安徽省合肥市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案解析）

安徽省合肥市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知在心，ABC中，ZC=90°,4=30。，贝!JcosA的值为（）

A.如B.且C.V3D.J

232

Z7h

2.如果?=:，那么下列各式中不成立的是（）

23

。+13cb-a1a2一a+b5

A4.——=-B.------=-C.-=-D.------=-

b+14b3b3b3

3.点和点3仇,％）是反比例函数y=?化片1）图像上的两点，当。＜为＜々时,

x＜%＜。，则上的取值范围（）

A.k＞\B.k＜lC.左＞0D.左＜0

4.如图，在,ABC中，AB=AC,ZA=36°,5。平分NA3C交AC于点。，CE平分NAC5

交BD于点E,若AD=545-5，则BE=（）

A.4B.55/5-7C.15-5班D.1075-20

5.已知锐角。满足tan（a+25o）=l,则锐用。的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

AF3AC

6.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DEIIAB交AC于E,如果­那么二等

EC5AB

于（）

7.一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线,

当球飞行的水平距离为6m时,球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高是2.44m,

若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）

A.10mB.8mC.6mD.5m

8.如图，平行四边形ABCD中，点E为A。边中点，连接AC、BE交于点F,若△AEE

的面积为2,贝的面积为（）

A.1B.2C.4D.8

9.二次函数y=改2+&v+c（aw0）的图象如图，则函数y=色把与函数^=云+。（6*0）

10.如图，在MABC中，ZABC=90°,AB=BC=2,AE是边上的中线，过点8作

于点X,交AC于点。，则的长为（）

我

C.2A/2D.

二、填空题

ace83〃一2c+5e

11.已知工=：=]=£,且3〃—2d+5/W0,则

baf53b-2d+5f

12.如图，在正方形网格中，△A3。的顶点都在格点上，则3NA3C的值为

试卷第2页，共6页

L-L-1-------

IIIII（£>I

Iili111

13.如图，反比例函数图像上一点C,过点C作8y轴,垂足为Z）,连接OC,S℃D=3,

那么此反比例函数的表达式为.

14.如图，.ABC是边长为6的等边三角形，CE平分外角/ACR点〃在AC上，连

1CF

接并延长交CE于点E,若。。=万4。，则正=;BE=.

132sin600+3tan45°

15.计算:

16.如图所示，在4x4的正方形方格中，ABC和尸的顶点都在边长为1的小正方

形的顶点上.

⑴填空：ZABC=,BC=

⑵判断..ABC与DEF是否相似？并证明你的结论.

17.如图，在平行四边形ABC。中，AC=CD,若点E、歹分别为边BC、CD上的两点,

S.ZEAF^ZCAD.求证：ADF^ACE.

18.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线

的交点）为顶点的4ABC和格点0.

A

⑴以点。为位似中心，将AABC放大2倍得到在网格中画出

（2）将44BC绕点0逆时针旋转90。得AA2&C2,画出AA282c2；

19.如图，大楼A8右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼在小楼的顶端。

处测得障碍物边缘点C的俯角为30。，测得大楼顶端A的仰角为45°（点8、C、E在同

一水平直线上），已知AB=100m,DE=20m,求障碍物8、C两点间的距离（结果精确

到0.1m）.（参考数据：72-1.414,73-1,732）

□

□

□

□

□

□

□

□

20.如图，直线％=2x+2与坐标轴交于点A、B,与双曲线必=公交于C、。两点，并

X

B.DA=AB=BC.

试卷第4页，共6页

(1)求反比例函数的解析式;

(2)当％N%时，根据图象直接写出此条件下尤的取值范围;

21.如图.在，ABC中，AB=AC,中线AE与高线8相交于点P,连接DE.

⑴求证：PAPE=PCPD；

⑵过点E作E/上AC于点p，求若的值.

22.如图，直线y=-x+4与％轴、y轴分另1J交于8、C两点，抛物线y=尤2+方元+。过

点B、C两点，与x轴的另一个交点为A,在第一象限内，抛物线上有一动点Z),连接0。

交3c于点E.

