2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）8 不等式归类（9大应用类型）（解析版）

秘籍08不等式归类

r高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆

考向预测结合余弦定理、几何等考察最值和范围问题

为应试秘籍

不等式占据半个数学，肯定是重点，但是直接对基本不等式的考察很少，大多数会结合其他知识点考

察最值或者范围的问题，所以需要对基本不等式熟练的运用，以及相关的不等式问题也需要掌握，类似与

放缩的思想。

【题型一】同构式比较大小

孕典例剖析

（多选）1.（2023・吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）已知（Iog2a+log3a）-（log2b+log3b）<bg36,

且a>b>0,则下列不等式成立的有（）

1

AB>

一b14fl+-y>4D.4"+—>2

人c.

2bX

【答案】BD

1]监6

[详解】由题设Iog2工+log37="；—=i_卢_r<log.,6,

t>blog„2log„3log,2log“3

bbbb

1°g«6

A

由0>1,则■j—7=-^7=log“3<k)g(J2/og"3,alog„2,log„3>0j

b!og36log6«6bb»i>

所以*2>）则1J<2,故。<〜。，A错误:

1

故

由二_」=">0,>B正确

6一b-

a-bbb(a-b)a

由4"+/=22〃++22亚丁，仅当22〃=^,即2。=—匕时等号成立，

所以等号取不到，则4"+摄>2亚巴而方-6>0,但不一定有2a-吐2,

故4"+泉>4不一定成立，C错误;

由4〃+，=22”+，>2"+/22’其中等号成立条件为2"=5，即。=0时等号成立，

所以等号取不到，贝1]4〃+5>2"+&>2,D正确.

故选：BD

Q

3

2.(2023•辽宁鞍山•统考二模)已知、=4+2%y=6+|ln2,z=2-',则()

A.z>y>xB.y>x>zc.x>z>yD.z>x>y

【答案】C

【详解】X=4+222^4+22X20-2=4(l+202),

z=23-1=4x2"=8x2°,，

台叫茅T"/卜I,则x"

z=8x2°」>8,

因为y=6+如n2,1ln2-2=|1n2一£)<0,

QQ

所以受n2<2,y=6+|ln2<8,

所以z>y,综上，x>z>y.

故选：C.

3.(2023•陕西榆林・统考三模)E^a=log3,43.5+k)g3.53.4,6=log3,53.6+log3*3.5,c=log”3.7,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.h>c>a

【答案】A

【详解】解：令f(x)=x+L

X

则a=.f(log343.5),/?=/(log3^3.6).

易得f(x)在(1,”)上单调递增，

所以当x>l时，/W>/(I)=2,ffijlog343.5>l,log3J3.6>1,

因为1=log”兀<0=108^3.7<log.7?=2,所以a>c,b>c.

logs.3.5_(In3.5)2>Qn3.5)2_(21n3.5)2_(In12.25?>1

>2

而log353.6-In3.4xIn3.6An3.4+In3.6?-[ln(3.4x3.6)]-1In12.24)>

即log343.5>log353.6,

所以a>>>c.

故选：A

守名校模拟

（多选）1.（2023•山西•校联考模拟预测）已知正实数。，〃满足。+4/>=2,贝I」（）

A.ab<—B.2"+16ft>4C.—F—£—D.\[a+2\/b>4

4ab2

【答案】ABC

【详解】对于A,因为2""Wa+46=2,所以abv],当且仅当。=助=1,即a=l力=1时，取到等号,

故A正确；

对于B,2"+16'之2^2"・16"=2,2"+4"=4，当且仅当。=46=1,即a=l,b=；时，取到等号，故B正确；

对于^+；=为+如己+；\；（5+介竺上；（5+2^|^]=，当且仅当"如，即"我二时,

ab2\ab）2\ba）2\\ba）233

取到等号，故C正确；

对于D,（&+2后）=a+4b+4-Jab<4,所以6+2妍42,当且仅当a=4A=l,即a=l,b=；时，取到

等号，故D错误.

故选：ABC.

