全国高考理科数学试题数列

A.数列g）为等差数列，公差为qmnq2mn

C.数列｛c｝为等比数列，公比为D.数列｛c｝为等比数列U,公比为

q#3nQmmn

B.数列协｝为等比数列U,公比为

【答案】C

6.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标II卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列｝的前〃“

项和为S,已知S=a+10a,a=9,则a=

n32151

»\1,、1,\1

(A)(B)(C)(D)

3399

【答案】c

7.（2013年高考新课标1（理））设等差数列｛a｝的前〃项和为S,S=-2,S=0,S=3,则m=〃

()

A.3B.4C,5D.6

【答案】C

8.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差。的等差数

列（a）的四个命题：“

P：数列｛a｝是递增数列;P：数列｛〃“｝是递增数列;

In2n

p:数列［d是递增数列；p:数列9+3〃d｝是递增数列

3：nJ4〃

其中的真命题为

（A）p,p（B）p,p（C）〃，p（D）p,p

12342314

【答案】D

9.（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

A.-24B.0C,12D.24

【答案】A

19.'（魏簪聚高考四川卷（理））在等差数列｛aJ中，a-a=8,且。为。和a的等比中项,求数列｛a｝

首项、公差及前〃项和.的“'I423”

【答案】解:设该数列公差为d,前〃项和为s.由已知，可得

2a+2d—8,(a+3d\=(a+d)(a+Sd).

iiii

所以a+d=4,d（d-3a）=0,

II

解得。=4,d=0,或a=/,d=3,即数列｛a｝的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.u,

所以数列的前〃项和s=%或§

11.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标II卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列｝的前〃

项和为S,已知S=0,S=25,则nS的最小值为.“K）3”

【答案】-49

产3.玲4日年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数

第"个三角形数为并**T=miv/2+in.记第"个左边形数为3,以下列出了部分k边形

乙乙乙

数中第”个数的表达式：

三角形数N（〃,3）二一n2+一n

正方形数》",4）二层

五边形数N（n,5）=一m-—n

乙乙

六边形数〃",6）=2〃2-〃

可以推测N的表达式，由此计算N（10,24）=.

选考题

【答案】1000

13.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等

1..~"..—..............

【答案】12

14.（2013年高考湖南卷（理））

（1）a-；（2）S+5++S=

3I2100

IV11

一；一（—

1632ioo

15.（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当％°R.

比数列｛a｝中，a=-,。+。=3,则满足〃+〃+...+a>aa...a的最大正整数n的值为”5267

2nl2n

设S为数列｛a｝的前n项砥（公”，诃.*,则“2"

【答案】--1)

<1时，有如下表

、，一1

达式：1+X+X2+...+Xn+...=-----

1-X

11111

/,一,

12\cbc2xdJx+4-J-[ixiax+...+iXndx+...-2一一dx.

从而得到如下等式：IXX+工X(—)2+—X(—)31..+---x(-)n1+...=In2.

22232H+12

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算：

11

。X+'CX(1)2+CX(')3+...+—LCC„X(1)„+I=

1122n23"277+1n2

【答案】」r[(3>'-1]

n+12

16.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答已知｛a｝是等差数列，a=

案))1,公差

。声0,S为其前〃项和，若a,a,a成等比数列，则S

_，，125

【答案】64

17.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列

的前n

项和S=______

n

57

【答案】加--n

661

18.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))在等差数列〃〃》中，

已知

a+。=103。+。

38,则57

20

【答案】

19.(2013年高考陕西卷(理))观察下列等

式：

L二1

12—22=3

h-22+32=6

12-22+32-4?=-10

(-1)/»+1,八

照此规律，第n个等式可为一12・22+32・...+(・1%一田2=——〃(〃+1)

(-1)〃+1/八

【答案】h-22+32——+(-l)n-in2=-------n(n+1)

A2

20.(2013年高考新课标1(理))若数列｛a｝的前n项和为“京超则数列｛a｝的通项公式是

n33n

n存在唯一Xe(0,1],满足’。)=0,且1>XnnnI

axe(,u,i)H'j(X)<-i+XlX.3X4XnrXl1-Xn-\rX21

X+---+----+---------1+X+—,-----<—1+X+—,——

+…+—41—x41—x

X21

13,I】

n0一f(x)<-1+X+-A—•------n(X-2)(3x-2)<0nX

iin"41—Xnn

、,,>,J.r2八—、八..

