三角形的判定以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及相似三角形的判定及性质是解题

的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，点（1,和（2,〃）在抛物线>=以2+灰+。上.

（1）若〃=c,求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（一3,y）,（g,%］，（3，%）在该抛物线上，若加<c<〃，比较%，%，%的大小，并

说明理由.

【答案】（1）抛物线的对称轴为x=l；

（2）%<〉3<凶，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）由（2,〃）在抛物线^=依2+法+。上，得〃=4a+»+c,进而得2a=-Z?,最后根据对

称轴公式进行求解即可；

（2）设抛物线y=or2+/zr+c的对称轴为x=x0,先求得抛物线y=⑪?+/zr+c过（0，c）,又根据点

（1,间和（2,〃）在抛物线旷=«%2+陵+（:上，m<c<n,0<L1<2>从而得y=加+fer+c在

0<x<l时，y随x的增大而减小，在1<%<2时，y随x的增大而增大，进而得y=+bx+c的开口

向上，。>0,对称轴为x=x0满足;</<1，进而根据抛物线的性质可得解.

【小问1详解】

解：在抛物线丁=0¥2+法+。上，

n=4a+2b+c,

n=c9

•二4a+2Z?=0,

2a=­b,

抛物线的对称轴为%=--=1;

2a

【小问2详解】

解：设抛物线丁=冰2+法+。的对称轴为1=/,

令抛物线y=or?+/zx+c中工=0得、=（:,

/.令抛物线y=ax2+Zzr+c过（。，c）,

・・•点（1,加）和（2,在抛物线y=o?+法+c上，m<c<n,0<1,1<2,

，y=ox?+Zzx+c的开口向上，a>0,对称轴为无=x()满足;<不)<1，

=X<,

|一3一/|=3+%>3；,--xnO~222<|3_/|=3_/<2，

：当a>0时，由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，

%<%<%•

【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

27.已知：一ABC中，AB=AC,NB4c=90。，直线AC上取一点£),连接BQ，线段8D绕点B逆时

针旋转90°,得到线段8。'，连接C。交直线A8于G.

(1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段O'G的数量关系.于是他画了图1所示当Q

在AC边上的时候的图形，并通过测量得到了线段CG与。'G的数量关系.你认为小捷的猜想是CG

D'G(填>,=,(中选一个).

(2)当。在AC边的延长线上时请你根据题目要求补全图2,

①并在你补全的图2中找出与N8DC相等的角

②在图2中探索(1)中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由；

(3)如图3,当。在边AC的反向延长线上时，直接写出CA8,8'的数量关系(用等式表示).

【答案】(1)=(2)ZABD'

(3)4C42+CP2=CP,2

【解析】

【分析】(1)过次作于点E,证明NBD£=NA5O，推出.A3Og..EBO(AAS),得到

D'E=AC,再证明，AGC马。'GE(AAS),得到CG=O'G；

(2)①根据已知补图即可，根据余角性质得到NZ)BA+N/WZy=90°，ZDBA+ZBDC=90°,即可推

出NBDC=NABD'；②过。叫乍。77，AB，交84延长线于点“，证明,,ABOgHD'B(AAS),得到

AB=HD'=AC,再证明，O'"Gg,C4G(AAS),得到CG=D'G；

(3)过。0作交AB延长线于点M,证明,RBAf乌.3。4,得到。'N=A5=AC,

5M=AZ),推出40=CD,过点C作OV_LDM,交D'M的延长线于N,得到四边形AMNC是矩形,

推出C7V=AM=CD,MN=AC=UM,根据勾股定理得到O'N?+6^=CO”进而推出

4CA2+CD2=CD'2.

【小问1详解】

解：CG=D'G,

如图1,过W作DE_LAB于点E，

；•ADEB=ZBAD=90°,ZD'BE+ABD'E=90°,

<•,ABAC=90°,

•••ZABD+ZD'BE=9Q0,

•••ZBIyE=ZABD，

又；UB=DB，

:.ABD-EBD〈AAS),

D'E=AC,

又ZA=NDEG,ND'GE=ZAGC,

.AGC均DGE(AAS),

•••CG=O'G；

故答案为：=；

【小问2详解】

①补图如下：

D'

ZDBiy=9Q°，

：.ZDBA+ZABD=90。,

•••ZR4C=90。，

ZDBA+ZBDC=90°,

NBDC=ZABD',

故答案为：ZABD'；

②成立，即CG=D'G,

证明：过。，作。7/LAB，交84延长线于点H,

/.ZH=Z^4C=90°,

:D'B=DB，ZBDC=AABD,

.ABD当一HUB(AAS),

•••AB=HD=AC,

•；ZH=ZR4C=90。，/DGH=ZAGC,

A.Z577G-C4G(AAS),

:.CG=D'G

如图，过。的乍。'MLAB，交AB延长线于点M,

:.ND'MB=/BAD=90。,

,/ND'BD=90°,

；•AD'BM+ZABD=90°

ZD'BM+ZBD'M=90°,

；•ABDM=ZABD

：..DBM\BDA，

AD'M=AB=AC,BM=AD，

：.AM^CD,

过点C作CN交O'N的延长线于N,

,/ANMA=ZMAC=NN=90°,

四边形AAWC是矩形，

:.CN=AM=CD,M