（多选）2.（2023,吉林通化•梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（）

s1Inn1

A.2'"<log2(sinl)B.-----<——

7t2.7

八2022,+120225+1

D.log43<log65

20223+120224+1

【答案】BCD

【详解】对于选项A,因为0<sinl<l,所以1=2°<2淅|<21=2，Iog2（sinl）<log21=0,

所以2sMi>log式sin1）,故选项A错误；

对于选项B,设〃上手，则八所审

又因为/'(x)>OnO<x<e,f'(x)<O=>x>e,

所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减,

z»z\z»/、t-jnInTCIne1

所以即：一＜—=-,

nee

又因为!＜」，所以皿＜二做选项B正确;

e2.7n2.7

20224+l20225+1(20224+1)2-(20223+l)(20225+1)2x20224-(20223+20225)

对于选项C,

20223+120224+1(20223+1)(20224+1)(20223+1)(20224+1)

因为20223+20223>2^20223x20225=2x20224>所以2x20224-(20223+20225)<0,

20224+i2022s+1八20224+120225+1生京一七党

所以<0,B即n：----:一<-----..•.故选项C正确;

20223+120224+120223+120224+1

44-4

5

对于选项D,因为35<44=(4小，所以3<取，^^10§43<10§44=-

44-4

乂因为55>6'=(625，所以5>63，所以Iog65>bg665=g，所以loge5>log&3.故选项DiE确.

故选：BCD.

3.(2023•河南洛阳•洛阳市第三中学校联考一模)下列结论正确的是()

20232023

A.log20212022<log20222023<—B.log20222023<log20212022<—

轰202|3<log皿2023<log的20222023

C.D.—<log202l2022<log20222023

【答案】B

In2022In2023(In2022)2-In202bin2023

【详解】团log2022-log2023=

M2l2022In2021In2022In202bin2022

2

222

In2021+In2023ln(2022In2022?、

In202bln2023<<=(In2022产，

22

回log2()2i2022-logzg2023>0,所以log20212022>log20222023.

In2022

^log20212022In20222022In20222022_2023

?-2023--In2021*2023-2023'In2021--2()51

20222022

UH“co।2023.onIIIn2022,ln2021....

回比较log20212022与--的大小，即比较——与———的大小.

】।1i

人”、Inx.1H------Inx

令f(x)=-----U>0),则nr,,.=X

x+1(x+1)2

令g(x)=l+[lnx,则g，(x)=TT<0.

所以g(X)在(0,+8)上单调递减,

所以当x>e?时，g(x)<g(e，=l+!-2<0,所以f'(x)<0,所以“0在©,+00)上单调递减.

又因为2022>2021>/,

山Zrec”、“八nnIn2022In2021In20222023nr.,2023

FW/(2022)</(2021),即工〈工所以由〈酝’即%?。22〈逅

2023

综上所述，log.2023Vlog诬2022<伙豆

故选：B.

【题型二】公式应用及限制条件

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数：

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

w典例剖析

【答案】D

【详解】对于A选项，当。〃<0时・，-+7<0,所以A选项错误.

ab

对于B选项，如*="时，cosx+—^=-2<0,所以B选项错误.

COSX

对于C选项，由于x<0,则-x>(),x+-=-(-x+^-\<-2(-x)~=-4,所以C选项错误.

对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.

故选：D

2.给出下列条件：①而>0；②m<0；③a>0,b>0；④。<0,b<0淇中能使成立的条件有（）

ba

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】由基本不等式可知，要使得成立，则？>0,所以，。、匕同号，所以①③④均可以.

bab

故选：C.

3.若a>0,b>0,且a孙，则（）

A.半〈族〈尸B.疝〈等〈尸

a+b

D.Vy/abV

2

【答案】B

a+ba2+/?2(a+by(ci-b)2

【详解】b^R+,且a翔，."+6>2向，.♦.疝<2,而24=4>0,

•••等<FF，故选：13

学名校模拟

1.（2022•云南•建水实验中学高一阶段练习）若存在与亡；,2,使得2焉-/1%+1<0成立是假命题，则实

数2可能取值是（）

A.2A/2B.2>/3C.4D.5

【答案】A

【详解】由题意得：任意的；，2,2f—忒+1之0成立是真命题，

故2x+一之九在九£—,2上恒成立.，

x|_2_

由基本不等式得：y=2x+->2.hx^=2>j2,当且仅当2x=」，

X\XX

即x=1wpL,2］时，等号成立，

22

故242VL

故选：A

2.(2022•上海•高三学业考试)已知x>l,y>l且lgx+lg.y=4,那么lg»lgy的最大值是()

A.2

D.4

【答案】D

Igx+lgy

【详解】0x>l,01gx>0,lgy>0,Ellgx-lgy<=4,

2

当且仅当lgx=lgy=2,即x=y=100时等号成立.

