2022-2023学年重庆市高一年级下册联考数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年重庆市高一下册联考数学模拟试题

(含解析)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选

项中只有一项是符合题目要求的.)

5+3i

Z-

1.在复平面内，复数1+i(其中i为虚数单位)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【正确答案】D

【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，求对应的点所在象限.

5+3i(5+3i)(l-i)8-2i,.,、

【详解】z-———=4-1,对应的点时4,-1),在第四象限.

1+1(1+1)(1-1)2'

故选：D

2.已知向量2=(-2,2),B=(x,l)(xeR)，若2工B，则|2+3|=()

A.10B.3C.372D.710

【正确答案】D

【分析】由向量垂直的坐标表示求x,再确定"+B坐标，应用模长的坐标运算求模长.

【详解】由题设，2石=2-2》=0，可得x=l，则B=(l,1)，

所以：+力=(一1,3)，则以+B|=JiU.

故选：D

3.在ABC,其内角4民。的对边分别为。，“c,若4cos8+bcosZ=a,则/8C的形

状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【正确答案】A

【分析】根据正弦定理可得结合条件可得sinC=sin/,进而即得.

【详解】因为在ABC,acosB+bcosA=a,

所以sin4cos8+sin3cosZ=sin(/+8)=sin/,

又4+8+C=TC,

所以sinC=sin/,c=af

所以48。为等腰三角形.

故选：A.

4.已知在Z8C中，点。为边8C的中点，若而+前=丸法+〃衣，则%+〃=()

A.-1B.-2C.1D.2

【正确答案】C

【分析】利用平面向量基本定理求得4〃的值，进而求得％+〃的值.

【详解】在/8C中，BC=AC-7B>

—•1―■1—•

又点。为边8C的中点，则4D=-/B+—ZC,

22

‘，一"■■—1—,1,，―・*-•—■1—-3’■一

则4。+5。=一/8+—4。+/。一48=——AB-^-AC

2222

—►—►—►—►13

又仞+3C=>L45+M4C，则％=-5，4=5，

13

则4+4=-万+5=1

故选：C

5.在正方体448—4旦G〃中，E,F,G分别为％4，4G，GA的中点，则异面

直线。E与歹G所成角的余弦值为()

A后c下D石

55105

【正确答案】B

【分析】连接60，BE,44可得N8OE即为异面直线。七与EG所成角，设正方体的

棱长为2,由余弦定理可得答案.

【详解】连接8。，BE,BR,则BDHBQ'HGF,

则NBDE即为异面直线DE与FG所成角,

设正方体的棱长为2,则BE=DE=«，BD=2V2>

BD'DO-BE?8+5-5

则cosZ.BDE

2BDxDC_4V2xV5-5'

即异面直线DE与FG所成角的余弦值为巫

5

故选：B.

6.已知向量;=(1,2),a-b=\Q^ft+b\=5y/2,设与加方向相同的单位向量为"，则向量

W在向量B上的投影向量为().

1-_12-5-

A.—cB.2eC.—cD.—c

252

【正确答案】B

【分析】先通过［++“£+盯求出村,再利用投影向量的定义求解即可.

1

【详解】Q6/=(1,2),

=Vi+4=75,又・・・7B=io，

「Ja+,=+2、〃+片=J5+20+=5也

W=5,

u-b-c一

向量值在向量B上的投影向量为下「e=2e.

\b\

故选：B.

7.《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？

答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体

是一个“堑堵”，N8=8C=4,44|=5,M是4G的中点，过8cM的平面把该“堑堵”

分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为()

B.25+15V2+3V29

C.50D.30+20V2+3V29

【正确答案】B

【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其表面积即可.

【详解】如图所示，取44的中点M连结BN,MN,易知平面8cMN为过8CA/的平

面，

则所得的三棱台为4MN-其中上下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为梯形,

各个面的面积：

SABC2x4x48,SA、MN=；x2x2=2,=1x（2+4）x5=15,

^C=1X（2V2+4V2）X5=15V2,5^C=1X（2+4）XV29=3V29，

据此可知三棱台的表面积为25+15&+3

本题选择B选项.

本题主要考查空间几何体的结构特征，三棱台表面积的求解等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

8.在ZBC中，角4B,C的对边分别为b,c,若/一/二八？，且

2hsin224+sin5=0,则2=()

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】D

【分析】由2bsin2/+asin8=°及正弦定理得3/二1,由余弦定理及/一/二带求

【详解】V2ftsin224+asinB=0,

2b•2sin4cosZ+asin8=0,

由正弦定理得2sin6•2sinAcosZ+sin4sin8=0,

VsinJsin50，「・4cos/+l=0,

百正/曰.1b2+c2-a2

由余弦定理得cosA=——=---------------,

42bc

又•••/—〃=402.代入可得2=6.

c

故选：D

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知a,4是两个不重合的平面，/,机是两条不同的直线，在下列说法正确的是（）

A.若/〃a,a〃尸，则/6B.若。〃0,mua，则加p

C.若/〃a,加ua,则/mD.若:aC0=l,m〃I,则至少与

a,月中一个平行

【正确答案】BD

【分析】画出一个正方体,借助正方体的平行，垂直关系，进行验证即可.

