重庆市新高考数学大题限时练4（含解析）

专题04大题限时练四

1.AJBC的内角/,B,C的对边分别为a,h,c,已知8为锐角，且b=csin8+acosC.

(1)求C；

(2)若48=4,点。满足丽=3戸，当AASC的面积最大时，求CD和cosN/CD的值.

【答案】(1)C=-\(2)CD=6cosZACD=^-

210

【详解】(1)依题意b=csin8+acosC.

由正弦定理得sin5=sinCsin8+sin力cosC,

sin(J+C)=sinCsin8+sin/cosC,

sinAcosC+cos/sinC=sinCsin8+sinAcosC,

cosJsinC=sinCsinB,

由于所以sinC>0,

依题意8是锐角，即0<8<工，0<--5<-,

222

cosJ>0»/为锐角，且cos4=sin8=cos(生一6),

7171

所以力=工一台,Z+8=-,C

222

222

(2)依题意得乙4C8=E，c=4fa+b=c=16t

2

22

SMBC=；ab,,1a+b116

-x---------—x—=4,

2222

当且仅当—0时取等号，此时三角形,是等腰三角形，7,

由于丽=3刀，所以力。=1,BD=3,

8+1-2x272x1x2^=75,

在三角形4CD中，由余弦定理有CD=

8+5-13V10

cosZACD

2x272x7510

2.在正项等比数列｛a“｝中，4=1,a4=a｝+2a2.

(I)求数列｛a,J的通项公式；

(II)设数歹U也｝满足“=『%'〃为求数列也!的前2n项和S2„.

[/宏2。〃，“为偶数.1A.

【答案】（I）q,=2"T；（IDS,n=Tn+R„=2n+—-^^

"-nnn9922"i

【详解】（I）设公比为加＞0）,由题修：,,

[a]q=a、q+2q9

解得g=2或q=-l（舍），

所以%=2"T；

为奇数，2”,〃为奇数，

(ID因为4=＞所以a=

%,〃为偶数,N-1,〃为偶数,

2〃为奇数，

%,则

令C.

召为偶数，

册

所以$20=4+。2+C3+…+C2.T+C2“=(q+C3+…+。2”-|)+(02+C,+…+C?a)，

令1=G+q+.-+C2,i,R„=C2+C4+---+C2n,

则看=C|+Q+…+40-1=2”，

„132M-1

R“=c2+c4+---+c2„=初+戸+…+三丁，

则4R“=++4+…+全工

ii12H-I丁a-2〃-1106w+5

作差可得：3/?„=2+2(y+^---+^7T)-^7T-=2+2---------j------

1-----

4

所以此号6〃+5

9-22,,~]

所以邑.=7；+区,=2〃+卜”

3.如图1,矩形尸45c中，PC=34，PA=＞/6,。为PC上一点且CO=2OP.现将沿着力。折起,

使得PDVBD,得到的图形如图2.

（I）证明：尸4丄平面PB。:

（II）求二面角P-AB-D的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）正

7

【详解】（/）证明：•・•四边形尸48c为矩形，PC=373,PA=娓且CD=2DP,

AL

BD1=BC2+CD2=PA2+-PC2=18,即8。=；

9

AD-=PA2+PD2=PA2+-PC2=9,即AD=3-,

9

又AB=PC=34i,BD2+AD2=AB2,BDVAD,

又PD丄BD,PD^AD=D,PD,/£)u平面尸NO,r.8。丄平面P/O,

•/PAu平面PAD,:.PA丄BD；

PALPD,PD^BD=D,PD,BDu平面PBO,PA1PBD.

(〃)解：过尸作尸E丄NO,交.AD于E,•••PD=币,PA=46,..PE=丝丝=应，

AD

：.DEyJPD2-PE2=1,

由(/)知8。丄平面产”。，BDu平面厶BD,r.平面丄平面P/D,

又PE丄AD,PEu平面尸40,丄平面N8O,

故以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

.•.0(0,0,0),4(0,3,0),8(30,0,0),尸(0,1,&),

AB=(3近，-3,0),万=(0,-2,伪，

由(/)平面48。的一个法向量为所=(0,0,1),

设平面R48的一个法向量为万=(x,y,z),

.n-AB=3\/2x-3y=0r-r-

则M<，令Ax=l,y=v2,z=2,.,.”=(1,近,2),

n•AP=-2y+V2z=0

__2277

二.cos<n,m>=—j==-----.

币7

•.•二面角尸为锐二面角，，二面角的余弦值为厶巨.

7

4.近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了.相较于在学校教室里线下课程而

言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神.为了提升同学们的听课效

率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，

若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了.经过

一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到.为了能够

进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：

①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；

②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分.