⑴求6、c的值;

⑵求0E:DE的最小值.

23.【问题背景】(1)如图1,在一ABC中，ZABC=90°,于求证:

AAHBS^BHC；

74A4

【变式迁移】(2)如图2,已知』ABC=/O=90。，石为50上一点，且AE=AB,若钎=二

BC5

求卷RF的值;

【拓展创新】(3)如图3,四边形ABCD中，/ZMS=/ASC=90。，AB=BC,E为

DF

边CD上一点,且AE=AB,BE工CD,直接写出一的值.

CE

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】本题主要考查求特殊角的三角函数值，直接在直角三角形，利用两角互余可求

的度数，直接求余弦值即可.

【详解】解：在R/ABC中；

VZB=30°；

AZA=90°-30°=60°；

cosA=cos60°；

即cosA=—；

2

故选：D.

2.A

【分析】本题主要考查比例和分式的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键.

ah

【详解】解：设3=2=左，则a=2k,b=3k,

A.鲁不能运算，故不能成立，符合题意；

b+1

—b—a3k-2k1,心———3人口h4

B.——=———=-,故成乂，不付合题思；

b3K3

C.7=|^=|,故成立，不符合题意；

b3k3

-a+b2k+3k5•人口工»

D.故成立，不符合题意；

b3k3

故选A.

3.B

【分析】根据反比例函数图象上两点点A&,%）和点3（々,%）,当。＜再＜马时，%＜%＜。，

再画出反比例函数的简易图象，从而可得答案.

【详解】解：点A&,%）和点3（%,上）是反比例函数〉=7化/1）图像上的两点，当

0＜玉＜X2时，％＜%＜。，

所以函数图象如图所示：

答案第1页，共19页

\k<l,

故选B

【点睛】本题考查的是反比例函数图象与性质，掌握“利用反比例函数图象解决问题”是解题

的关键.

4.C

【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线的性质可得：ZABD=NDBC=36。,

ZACE=ZBCE=36°,利用等角对等边得：BD=AD,BE=CE=CD,再由相似三角形的

判定及性质可得ABDC~ACDE且空=R,利用图中边的等量关系可得关于BE的一元二

CDBD

次方程，求解即可得.

【详解】解：・.・NA=36。，AB=AC,

・•.ZABC=ZACB=72°,

・・・3Z）平分/ABC,CE平分/ACS,

.-.ZABD=ZDBC=36°,ZACE=ZBCE=36°,

..B0=AO=56-5,BE=CE=CD,

•；NBDC=/CDE,

/DBC=/DCE,

.,母DC〜ACDE,

DECD

,•而一访’

BD-BEBE

••BE~~BD"

答案第2页，共19页

可得：81+（50一5）8£-（56一5『=0,

解得：BE=l5-5yf5^BE=-10（舍去），

:.BE=15-5/，

故选：C.

【点睛】题目主要考查等腰三角形、角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次

方程的解法，理解题意，根据相似三角形的对应边成比例得出方程是解题关键.

5.B

【分析】本题主要考查锐角三角函数中特殊三角函数值，利用整体思想，一个锐角的正切值

等于1,那么这个角等于45。，直接计算即可求解.

【详解】解：；tan3+25o）=l,

，。+25。=45°,

•*.«=20°,

故选：B.

6.B

【详解】解：VDE/7AB,

・・・NADE=NBAD,

TAD为aABC的角平分线，

AZBAD=ZEAD,

・・・NEAD=NADE,

AAE=DE,

..AE_3

*EC-5?

.EC5

••DE—］，

•・・DE〃AB,

.,.△CDE^ACBA,

.DEEC

**AB~ACf

.ACEC5

•・AB-DE-3,

故选民

答案第3页，共19页

7.A

【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断

【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为尸a(x-6>+3

・•・抛物线解析式为产-A(X-6)2+3,

当％=10时，y=-^-(10-6)2+3=|-,

,*,—<2.44,满足题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键.

8.D

【分析】先证得可得相似三角形的面积比等于相似比的平方，由E为AD

中点，可得AE=g5C,然后由%所=2可求S水即可.