【详解】A.如图所示:,可得结果/〃尸或/u尸，故A

错误;

B.如图所示:，可得结果加//尸，故B正确:

D正确.

故选：BD.

10.已知z=a+bi(a,beR)为复数，彳是z的共轨复数,则下列命题一定正确的是()

B.若1£R,则z£R

A.若z2为纯虚数，则。=力声0

Z

C.若|z—i|=l,则目的最大值为2D.Z-Z=\zf

【正确答案】BCD

【分析】根据复数的运算，复数的定义，复数模的三角不等式及共辄复数的定义，计算求解

后判断即得.

、/oo\ab—0

【详解】对于A,z2=(a+bi)2=(/—/)+24加为纯虚数，所以《，即

2abw0

。=±6。0,所以A错误；

1_1_a-bi_ab

对于B,z〃+bi(a+bi)(a-Ai)a2+b2a2+b2'

因为，eR,所以b=0,从而zwR,所以B正确；

z

对于C,由复数模的三角不等式可得|W=|(z-i)+i|M|z-i|+|i|=2,所以c正确；

对于D,z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=\z\^,所以D正确.

故选：BCD.

11.在48c中，角46,C的对边分别是a,b,c,b2+c2=bc+a2,b=S,a=2y/n,则

下列说法正确的是()

A.Z8C为锐角三角形B./8C面积为4百或12百

524

C.45长度为6D.48c外接圆的面积为——

3

【正确答案】BD

【分析】利用余弦定理求出A,从而求出边c,再利用面积公式及正弦定理求出外接圆的半

径，即可得解；

【详解】解：由〃+。2=儿+/，所以cos/="+：；一"=!，因为Ne(O,%),所以

2be2

A=—,又6=8,Q=2JTJ,所以8?+，=8c+(2ji5),解得。=2或c=6,故C错

误；

22121

当c=2时，cosB="十°-’=-一<0,所以8为钝角，故A错误；

lacV13

当c=2时，，S=—bcsmA=—X8X2X^-=4A/3;

222

当c=6时，5=—Z>csin?l=—x8x6x-12^/3>故B正确；

222

2火=」=半=4心

sin/V3V3>y,所以外接圆的面积

2

52

71R2=71—7t,故D正确:

3

故选：BD

兀—►—►4

12.在46c中，NA=—,BABC=9,且cosC=—,P是Z8C所在平面内的一点,

25

设方•定=加，则以下说法正确的是（）

A.Sa08C=12

B.若加=14,则的最小值为2

11___9

C.若旭=一，设丽=x7^+yZ，则X+V的最大值为一

44

D.若尸在Z6C内部（不含边界），且5^=2,则加的取值范围是（一6,—2]

【正确答案】BC

4

【分析】A选项，根据向量数量积公式和cosC=一得到三角形三边长，求出三角形面积；

5

।——IQ9

B选项，利用极化恒等式得到尸点在以“为圆心，万为半径的圆上，数形结合

得到|/尸|的最小值；c选项，建立平面直角坐标系，设尸。,〃），得到尸点轨迹，可设

3

f=2+3cosa〃=—+3sin6,表达出xj,利用三角恒等变换求出最大值；D选项，先

2

由面积得到尸点轨迹，得到|尸,从而得到〃?的取值范围.

【详解】A选项，因为/幺=5，所以或•芯=|瓦^•Bgcos8=|现（=9,

解得AB=3,

又cosC=±,故sinC=J1一cos?C=3,

55

所以8c=5,由勾股定理得NC=4,所以S^BC=；Z5-NC=6,故A错误；

B选项，取8C1中点因为而+斤=2两，而一定=2砺，

两式平方后相减得到则PB-7C=\PM-\MB|2=|PM|2--,

____、si।____19Q

当加=14时，|RW|2=W，即『”|=5,所以尸点在以历为圆心，/为半径的圆上，因

为卜g,所以»尸|的最小值为g—g=2,故B正确；

C选项，以A为坐标原点，所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，

则3（0,3）,C（4,0）,设尸&〃），则而•正=（乜3—〃）-（4T,f）=/一4/+〃2-3〃

当加=?时、t1-4t+n2-3n=,整理（f-2/+（〃-［）=9，

所以尸点在以A/J，）为圆心，3为半径的圆上，可设/=2+3cos6,〃=|•+3sine,

由AP=xAB+yAC^,（/,”）=x（0,3）+y（4,0）=（4y,3x）,

E〃1.八/13八

则x=—=—+sm/y=—=一+—cos0,

32’424

对于D选项，在4B取点、D,使得/。=1,过。作。交5C于E,

由S4c=2可得，P在线段DE上（不含。,£），

故|尸g‘乎’故m=1两『-胃，所以加的取值范围是［F-2）,故D错误.