综上，对每个“eN,.,存在唯一的xe厂，1],满足/(x)—0；(证毕)

n3nn

X2X3X4Xn

(II)由题知1>X>X>o,/(x)------1+

fV十一〃一+一〃一++・,・+-”—一0

2z3z42M2

X2■X2x3-x3.xdX”■X-QX"・p

n1

X-X--(~n+p..n-1tt-t-p...n--1H+p---n-++----n+p-----------n--)+(--P+•-+)

nn

*p2z324znl(n+1)2(n+p)2

1111

-------------<——nx・xv——,

nn+pnnn'pn

法二：

S=1,S=—1,S=——3,S=0,S=3,S=6,S=2,S=——2,S-——6,S=——10,i2

345678910

S=-5

11

...S=1•67,S=0・。,S=1•a,S=2•a,S=—1•ai\4455661111

•一集合P八中元素的个数为5

⑵证明：用数学归纳法先证S=-7(2/+1)

i(2Z+1)

事实上，

①当i=1时，S=S--1•(2+1)=一3故原式成立/(2/+1)3

②假设当i=机时，等式成立，即S=一〃7•(2m+1)故原式成立

m(2m+l)

贝亚i=m+1,时，

S=S=S+(2m+1)2—(2m+2)2=—m(2m+1)+(2m+1)2—(2m+2)2

(m+1)[2(m+1)+1)(〃1+1)(2m+3)m(2nt+1)

-一(2m2+5m+3)=—(m+1)(2tn+3)

综合①②得：5=—i(2i+l)于是

i(2i+】)

S=S+(2/+1)2=—i(2/+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1)

(/+1)[2/+1)

由上可知：S是(2i+l)的倍数g+D

而a=2z+1(J=1,2,…2+1),所以S=S+/⑵+1)是

(f+l)(2f+l)+j/(2/+1)+//(2/+1)

=1,2,…,2i+l)的倍数

()+1X2；+!)+/

又S=(i+1)⑵+1)不是2i+2的倍数，H1X2计1)

而a=—(2i+2)(/=1,2,...,2i+2)

(|+1)(2/+1)+/

所以S=S—j(2i+2)=⑵+1)(/+1)—；(2z+2)不是a(j=1,2，…,2i+2)的附加用(,+1)(2,+1)(汨X2计3

倍数

故当/=3+1)时,集合P/中元素的个数为1+3+...+(2i-l)=h

于是当I=i(2i+1)+j(1<j<2i+1)时，集合p中元素的个数为iz+j

又2000=31x(2x31+1)+47

故集合P中元素的个数为3上+47=10082000

A11199---------、，

若q-3,—+—+・・・+—<一不存在1文样的TF熬新

加（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列｛"｝的前n项和为S,

nI

且S-4S。=2。+1.

42'2nn

⑴求数列〃｝的通项公式；«

（H）设数列切｝前n项和为T,且T+胃'一九（九为常数）.令。=b（〃GM）.求数列3｝的前n

nnn2nn2nn

项和R.

n

【答案】解：（D设等差数列"J的首项为％,公差为4

a+(2〃-1)-2a+2(n—l)d+1

解得，

a-in-1(〃GIN*)n

因此

T一九-----

(H)由题意知：”

所以〃>2时2„-|2n~2

二(〃一1)(一)«-i

故"2〃22“」4(〃GM)

R-Ox(i)o+1x(l)i+2x(1)2+3x⑴3+•••+(n—l)x(l)»-i

所以044

'R-0x(1)i+lx(i)2+2x(i)?+--■+(H—2)x(1)„-i+("—1)x(1)“

则4J44444

R-——X

"+(一”+(—>31卜(_尸1("1)(_

两式相减得4

4-(4)

nr1

n

i-iTn-4)n

〃〃

R整理得二，i4—37+1

“94〃-】

｛.｝R=l（4—霜+1）

所以数列数列"的前n项和“'V1

30.（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小

题满„

nS

------,naN〃其

分16分.设｛。｝是首项为a,公差为△的等差数列（d至0）,S是其前〃项和.小+c

记6

中c为实数.

⑴若。=0,且4b,成等比数列，证明：S=mS（匕〃GN*）；124nkk

⑵若｛b｝是等差数列,证明：c=0.〃

【答案】证明：•••｛a）是首项为m公差为d的等差数列（d丰0）,S是其前〃项和

S=na+

S

(1)Vc=0,••b一

/1八/3八

"'b产。成等比数列上Abb.・.(〃+—d)2-a(a+——d)

17421A2

11八1“1八八

..—cid------1=0..—d3-----d)=0

7477

S=na+〃(心)d=na+〃(〃」)2。=nza

；•左边二S-(nk)2a-mkia右边二〃2s=〃2k2。

nkk

••・左边:右边.♦•原式成立

i-nS

⑵.•.仍।是等差数列...设公差为ygq带入口

得：

n-

L+/_IXd吧/，1八八，1八，…,、八?

力）+「.・.（d------d）n3+（Z?—d—a+—d）n2-^cdn=c（d—。）对〃GN+恒成立

11

cd-0

i

c(d-b)-0

一..1.

由①式得:d--dd丰G.d牛金

।2

由③式得：c-0

比一：址：%U,&a-q十5-1)出(ft-1)d+2a],。-(n-1)d+2a

n

当124b9b,方成等比数列,bl-bb,214

,得：d2-2adf又d丰0,故d=2a.