【详解】解：・・•四边形ABC。是平行四边形，

AAD//BC,AD=BC,

:・NEAF=/BCF,/AEF=NCBF,

：.AFEs&CFB,

・・・5二Ml

S^CFB15cl

•・•点七为AO边中点，

AE=-AD=-BC,

22

答案第4页，共19页

2_1

,•S-4，

24CFBr

SFBC=2x4=8.

故选择：D.

【点睛】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，利用相似

三角形的性质求出△尸5。的面积解本题的关键.

9.B

【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的

分布是解题关键.

直接利用抛物线图象得出。也。的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题

意的图象.

【详解】解：•・,抛物线开口向下，

抛物线对称轴在y轴左侧，

**.a.b同号,

抛物线与y轴交在正半轴，

:.c>0,

:.a+b<G,

则函数y="的图象分布在第二、四象限，

X

函数y=6x+c的图象经过第一、二、四象限.

故选：B.

10.B

【分析】过点。作分1BC于点F,先根据等腰直角三角形的性质可得

AC=272,ZC=45°,再根据等腰直角三角形的判定与性质可得C尸=£>RC£)=0CF,设

b=OP=x(x>0),从而可得8尸=2-=然后根据相似三角形的判定证出

BDFAEB,根据相似三角形的性质可BF得失D=F/，从而可得的长，最后根据线段

ABBE

的和差即可得.

【详解】解：如图，过点。作分13C于点产，

答案第5页，共19页

BE=-BC=1

29

在RtABC中，ZABC=90°,AB=BC=2,

/.AC=VAB2+BC2=2A/2,ZC=45°，

：.RtCD厂是等腰直角三角形，

:.CF=DF,CD=dCF?+DF?=0CF，

CF=DF=x(x>0),则5/=2—%,。。=缶，

ZABC=90°,BD±AE,

ZABD+ADBF=ZABD+/EAB=90°,

,\ZDBF=ZEABf

/DBF=ZEAB

在Va）尸和/XAEB中,

/BFD=/ABE=90。

...BDFAEB,

BFDF2-xx

即

AB~BEI

2

解得X=；,

:.CD=sf2x=-s/2,

3

:.AD=AC-CD=2及一2板=士亚,

33

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通

过作辅助线，构造相似三角形是解题关键.

答案第6页，共19页

aceS3a-2c5e8

【分析】由工=5=彳=£可得玄=F==F再利用比例的基本性质可得答案.

baf538-2d5/5

aceS

【详解】解：工=N=7=£，

baf5

、3〃_-2c_5e_8

3b~^2d~5f~5"

3Z?—2d+5"0

、3a-2c+5e_8

3b-2d+5于一二'

Q

故答案为：—

ace〃+c+ea

【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“若工=:=不，则70)”

bajb+d+jb'7

是解题的关键.

12.1

4

【分析】过A作AEL8C,交BC延长线于E,再根据锐角三角函数的定义求出答案即可.

【详解】解：过A作AEL8C,交BC延长线于E,

设小正方形的边长为1,

贝!|AE=3,BE=4,

AF3

所以tanXABC=—=—,

BE4

、3

故答案为：—

4

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键.

13.y=--

X

【分析】设C点坐标为Gn,n),反比例函数解析式为y=A,贝|CD=rw,OD=n,由此即

X

可得到mn=-6,从而得到k=mn=-6.

k

【详解】解：设C点坐标为(如〃)，反比例函数解析式为y=—,

x

・・・C0，y轴，

CD=-m,OD=n,

答案第7页，共19页

SMZACe/CnlJ=—2OD-CD=——2mn=3,

mn=-6,

..k

・n=一,

m

k=mn=—6,

反比例函数解析式为>=-9，

X

故答案为：y=-9.

X

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反

比例函数比例系数的几何意义.

14.—/0.53A/7

2

【分析】先根据等边三角形的性质可得A5=3C=6,ZA=NAC3=60。，再根据相似三角形

的判定证出△AB。AC£D,根据相似三角形的性质可得室=2=（，从而可得

ABAD2

比=3,乎CF=：1，然后过点E作石G,互于点G,利用直角三角形的性质分别求出CG,石G的

BC2

长，最后在及△3£G中，利用勾股定理即可得班的长.