故选：BC

方法点睛：

平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根

据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解

集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知在复平面内，向量而对应的复数是3+2i,而对应的复数是一2+4i，则向量而对

应的复数是.

【正确答案】-5+2i##2i-5

［分析］根据向量的减法计算和复数与向量的对应关系即可求解.

【详解】CB=C4+JS=G4-a4=（-2+4i）-（3+2i）=-5+2i.

故答案为.-5+2i

14.如图所示的是用斜二测画法画出的ZO6的直观图V©05'（图中虚线分别与x'轴,

了轴平行），则原图形/。8的面积是.

【正确答案】40

【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积.

【详解】根据题意，原图形如下图：

的底边AB的长为5,高为16,

其面积为S='x5xl6=40.

2

故40

15.已知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2,侧面积是30兀，则该圆台的体积

为.

7无7

【正确答案】##—71

33

【分析】根据题意求得母线长/及高〃，代入圆台的体积公式求解.

【详解】圆台的上底面和下底面的半径分别是尸=1和R=2,设母线长为/,高为〃，侧面

积是3后兀，

故兀（火+/）/=兀（2+1）/=3/兀,

所以/=y/2，

圆台的高为〃=J/2_（Rf）2T2_（2_1）2=1,

1

所以圆台体积为忆=：兀（火2+/）〃=：兀（4+2+1）x1.

,,7兀

故一

3

16.已知三棱锥P-N8C的棱长均为4,先在三棱锥尸—N8C内放入一个内切球。一然后

再放入一个球。2,使得球0与球。及三棱锥尸-ZBC的三个侧面都相切，则球02的表面

积为.

【正确答案】;2兀##2丝4

33

【分析】由等体积法求得内切球。|半径，再根据比例求得球Q的半径，则问题可解.

【详解】如图所示：

p

448G4G

底面ABC的外接圆半径为2r'=/旃=二万=亍=4=亍，

T

点P到平面48c的距离为d=「'半=半，

所以*BC=；X4&半=粤?,

所以SPBC=SPAB=SPAC=；x4x4xsin60°=46

设球。1的半径为R，所以8c=Oy-PAB+^O,-PAC+%-P8C+匕）-ABC

贝ijl^l=g（46x4卜R，得人与

设球Q的半径为r,则二=必二告二，又&=如得尸=迈

RR36

所以球Q的表面积为S=4n（骼）=|无

故答案为.（兀

四、解答题（本题共6小题，17题10分，剩下每题12分，共70分.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知复数z=/-3a+2+（a-l）i,其中i是虚数单位，aeR

（1）若Z是纯虚数，求z2g;

（2）当。=3时，求三;•

【正确答案】（1）i

272

5

【分析】（1）根据纯虚数的实部为零，虚部不为零列方程可求出复数2=3再利用/=1可

得答案:

ZZ

（2）代入4=3,然后通过复数的运算得到——7的代数形式，进而可得——7的模.

2z-i2z-i

【小问1详解】

•・・z是纯虚数，

cr—3。+2=0

二•〈，

Q—1W0

解得4=2,

，z=i,

7=i,=02『=（—1）2=1，

.2025：2025■4x506+1■.

..Z=1=1=1；

【小问2详解】

当。=3时，z=2+2i,

.z2+2i_2+2i_（2+2i）（4—3i）_14+2i

"2z-i-2（2+2i）-i-4+3i-（4+3i）（4-3i）-25'

­=眄军T*

2z-ig25J[25j5

18.已知a=b=（0,1）,在①+②忸+B卜忸+同这两个条

件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

（1）若,求实数/的值；

（2）若向量c=（x,y）,且。=-^4+（1—》）行，求口.

【正确答案】（1）/=1或f=一1

（2）V2

【分析】（1）根据题意求得扇+石=（T,T+1），Z+正=（一1,一1+",选①：根据向量的

共线列出方程，求得/的值；选②：由忸+同=|,+咻列出方程，即可求解；

（2）由题意求得c=（y,l—x+y）,根据题意列出方程组，求得羽y的值，结合向量的模的

计算公式，即可求解.

【小问1详解】

解：因为4=(—1,—1),所以加+6=(―—£+1),Q+仍=(―1,—1+1)

若选择①：由+b)//(a+仍)，则—，(―1+/)=(T+1)•(―1),

解得r=1，所以f=l或£=一1；

若选择②：由忸+,=归+矶则"产+(_/+1)2=++(一1+"2,

则『=1，所以/=1或/=—1.