请回答如下两个问题：

(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的

总得分的数学期望是多少？

(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为"分的概率为勺(比如：《表示累计得分为1分的概率,

舄表示累计得分为2的概率，〃eN*),试探求：

(I)｛2,「匕｝的通项公式；

(II)｛2｝的通项公式.

【答案】见解析

【详解】(1)由题意每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为，

取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X,

由二项分布的特征可得X服从二项分布5(150,0.9),

取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量，，

利用x与y的关系可得y=2x+ix(i50-x)=i50+x,

£(y)=150+E(X)=150+150X0.9=285分.

(2)(I)依题意耳=0.1,P2=0.9+0.1x0.1=0.91,匕*2=01E+i+0-9勺，

••・P.+2-PN=-0.9(PZ-P.)，

又•.•犬-<=081,..｛匕+1-匕｝为等比数列,

=0.81x(-0.9)“T=(-0.9严，

n

(II)由题意可得：＜一耳=(-0.9)2,=(-0.9)\……，P„-P„_x=(-0.9),

将上面的这"-1个式子相加可得:

O1

£,一耳=(-0.9)2+(_09)3+(49)4+…+(-0.9/=—(1-(-0.9)"-'),

Q11AQ1

...P=0.1+——(1-(-0.9),,-1)=-----------(—0.9)1.

“19019190

fv2

5.已知曲线。由G：会+}=1(4＞。＞0,尤.0)和。2：/+/=62(》＜0)两部分组成，G所在椭圆的离心率

为弓，上、下顶点分别为耳，B2,右焦点为尸，与x轴相交于点四边形4尸与。的面积为6+1.

(1)求a,b的值;

（2）若直线/与0相交于4,8两点，|工例=2,点P在。2上，求AP/8面积的最大值.

=2

【答案】（1）r；⑵2

]b=\

c_A/3

a24=2

【详解】（1）由题意知=>

^(Z)+C)-2Z?=A/3+1b=l

a2=b2+c2

（2）设必）,B（X2,必），

①当力B斜率存在时，设直线48的方程为^=広+加，

y=kx+m

=>(1+4k2)x2+Sktnx+4/w2-4=0

x2+4/=4

△=64k2m2-4(1+4k2)(4〃/-4)=16(4*-/H2+l)>0,

-Skm八

-------r>°

1+4公

=>〃厶一1或〃?..1,

4加2—40

1+4-…

|1=V1+F•吋4k上*1=2n12F-4疗-4k2m2+3=0,

\+4k'

3(4&?+1)

计算可得小

4伏2+1)

故原点。到直线48:y=厶+m的距离d=JTL=回"j13+（4公）1）=],

応戸2（1+公）4（1+二）

当3=4^+1时，即后=变，加=-五时取等号，

22

故原点O到直线AB的距离d的最大值为1,则点P到直线AB的距离儿d+L2,

故S”发训i2,面积最大值2；

②当斜率不存在时，/（0,-1）,8（0,1）,止匕时S"“8=；X2X1=1<2.

综上：厶48面积的最大值为2.

6.已知函数f（x）=H-l+加x（ae©.

X

（1）讨论函数/（X）的单调性；

（2）若函数8。）=才。）-"2+》有两个极值点，求实数0的取值范围.

【答案】(1)当4,0时,函数，(x)在(0,+8)上单调递增,当。>0时，函数f(x)在(0,2a)上单调递减,在

(2a,+8)上单调递增；(2)(0,-)

【详解】(1)由题意得，八灯的定义域为(0,+oo),/(外=丄_4=二£,

XXX

当a.0时，/'(X)>0,函数/(x)在(O.+oo)上单调递增，

当a>0时，令/'(x)=0,解得x=2a,

xw(0,2a)时,f'(x)<0,函数/(x)在(0,2a)上单调递减，

xe(2a,+8)时，f'(x)>0,函数/(x)在(2a,+8)上单调递增,

综上所述，当a,0时，函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

当。>0时,函数/(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+8)上单调递增.

(2)由题意得g(x)=xf(x)-ax2+x=xlnx-ax2+2a,

求导得g'(x)=/〃x-2ax+l,

设h(x)=Inx-2ax+1,求导可得h'{x}=--2a,

x

当a.0时，h'(x)>0,函数Mx)在(0,+oo)上单调递增，

函数g(x)至多有一个极值点，不合题意，

当a>0时，令h\x)=0,解得x=—,

2Q

xe(0,丄)时，h\x)>0,函数厶(x)在(0,丄)上单调递增,

2a