【详解】解：ABC是边长为6的等边三角形，

.-.AB=BC=6,ZA=ZACB=60°,

CE平分外角/ACF,

?./FCE=NDCE=|ZACF=1(180°-ZACB)=60°,

ZADB=ZCDE

在△ABD和MED中,

ZA=ZDCE=60°

ABDCED,

CECD

BP—=-

62

解得CE=3,

.CE-3-l

一疏一不一］，

如图，过点E作EG,斯于点G,

答案第8页，共19页

A

在H〃\C£G中，ZCEG=90°-ZFCE=30°,

:.CG=-CE=-,EG=^CE2-CG2=-73,

222

BG=BC+CG=—,

2

在RtABEG中,BE=^BG2+EG2==3币，

故答案为：y,3币.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正

确找出两个相似三角形是解题关键.

15.0

[g)+卜-词-2sin60°+3tan45°

【详解】解:

=-3+百-若+3

=0.

【点睛】本题主要考查了负整数次幕、绝对值以及特殊角的三角函数等知识点，灵活应用相

关知识成为解答本题的关键.

16.(1)135°；2后

(2)ABCsQEF,理由见解析

【分析】(1)根据已知条件，结合网格可以求出/ABC的度数，利用勾股定理即可求出线

段8C的长；

(2)根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明ASC与.刀印相似.

【详解】(1)解：ZABC=90°+45°=135°,

答案第9页，共19页

BC=122+22=20；

故答案为135。；272;

(2)解:△XBC:Z\DEF.

证明：在4x4的正方形方格中，

ZABC=135°,ND砂=90°+45°=135°,

ZABC=NDEF.

AB=2,BC=2HEF=2,DE=-Ji

二影土也，合乎s

.ABBC

EF

△ABC:Z\DEF.

【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键

是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系.

17.见解析

【分析】根据平行四边形的性质可得NEC4=NC4D,根据等边对等角可得NC4D=ZD,

从而得到NEC4=NO,再通过证明NE4C=NE4。即可得到ADF^,ACE.

【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形,

..AD//BC,

,\ZECA=ZCAD,

AC=CD,

:.ZCAD=ZD,

,\ZECA=ZDf

ZEAF=ZCAD,

ZEAF-ZCAF=ZCAD-ZCAF,BPZEAC=ZFADf

/.ADFsACE.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握

以上知识点是解此题的关键.

18.(1)作图见解析

⑵作图见解析

答案第10页，共19页

【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A,B,C的对应点4,Bi,。即可;

（2）利用旋转变换的性质分别作出4,B,C的对应点A2,B2,C2即可.

【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：如图，△&2&C2即为所求.

/!

【点睛】本题考查作图-旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变

换的性质，属于中考常考题型.

19.障碍物8、C两点间的距离约为45.4m.

【分析】过点。作小，至于点尸，先根据矩形的判定与性质可得

DF=BE,BF=DE=2Qm,DF//BE,再根据等腰直角三角形的判定与性质可得

5E=DF=AF=80m,然后在田△CDE中，解直角三角形可得CE=20点m,最后根据

3C=3E—CE即可得出答案.

【详解】解：如图，过点。作D尸_LAB于点月，

口

口

口

口

口

口

口

口

则四边形BEDF是矩形，

DF=BE,BF=DE=20m,DFIIBE,

AB=100m,

:.AF=AB-BF=80m,

DF±AB,ZADF=45°,

答案第11页，共19页

:.RtA。尸是等腰直角三角形，DF=AF=80m,

BE=80m,

DF//BE,ZCDF=3O°,

:./DCE=/CDF=30。,

在RtACDE中，CE=———=-20=20石(m),

tanZDCEtan30°

BC=BE-CE=8Q-2073«80-20x1.732«45.4(m),

答：障碍物8、C两点间的距离约为45.4m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解

题关键.

4

20.⑴%=一

x

(2)-2<x<0^x>l.