【小问2详解】

解：由c=-ya+(1-x)B=(y/)+(0,1-x)=(y,1-x+y),

-/、fx=y

因为C=(x,y),所以11，解得x=y=l,

[y=l-x-^y

所以2=(1,1),可得向=Ji+12

19.如图，四边形/BCD是圆柱0a的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段工。的中点,

(1)证明：鸟/,平面片尸77；

(2)若直线48与平面EP尸所成角为60。，求三棱锥B-EPF的体积.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)是定值4百

【分析】(1)根据圆的性质得到根据圆柱的性质得到E/_L8b，然后根据线

面垂直的判定定理证明即可；

(2)根据平面EPF得到与平面EPF所成角为NB/b,然后根据线面角得到

BF=2。AF=2,最后根据椎体的体积公式求体积即可.

【小问1详解】

•.•四边形Z38是圆柱的轴截面，为圆。的直径，...

又EF是圆柱的母线，二E/工平面48F,

••,6Ru平面/8尸，:.EFLBF，

又；"CEF=F,AD//EF,/£后尸u平面/。石尸，；.J_平面

又：P是线段4。的中点，.•.平面ADEF即为平面EPF,：.8R_L平面EPF.

【小问2详解】

由（1）知8/J.平面EPF,/.BF为三棱锥B-EPF的高，且AF为AB在平面EPF内的射

影，

与平面E尸尸所成角为由已知/8力尸=60°，48=4,8c=6,

•••8E=Z8sin600=2G，AF=ABcos600=2,S^EPF^^EF-AF^6,

/.%D-ELPrrF=_3S△AEWPFt.EF=—3X6X2>▼/3=46".

20.为了帮助山区群众打开脱贫致富的大门，某地计划沿直线ZC开通一条穿山隧道.如图

所示,48,C为山脚两侧共线的三点,在山顶尸处测得三点的俯角分别为a=30°,/=45。，

7=30。，且测得工。=加，EB=n,8C=f.用以上数据（或部分数据）表示以下结果.

（1）求出线段尸8的长度：

（2）求出隧道。E的长度.

【正确答案】（1）在土也

2

(2)(2+y/3)t—m-n

【分析】（1）由条件求出角NBCRNBPC,在PC8中由正弦定理即可得结果;

(2)在尸48中由正弦定理求出Z8,从而求解得。E.

【小问1详解】

由题意，夕=45°,7=30。，

所以N8CP=30°,NBPC=15°,又BC=t,

/7_B

sin15°=sin(60°-45°)=sin600cos450-cos60°sin45°=----

BCPBtPB

在PC8中，由正弦定理得,即

sinZ5PC-sinZ5CPsinl5°-sin30°

1

cc5’76+72

解得

4

【小问2详解】

因为a=30°,4=45°,所以N/=30°,ZAPB=105°,

又由⑴知尸人学

sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°=近h

ARPB

在△/PB中，由正弦定理得一-----

sinZAPBsinNPAB

V6+V2

V6+V2入,如±也=(2+同,

所以AB1AB

14

sin105°sin30°

2

所以DE=AB-AD—BE=(2+C)t-m-〃.

21.如图，在空间几何体ZBCZJE中，ABC,BCE,/CD均为正三角形，且平面/C£）_L

平面Z8C,平面E8C_L平面Z6C.

B

E

D

（1）求证：EO〃平面Z8C；

（2）P是棱上的一点，当。P与平面Z8C所成角为60°时，求二面角P—/O-。的

余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）—

5

【分析】（1）分别取ZC,8C之中点〃,N,连DM,EN,MN,根据面面垂直的性质证明

四边形。脑花为平行四边形，从:而将DE〃MN,根据线面平行的判定定理即可证明结

论；

（2）根据OP与平面Z8C所成角为60°，求得PA/的长，说明P为Z8的中点，作出二面

角尸-NO-C的平面角，解三角形可得答案.

【小问1详解】

证明：分别取ZC,8C之中点M,N,连DM,EN,MN,

•••/CD为正三角形，.•.DMJ./C：

又・•・平面NCC平面/8C,平面ZCZ）n平面Z6C=/C,DWu平面/CD,

DM1平面ZBC,

同理；8CE为正三角形，：.EN_LZC；

平面8CE_L平面Z8C,平面BCEfl平面〃8C=8C,ENu平面ACD,

故EN_L平面NBC,千是DM〃EN.

由ABC,BCE,NC。均为正三角形可知0M=EN,

四边形为平行四边形，从而相DE〃MN,

DEZ平面A8C,MNu平面48C,

于是〃平面Z8C.

【小问2详解】

不妨设/3=2,连MP，则由（1）平面/8C知I,。尸与平面48c所成角就是

ZDPM,