故选：D.

(多选)3.(2022•江苏泰州•高一期中)已知3a=5=15,则小。满足的关系有()

A.—+—=1B.ab>4C.a1+b2<4D.(。+1了+(〃+1产>16

ab

【答案】ABD

【详解】由3"=5"=15,KOa=log315>0,Z?=log515>0,

A：~+T=\---+\----------=1Qg|53+Iogi55=Iogi515=1,正确；

ablog315log515

B：由A知：l+l=ll.«>0,fe>0,a*b,所以l=L+：>2@,即，力>4,故正确，

22222

C：由A、B矢口：a+b=abflhia+b=(a+b)-2ab=(ab)-2ab=(ab-\)-\>S,故错误,

D：由上，(a+1>+(0+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=(ab)2+2>18>16,故正确.

故选：ABD.

【题型三】构造“公式型”

1.基本不等式：，而忘匚厂；

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0；

(2)等号成立的条件：当且仅当a=b.

(3)基本不等式的变形：①a+b22相，常用于求和的最小值；②ab《甯2,常用于求积的最大值;

2.常用不等式：

(1)重要不等式：a2+b2>2ab(a.bGR)；

(2)重要不等式链：、件詈三空•丽，舞；

Y4乙a।D

空典例剖析

41

L设1>y>0,则工+----+----的最小值为()

x+yx-y

A.3也B.2后C.4D.

【答案】A

【详解】.x>y>0,:.x-y>0,，x+—+^—=：(x+y)+—

x+yx-y|_2x+yj|_2x-y

>2t(%+y)x—+2l(x-y)x—=2V2+^=3^,当且仅当〈(x+y)=」』(x-y)=-!-

72'x+y'2、7x-y2x+y2x-y

即》=述,),=也时取等号故选：A

2­2

2.已知a>b>l且6=石，则。+7TL的最小值为()

Z?"-1

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【详解】丁a〉人>1\\.b=\/cif•*»ci4—=aH-----Q—\-\-----------F1之2J(Q—1)-----F1=3.

b~~\a-\ci—\\〃—1

当且仅当a-1=—1即a=2时取等号，此时a+L取得最小值小3.

a-1b“一1

故选:A.

3.若X>1,则2X+—1的最小值为()

x-1

A.2&+2B.-2夜C.-20+2D.2近

【答案】A

【详解】由x>l,可得x-l>0,

2x+—=2(x-1)+-^―+2>2.2(x-l)•――+2=272+2,

x-1x-\vx-1

c/I、1&+2c1

2(x-1)=---x=-----2xH----/—

当且仅当x-1,即2取等号，X-1的最小值为2J2+2,故选：A.

7名校模拟

1.（2023•广东湛江•统考二模）当x,ye（0,y）时，＞：+＞十字＜与恒成立，则，〃的取值范围是（）

x+2xy+y4

A.（25,+oo）B.（26,+oo）C.f—,-H»jD.（27,y）

【答案】A

<4x2+y+x2+4yY

【详解】当X,ye(0,y)时，4x4+17fy+4y2=(4+0任+甸«[2J=25,

x4+2x2y+y2~(x2+y>)~(x2+y)2~4

当且仅当4f+y=x2+4y,即y=Y时，等号成立,

所以壮兽挈

的最大值为不

X+2xy+y

所以m三25，即机>25.

44

故选：A.

2.（2023•全国•高三专题练习）已知0<x<g,则函数y=x（l-2x）的最大值是（）

1

ABC.一D.

-T-i89

【答案】c

【详解】回0<x<；，/.l-2x>0,

1

.112x+(1—2x)2

0x(l-2x)=~x2x(1-2x)<—x[----------]~8-

222

当且仅当2x=l-2x时，即x=[时等号成立,

因此，函数y=x（l—2x）,（0cx<g）的最大值为

故选：C.