由此：S-ma,S-(nk)2a-mkia,mS-mha.

nk

故：S-n2snkk

(n-1)d+2an2--

“〃2+C〃2+c

(〃-l)d+2a(〃-l)d+2a(〃・1)d+2a

n?..............+r-------z--------

〃2+C

(n-1)d+2a

c-----------------

5・1)d+2a

-----------愉

若｛b｝是等差数列，则b=4〃+助型.

观察（X）式后一项,分子幕低于分母幕，

（n-1）d十Za

c-------

日H5-1）d+2a+2a

故有：=0,即c1------------wo,

经检验，当c-0时｛b｝是等差数列.

n

31.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列

｛"

｝的前

项和为S,已知S=42,且S,S,S成等比数列，求｛a｝的通项式.

32124

【答案】

解】设（明）的公差为

由&;寿融2=日>故11=0或1=3,

的Si,5•其成等比数列得S;*S|5-

X31=取1-»*S=2叩一</*54u4s+2d•

故（Eg（〃一力（4叩+2d）.

若叫』0」期『一一2d,筋以M-G,此时5.=①不合题意$若口工一3.财K6-d>n（3—dM]

2+2d>•解得J-0或dT

因此皿■,的通项公式为口，=3或％=2言一L

32.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））击口音璇为鲁的等比数列伍？示一

是2,

递减数列，其前n项和为eN*）,且S+a,S+a,S+a成等差数列.”33ss«“

⑴求数列｛“｝的通项公式；“

（II）设T=S-—（eN*）,求数列｛r/的最大项的值与最小项的值.”"S„

【答案】"

《区）本小熙主要者言等差数列的版念，等扰数列的柢含，通项公式、前受，数列的基本性质等基础知

识一考肯分类例论的思想，考直运算能力,分析向8（和解决问直的隹打满分分.’：

(13Hr迎等比建眄风】的金比为『因为生4/,邑去角I国+外感爸整数列，所世品+洱-&-/=£乜与

「g•即如L”干是一吟4,又⑷不足就就越列凡叫「，所以『'慈尊比数列⑷的遍项公式为4=；」-

1=卜『'/"

“卜*!•片为奇数

£11)M:由(I)得工=1-(F=|]

'/"-=■，冷为催数.

I।4

第丹为奇她时，山的n的增大而献小，所以】〈义矗$三弓，故

]1325

0<5--------近$---式---------三一

显，S236

当网为偶数时+斗般冷酬量大而岫大，所以7=国位“Cr

小-/[5

踪上.对于触点NZ总有，这一

13£6

33.(2013年高考江西卷(理))正项数列｛a｝,胆醉和佰｝满足:“s2—(〃2+n-l)5-g+

(1)求数列｛aj的通项公式a”;

T〃+1-5

⑵令人茹丁£方力点列｛b｝的前〃项和为T.0证明:对于任意的"GN〃都有7〈讴4

【答案】⑴解：由S2-(n2+/?-1)5-("2+”)=0,得「S-(/2+n)](S+1)=0.

nnnnJn

由于｛〃｝是正项数歹U,所以S>0,S2+〃〃

于是。二5二2,鹿>2时，a=S-S=n2+n-(n・1)2一(n-1)-In

nn?»-l

综上，数列Q｝的通项a=2〃

nn

几+1

⑵证明：由于。=2n,b=-------------

(/7+2)20

n+111

4〃2(〃+16〃2(〃+2)2

11111

—+-----------+—+

(n-1)2(〃+1)2九2(〃+2)2

32224232

(1+一)二-5

162264

34.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列M｝的前〃项和为

已知巴一。-'m~n-neN*.33

求。的值；

2

QD求数列｛a｝的通项

,117

(I附］:对一切正整数〃，有一+—+•••+—<-.a

aa4

12n

22S12

I答室］(1)解・0—..—H..n-n--nQN*

••・当77T时，

..0=4

2

251

.(〃+I)(〃+2)

:.2S~na—m-m~一nna-

〃+1

r)r)

当〃>2时，2S='〃-1)。・n-1«n+1

n-\3

由①一②，得2s-2S-)-1)。-Jz+1)-1”+i

-:2a=2S-2S

n~\

「)(}

2a-nan-Ya-nn+1

nM+1

aa__I«l_,—5a-.......................\

••一f=1•••数列；f卜是以首项为丁=1,公差为1的等差数列.

〃+1〃InI1

f-1+1x“一1一-

n,.\an一〃2n>2

当〃二1时,上式显然成立.a=m.neN*”

⑶证明：由（2）知，a=n\neN*n

一<1-7.........

①当〃=1时，一』<7,,原不等式成立.

。4

假设｛4｝(〃>2)中存在大于2的项.“

设加为满足”>2的最小正整数，则加>2,并且对任意k<m,a<2,.

又因为a=2,所以A