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.

(1)先求得点48的坐标，再根据ZM=AS=BC,且A、B、C、。四点共线，得到点A是

线段8。的中点，从而求出点。的坐标为。，4),再将点。的坐标代入反比例函数解析式，进

行计算即可得到答案；

'4

(2)联立,无，求出点C的坐标，再由图象即可得到答案.

y=2犬+2

【详解】(1)解：在直线必=2%+2中，当x=0时，％=2,

.•.点A的坐标为(0,2),

当％=0时，2x+2=0,

解得：x--l,

点B的坐标为(—1,0),

,：DA=AB=BC,且AB、C、。四点共线，

二点A是线段8。的中点，

设点。的坐标为(x，y),

答案第12页，共19页

x+（T）

0

则2,

-2

[2

fx=l

解得：J

[y=4

•••点。的坐标为（1,4）,

将点D的坐标（1,4）代入反比例函数解析式得：4=1,

解得:k=4,

4

•♦•反比例函数解析式为：%=—;

X

一4

（2）解：联立，y=一x,

y=2x+2

（x=lfx=—2

解得：,或

[y=4[y=-2

C（-2,-2）,

观察图象可得：当m2%时，X的取值范围为-2Vx<0或

21.⑴见解析

【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质综合，直接利用两

个角相等可以证明ADP〜一CEP,再利用比例式可以证明等式成立.

（2）本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合，直接证明即C-CFE就可以利用对

应边成比例，可求求出若的值.

【详解】（1）解：：AB=AC,BE=CE；

：.AELBC；

・・・ZADP=/CEP=90。；

•：ZAPD=/CPE；

：.ADP-CEP；

答案第13页，共19页

.PA_PD

**PC-PE；

即Z4PE二尸CBD.

(2)如图所示，过点E作AC的垂线，垂足为尸;

：.EF1AC；

VCD1AB;

・•・ZCDB=ZEFC=90°；

u：AB=AC；

：.ZB=ZACE；

・・・CDBsEFC；

.EF_CE

•・而―沃:

9：CE=-CB；

2

.EF_1

**CD-2；

•••黑的值为?

答案第14页，共19页

A

22.(1)1:4

⑵2

【分析】(1)先由>=r+4求出8,C坐标，再把8,C坐标代入抛物线解析式即可；

OP4

(2)过点。作。G,九轴，交BC于F,则。9〃OC,易得ACOEs^FDE,可得"=*;，

DEDF

设点。的横坐标为乙则纵坐标为-，2+/+4,可知/&V+4),得

119

2

DF=--t+2t=--(t-2)-+2,0<r<4,可知当t=2时，D/取最大值，最大值为2,若要

使得的值最小，则只需要三的值最小即可，亦即。尸的值最大即可，可知OE:DE

DF

的取最小值时，DF=2,进而可求得结果.

【详解】(1)解：对于直线丫=一元+4,当x=0时，y=4,当y=0时，尤=4,

.♦.8(4,0),C(0,4),

:抛物线丫=一;无元+c过B,C两点，

~-x42+4Z>+c=0,，=\b-\

\2,解得：\,

.c=4

c=41

即：b=l,c=4；

(2)由(1)可知y=—+%+4,

答案第15页，共19页

y

/o\G5NX

过点。作轴，交BC于F,则少产〃OC,

Z.COE=ZFDE,ZOCE=ZDFE,

...ACOEsAFDE,

.OE_PC

"~DE~~DF'

vC(0,4),

4

•・•℃=4,则3OF而，

设点。的横坐标为，，则纵坐标为-1』+.+4,0<r<4

2

F(t^—t+4),

2

DF=yD—yF=一万产+?+4—(―^+4)=——f+2

11

即：DF=--t2+2t=--(t-2y9+2,0<t<4,

V--<0,

2

.,.当t=2时，£)尸取最大值，最大值为2,

要使得的值最小，则只需要工的值最小即可，亦即。尸的值最大即可，

DF

：.OE-DE的取最小值时，DF=2,

即：的最小值为2.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，二次函数的

最值，相似三角形的判定及