3.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈师大附中校考开学考试）在等腰..43C中，AB=AC,若AC边上的中线

3。的长为3,则一A3C的面积的最大值是（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】A

【详解】设A8=AC=2m,BC=2n,

由于Z4O3=万一,

AA

BC

在△ABZ）和△3CO中应用余弦定理可得:

nr+9-4/?72_nr+9-4772

整理可得：病=9—21

6m6m

结合勾股定理可得_ABC的面积:

S=；8cxJAC。-(；BC)2=；X2"Xy/4m2-n-=3局4-川

=3折(4_/)交"+；_“=6,

当且仅当*=2时等号成立.

则面积的最大值为6.

故选：A.

【题型四】“1”的代换

:典例剖析

13

1.若x>0,y>0,且一+—=1,则3x+y的最小值为()

xy

A.6B.12C.14D.16

【答案】B

13

【详解】解：因为x>o,y〉o,且一+—=i,

%y

所以3%+丁=(3%+)，)仕+3]=6+。+%之6+2)).史=12,

y)yy

当且仅当y=3x=6时等号成立，所以，3x+y的最小值为12.故选：B

14

2.已知x>0,y>0且一+―=1,若x+y>〃，+8”恒成立，则实数机的取值范围是（）

xy

A.卜B.{x|x<-3}}C.{x|x>l}D.{x|-9<x<l}

【答案】D

14

【详解】Vx>0,^>0,且一+—=1,

xy

.,、/14、厂y4x、-ly4x-八

・・x+y=(x+y)(一+—)=5+上4>21-------+5=9,

xyxy)1xy

当且仅当X=3,y=6时取等号，.•.(x+y)而n=9,

由x+y>加2+8加恒成立可得m2+8/n<(x+y)1n=9,

解得：-9<w<1,故选：D.

3.己知正实数x、y满足x+2y=2,则上+冬的取值可能为（

)

xy

21

D.~4

【答案】D

【详解】解：因为正实数X、y满足x+2y=2,

,121(12},4\(生+支2y2x7

所以一+一=:|_+_(x+2y)=-5+当且仅当上=，，B|Jx=y=-

尤y2(xy)K2(xy)'4xy3

时，等号成立，故选：D

f名校模拟

1.（2023•江西南昌•校联考模拟预测）已知a>l,h>l,a3b=l（X）,则log«10+31og〃10的最小值为（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【详解】因为dbTOO,所以lglb=2,即31ga+lgb=2,

所以山。+3皿。=项1+嬴3=51［(嬴1+制3•A⑶ga+励)讨1(6+lg/7191gt7

IgaIgb

4+2儒川,

当且仅当1g匕=31ga,即〃=10；,。=10时等号成立,

所以log“10+31og/0的最小值为6.

故选：B.

2.（2023•贵州黔东南・凯里一中校考三模）正数“，。满足4+4/7-3"=0,若不等式病-4w<a+b恒成立,

则实数〃?的取值范围_______,

【答案】（2-近,2+万）

41

【详解】解析：由题？+；=3,

ab

5+

0/zz2-4tn<3,

解得：2—近<机<2+近.

故答案为：(2-近,2+夜).

3.(2023•河南•开封高中校考模拟预测)已知向量“=(l,x-l),b=(y,2),其中x>0,y>0,若则

的最小值为_______.

九y

【答案】4

【详解】aJLb，«=(1,x-1),b=(y,2),

2x-2+y=0,即2x+y=2,

121(\21

由x>0,y>0,则—+—=7(2x+y)—+—

xy2y)

y4x

当且仅当上=一，即y=2x=l时等号成立,

*y

故的最小值为4.

xy

故答案为：4

【题型五】“积”与“和”混合型

1.形如(〃a+ny)=pxy(,无常数)求rnx+〃)'型，

p_q=m:+〃ynp='+'=然后"1"的代换

xx

2.形如(,nx+〃y)+pxy='求如+〃y型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”

的系数系数，如下：

/、/、〃/、/、/、P/(如)+(〃>)、2

t二(mx+ny)+pxy={mx+ny)+——(mx)(ny)<{mx+ny)+—(------------------)

mnmn2

现典例剖析.

113

1•若。力>。，且1=±+；+=，则Q+b的取值范围()

abab

A.a+b>3B.0<a+b<6C.0<a+b<3D.a+b>6

【答案】D

【详解】由。力>。，且1=1+?+3,则]=0+"3,即a+6+3=",

ababab

由基本不等式可得a+〃+3=a64（g±j,当且仅当a=b时，等号成立,

整理得（a+bp-4（〃+人）一1220,即[（a+匕）-6][（a+匕）+2]20,

因为a,/?>0,所以。+〃+2>0,所以〃+/?—6之0,解得a+/?N6.故选：D

2.已知a,。是正实数，3a+2b=ab,则为+b的最小值是（）

A.85/3B.7+273C.5+273D.7+46

【答案】D

32

【详解】等式3a+2A=必的两边同除以"可得：-+-=1

ba

2<7+/>=（2a+^^1+-'）=y+—+7>4x/3+7

当且仅当单="，即匕=小时，取等号，此时。=2+力力=3+2有

ba

选项D正确，选项ABC错误.故选：D.

3.若正实数乂p满足4x+y+12=冲，则肛的最小值为（）

A.4B.6C.18D.36

【答案】D

【详解】由4%+>+12=冲，可得孙-12=4x+y,

因为x>0,y>0,

所以4x+y22J4xxy=4A,当且仅当4x=y时等号成立，

所以孙一12245y即-4y/xy-\2>0,所以（7^—6）（7^+2）之。，解得：y[xy>6,所以孙236,

[4x+y+l2=xy1I时等号成立,

当且仅当=y即外的最小值为36.故选：D.

£名校模拟

（多选）1.（2023春•浙江宁波•高二宁波市北仑中学校考期中）已知正数x、y,满足x+y=2,则下列说

法正确的是（）

A.刈的最大值为1.B.4+6的最大值为2.

2]22

C.一+一的最小值为2五+3.D.—'+-^的最小值为1.

xyx+1>'+1

【答案】ABD

【详解】对于A,因为x>0,y>0,x+y=2,

所以2=x+yN25/j^,则冲41,

当且仅当％=¥且x+y=2,即x=y=l时，等号成立，

所以个的最大值为1,故A正确；

对于B,因为2(a2+b2^-(a+b)2=a2+b1-2ab=(a-b)2>0,

所以5+6)242(/+〃)，当且仅当时，等号成立，

所以(&+V7)242[(&)2+(4)2]=2(x+y)=4,则4+4《2,

当且仅当炭艮x+y=2,即x=y=l时，等号成立，

所以4+6的最大值为2，故B正确；

对于C,2+_L=；（x+y）j2+_l]=<（3+旦+土]+2=及，

xy2Vxy）xy）2|^\xy）2

当且仅当父=上且x+y=2,即x=4-20,y=20-2时等号成立，

xy

2iq

所以一+一的最小值为9+血，故c错误；

Xy2

对于D,令s=x+l,i=y+l,则x=s—l,y=t-\,s+t=x+y+2=4,5>0,r>0,

当且仅当$=，且s+f=4,即s=f=2,即尤=丁=1时，等号成立,

22

所以±7+3■的最小值为1,故D正确.

x+\y+1

故选：ABD.

y

2.(浙江省稽阳联谊学校2023届高三下学期4月联考数学试题)已知正数x,y满足x(x+2y)=9,则迨于

的最大值为,

【答案】2

6

y=y=y=]<]=1

2222

【详解】(^+y)~X+2xy+y~9+y~9+-ff-~6,仅当x=3(&-1),y=3时等号成立.

yV

所以目标式最大值为J.

故答案为：~

6

3.(2023春・河北沧州•高一沧县中学校考期中)如图，某公园内有一个边长为12m的正方形A5c。区域，点

3

同处有一个路灯，BM=5m,sinZMBg=-,现过点〃建一条直路分别交正方形区域两边AB,5c于点

尸和点Q,若对五边形APQCO区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为m2.

【答案】120

【详解】设=BQ=ym,(0<x<12,0<yvl2),

团sin/MBQ=|,ZMBQe(°，］)，回sinNPBM=sin=cos/MBQ=|,

ii4

2

回一PBM的面积为SPBM=3BP・BMsin/PBM=-x-5—=2xm,

VMBQ的面积为5.MBQ=g-5M・5QsinNM3Q=；5y|=5m2,

13

团尸8。的面枳S咏=SMM+S“8°,团5孙=2元+即*=4x+3y

团0vx<12,0<y<12,

国111基本不等式得=4x+3yN2yj4x•3y=4y/3xy,解得24A万，即孙248,

当且仅当4x=3y,即x=6,y=8时，等号成立，

2

aP8Q的面积的最小值为(spfiG)m.n=^x48=24m,

回五边形APQCZ)面积的最大值Sa=%CL(SwL=144-24=120m?.

故答案为：120.

【题型六】多次均值

:典例剖析

1.已知4>。力>。，则+■的最小值是（）

2ab

A.2B.2yflC.40D.6

【答案】B

【详解】因。>0力>0,则乱+:+箍+2y1^^=箍+2总22,旅・2品=2应,

当且仅当1=]且疯=2三,即a=在”=2夜时取“=”，

2ab\ab2

?「以当a=-^-,h=2>/2时，\[ab+——H:取最小值2贬■

22ab

故选：B

2.已知。>0,。>0,且。+8+1+?=5,则。+人的取值范围是（）

ab

A.1<a+b<^B.a+b>2C.1<tz+/?<4D.a+b>4

【答案】A

【详解】当a=〃=2时，67+Z?+—+7=5,a+b=4,所以CD选项错误.

ab

当〃=人="!■时，a+h+-+^-=5,a-\-b=\,所以B选项错误.

2ab

厂.11ia+b、.a+b,4

5=a+b+—+—=a+b+----->a-\-b-\-----------7=。+人+-----

abab（〃+/?）a+h,

41

即。+。+<5当且仅当a=〃=2或。=Z?=不时等号成立.

a+b2

贝1］（4+/?）2—5（。+匕）+4w0,（〃+8一1）（々+人-4）40,解得14a+/?W4.

故选：A

3.若“，b,c均为正实数，则2的最大值为（）

a~+2b~+c

A.JB.-C.—D

242-T

【答案】A

【详解】因为a,6均为正实数，

ab+bca+c/a+ca+c

---------―~-------------———=—,

则/+2/+/F+2J2尸％2曲/+目

bVb

22

la+2ac+c111ac<111ac-1

=2^2（a2+c2）=2\2+a2+c2~2p+24a2xc2=2

当且仅当正U=2b,且。=，，即a=b=c时取等号，

b

则的最大值为故选：A.

a~+2b-+cz2

8名校模拟「

是不同时为的实数，则,"：bc,的最大值为

l.a,"c0（）

cr+2Z?+c

D.B

A.yB.-C.—

2422

【答案】A

ab+bca+ca+c_a+c

【详解】因为a,b均为正实数，则/+2〃+/一/+12+2J2竹+/.2J2*年+片）

b\bX

_Ila2+2ac+c2_1pac_1Hac_1

+22+22

-2V2（标+02）-5V2a+c"2\22^axc=2，

当且仅当dl£l=2人且a=c取等，即。=8=°取等号，

b

即则，"：：勾，的最大值为故选：A.

a+2b+c2

2.己知正实数。，h,c满足/+4〃2=3C2,则£+5■的最小值为

a2h-----

【答案】巫

3

【详解】因为3c2=/+4〃24M，即岫，所以

£+_L>7ITZ=V2.,H>^.上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以£+白的最小值

a2bVa2b\ab3a2b

为辿.故答案为：巫.

33

21

3.设a>6>0,则a+乐f的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】因为所以a—8>0,

所以可"-6）4"，叫=［•（当且仅当匕=“一6时取等号），

14

所以"”-92靛，

所以"+产2+*2卜提=4,（当且仅当/=，，即“=&时取等号）.

故答案为：D

【题型七】权方和不等式

.a0（£4）"

权方和不等式：设知4>0（i=l,2,，力，p2<7+1>1,证明：Z机之〃”"川得——，

/=,bi（%）“

Z=1

Z典例剖析

1.已知实数m,nG（0,+8）且m+n=1,则就+忌?的最小值为.

a4141141

【答案】［【详解】令3m+n=x,m+3n=y,...x+y=4,...^;+;^=1+歹=10+］）0+丁）

；（5+?+》泞，

当且仅当x=2y,x+y=4,即x=J,y=：,即m==；时等号成立.

3366

高+焉的最小值龙，故答案定

权方和：4199

-----1-----2------——

3m+nm+3n4(/%+〃)4

2.已知a>l,b>0,a+b=2,则」—+-L的最小值为